DGL 3. Ordnung mit AWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem.
[mm] $y^{(3)}+4y^{(2)}+5y^{(1)}+2y=0 [/mm] ; y(0)=0, [mm] y^{(1)}(0)=1, y^{(2)}(0)=1$ [/mm] |
Hallo zusammen. Ich bräuchte mal wieder bei obiger Aufgabe Hilfe.
Folgendermaßen bin ich vorgegangen:
1. Charakteristisches Polynom bestimmen
2. NS bestimmen
Dabei komme ich auf die doppelte NS bei -1 und eine dritte NS bei -2.
Dann habe ich den [mm] $e^{t\lambda}$-Ansatz [/mm] gewählt und das Fundamentalsystem gebildet.
-> [mm] ${e^{-t},-te^{-t},e^{-2t}}$, [/mm] woraus folgt:
[mm] $y=C_{1}e^{-t}-C_{2}te^{-t}+C_{3}e^{-2t}$
[/mm]
Nun bin ich mir mit dem AWP nicht sicher. Muss ich jetzt diese Funktion zweimal ableiten und dann die Anfangswerte einsetzen und so die Konstanten berechnen?
Danke !
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Hallo Ciotic,
> Lösen Sie das Anfangswertproblem.
>
> [mm]y^{(3)}+4y^{(2)}+5y^{(1)}+2y=0 ; y(0)=0, y^{(1)}(0)=1, y^{(2)}(0)=1[/mm]
>
> Hallo zusammen. Ich bräuchte mal wieder bei obiger Aufgabe
> Hilfe.
>
> Folgendermaßen bin ich vorgegangen:
> 1. Charakteristisches Polynom bestimmen
> 2. NS bestimmen
>
> Dabei komme ich auf die doppelte NS bei -1 und eine dritte
> NS bei -2.
>
> Dann habe ich den [mm]e^{t\lambda}[/mm]-Ansatz gewählt und das
> Fundamentalsystem gebildet.
>
> -> [mm]{e^{-t},-te^{-t},e^{-2t}}[/mm], woraus folgt:
> [mm]y=C_{1}e^{-t}-C_{2}te^{-t}+C_{3}e^{-2t}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun bin ich mir mit dem AWP nicht sicher. Muss ich jetzt
> diese Funktion zweimal ableiten und dann die Anfangswerte
> einsetzen und so die Konstanten berechnen?
>
Genau so ist es.
> Danke !
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
Alles klar. Meine erste Ableitung sieht so aus:
[mm] $y^{1}=-C_{1}e^{-t}-C_{2}e^{-t}+C_{2}e^{-t}+2C_{3}e^{-2t}$
[/mm]
Ist diese korrekt?
Und danke ;)
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Hallo Ciotic,
> Alles klar. Meine erste Ableitung sieht so aus:
>
> [mm]y^{1}=-C_{1}e^{-t}-C_{2}e^{-t}+C_{2}e^{-t}+2C_{3}e^{-2t}[/mm]
>
Das muss doch hier so lauten:
[mm]y^{1}=-C_{1}e^{-t}-C_{2}e^{-t}+C_{2}*\red{t}*e^{-t}\blue{-}2C_{3}e^{-2t}[/mm]
> Ist diese korrekt?
>
> Und danke ;)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
Vollkommen korrekt, mein Plus und mein "t" ähneln sich leider zu sehr.
Und noch schnell die zweite Ableitung:
[mm] $y^{2}=C_{1}e^{-t}+2C_{2}e^{-t}-C_{2}e^{-t}t-4C_{3}e^{-2t}$
[/mm]
Korrekt?
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Hiho,
> Vollkommen korrekt, mein Plus und mein "t" ähneln sich
> leider zu sehr.
und Vorzeichen scheinen auch nicht deine Stärke zu sein 
> Und noch schnell die zweite Ableitung:
>
> [mm]y^{2}=C_{1}e^{-t}+2C_{2}e^{-t}-C_{2}e^{-t}t-4C_{3}e^{-2t}[/mm]
>
> Korrekt?
Merke: "noch schnell" ist selten korrekt.
[mm]y^{2}=C_{1}e^{-t}+2C_{2}e^{-t}-C_{2}e^{-t}t \red{ + } 4C_{3}e^{-2t}[/mm]
Dieses Vorzeichen war auch schon in deiner ersten Ableitung falsch.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Do 07.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
Mein Problem sind vor allem unnötige Flüchtigkeitsfehler. Danke dir!
Sind meine Konstanten korrekt?
[mm] C1=-\bruch{1}{3}
[/mm]
$C2=0$
[mm] C3=\bruch{1}{3}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:04 Do 07.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mein Problem sind vor allem unnötige Flüchtigkeitsfehler.
> Danke dir!
>
> Sind meine Konstanten korrekt?
>
> [mm]C1=-\bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]C2=0[/mm]
>
> [mm]C3=\bruch{1}{3}[/mm]
Das stimmt nicht. Poste Deine Rechnungen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Do 07.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
y(0) = 0 = C1+C3
[mm] y^{1}(0) [/mm] = 0 = -C1-C2+2C3
[mm] y^{2}(0) [/mm] = 1 = C1+ 2C2 + 4C3
Und nach den den Konstanten umgeformt.
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Hiho,
deine zweite Gleichung ist gleich doppelt falsch.
Ich hatte dich doch darauf hingewiesen, dass bei deiner zweiten Gleichung ein Vorzeichenfehler vorliegt!
> [mm]y^{1}(0)[/mm] = 0 = -C1-C2+2C3
Es muss heißen:
[mm]y^{1}(0)= \red{1} = -C1-C2\red{-}2C3 [/mm]
Sauber arbeiten!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Do 07.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
Ich hatte meine Funktionen korrigiert, nicht aber meine Gleichungen. Ich hasse meiner Flüchtigkeitsfehler.
Danke schonmal, ich komme mit den hoffentlich richtigen Gleichungen auf:
C1=-3
C2=-4
C3=3
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Hallo Ciotic,
> Ich hatte meine Funktionen korrigiert, nicht aber meine
> Gleichungen. Ich hasse meiner Flüchtigkeitsfehler.
>
> Danke schonmal, ich komme mit den hoffentlich richtigen
> Gleichungen auf:
>
> C1=-3
> C2=-4
> C3=3
Stimmt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:26 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
Leider ist das so nicht richtig.
Ich dachte, dass man bei einer doppelten NSt. den Wert vor das t vor dem e mitzieht. Mein [mm] $-te^{-t}$ [/mm] ist also nicht richtig. Am Ende kommt man dann mit positivem t auf 4 und nicht -4.
Aber jetzt habe ich das Verstanden :)
Danke an alle!
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