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Hallo,
ich sollte für eine Ellipse mit M(0;0) und zu den Koordinatenachsen parallelen Achsen eine DGL aufstellen:
[mm] $\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1$
[/mm]
[mm] $xyy''-yy'+x(y')^2=0$
[/mm]
Wenn ich diese nun von einem CAS lösen lasse, kommt eine Hyperbelgleichung heraus.
Nach meiner Rechnung hätte eine Hyperbel die gleiche DGL.
Kann das sein?
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 So 15.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du denn auf die Dgl?
in meiner Dgl erster Ordnung ist das Vorzeichen fuer Hyp und Ellipsen verschieden.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 So 15.02.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo leduart,
mein Buch sagt, für eine Gleichung die 2 "Konstanten" hat, wie bei Ellipse und Hyperbel (a und b), muss die DGL zweiter Ordnung sein, etc.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo,
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> ich sollte für eine Ellipse mit M(0;0) und zu den
> Koordinatenachsen parallelen Achsen eine DGL aufstellen:
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> [mm]\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1[/mm]
>
> [mm]xyy''-yy'+x(y')^2=0[/mm]
>
> Wenn ich diese nun von einem CAS lösen lasse, kommt eine
> Hyperbelgleichung heraus.
> Nach meiner Rechnung hätte eine Hyperbel die gleiche DGL.
>
> Kann das sein?
Das kann sein:
[mm]\left(1\right) \ \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1[/mm]
Differenziert nach x ergibt:
[mm]\left(2\right) \ \bruch{x}{a^2}+\bruch{y*y'}{b^2}=0[/mm]
Nochmaliges differenzieren ergibt:
[mm]\left(3\right) \ \bruch{1}{a^2}+\bruch{\left(y'\right)^{2}+y*y''}{b^2}=0[/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{1}{a^2}=-\bruch{\left(y'\right)^{2}+y*y''}{b^2}[/mm]
Eingesetzt in (2) liefert:
[mm]\left(4\right) \ -\left(\left(y'\right)^{2}+y*y''\right)*x+y*y'=0[/mm]
Für die Hyperbel:
[mm]\left(5\right) \ \bruch{x^2}{a^2}-\bruch{y^2}{b^2}=1[/mm]
[mm]\left(6\right) \ \bruch{x}{a^2}-\bruch{y*y'}{b^2}=0[/mm]
[mm]\left(7\right) \ \bruch{1}{a^2}-\bruch{\left(y'\right)^{2}+y*y''}{b^2}=0[/mm]
[mm]\Rightarrow \bruch{1}{a^2}=\bruch{\left(y'\right)^{2}+y*y''}{b^2}[/mm]
Eingesetzt in (6) liefert:
[mm]\left(8\right) \ \left(\left(y'\right)^{2}+y*y''\right)*x-y*y'=0[/mm]
Und siehe da, die Gleichung (4) und (8) sind bis auf auf das Vorzeichen identisch.
Der Unterschied liegt nur darin,
daß bei einer Ellipse [mm]\left(y'\right)^{2}+y*y''< 0 [/mm] und bei einer Hyperbel [mm]\left(y'\right)^{2}+y*y''> 0 [/mm] ist.
>
> LG, Martinius
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 So 15.02.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo MathePower,
besten Dank für deine Mühe.
LG, Martinius
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