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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:23 Sa 04.06.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
ich habe gerade folgende Aufgabe gerechnet:
[mm] y''-2y'-3y=-2*e^{3x}
[/mm]
ich komme auf:
[mm] y_{h}=C_{1}*e^{3x}+C_{2}*e^{-x}
[/mm]
[mm] y_{p}=- \bruch{x}{2}*e^{3x}
[/mm]
[mm] y(x)=(C_{1}- \bruch{x}{2})*e^{3x}+C_{2}*e^{-x}
[/mm]
mein Taschenrechner kommt auch nach mehrmaligen Überprüfen der Eingabe auf:
[mm] y(x)=(C_{1} [/mm] - [mm] \bruch{x}{2}+ \bruch{1}{8} )*e^{3x}+C_{2}*e^{-x}
[/mm]
wo bekommt er die [mm] \bruch{1}{8} [/mm] her???
Vielen Dank & Grüße
kruder77
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:48 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Kruder!
Deine Lösung ist absolut richtig. Ich rechne es noch einmal vor:
Die Nullstellen von [mm] $p(x)=x^2-2x-3$ [/mm] sind [mm] $x_1=3$ [/mm] und [mm] $x_2=-1$.
[/mm]
Daher ist
[mm] $y_h(x) [/mm] = [mm] C_1 \cdot e^{3x} [/mm] + [mm] C_2 \cdot e^{-x}$
[/mm]
ein Ansatz für die homogene Lösung.
Da [mm] $\lambda=3$ [/mm] eine einfache Nullstelle von $p$ ist, ist weiterhin
[mm] $y_p(x) [/mm] = [mm] A_0xe^{3x}$
[/mm]
ein Ansatz für die partikuläre Lösung. Einsetzen dieser Lösung in die Differentialgleichung und Koeffizientenvergleich liefert
[mm] $A_0 [/mm] = - [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Daher ist
$y(x) = [mm] y_h(x) [/mm] + [mm] y_p(y) [/mm] = [mm] \left( C_1 - \frac{x}{2} \right) \cdot e^{3x} [/mm] + [mm] C_2 \cdot e^{-x}$
[/mm]
ein Ansatz für die allgemeine Lösung.
Das ist völlig richtig!
Wie dein Taschenrechner auf
$y(x) = [mm] \left( C_1 - \frac{x}{2} + \frac{1}{8}\right) \cdot e^{3x} [/mm] + [mm] C_2 \cdot e^{-x}$
[/mm]
kommt, weiß ich nicht. Vermutlich wird dort nicht der Standardansatz für inhomogene lineare Differentialgleichungen $n$-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten verwendet.
Nichtsdestotrotz ist die Lösung richtig und stimmt mit deiner überein!!!
Warum?
Nun ja, ich kann die [mm] $\frac{1}{8}$ [/mm] ja einfach in die Konstante [mm] $C_1$ [/mm] mit reinziehen und erhalte dann mit
[mm] $\tilde{C_1} [/mm] = [mm] C_1 [/mm] + [mm] \frac{1}{8}$
[/mm]
aus der Taschenrechnerlösung die Lösung
$y(x) = [mm] \left( \tilde{C_1} - \frac{x}{2}\right) \cdot e^{3x} [/mm] + [mm] C_2 \cdot e^{-x}$,
[/mm]
also deine Lösung! 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Sa 04.06.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hi Stefan,
ich hatte die Aufgabe bestimmt dreimal gerechnet und dachte ich hätte irgendwo einen Fehler. Ansonsten gibt der Taschenrechner bei der Kontrolle eigentlich immer das Ergebnis so aus wie ich es stehen habe...
Danke für die Hilfe
kruder77
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Claudy |
Hallo!!
Also auf die homogene lsg komm ich auch, aber dann sind wir immer mit variation der konstanten weitergegangen, also
1. c1'z1 +c2'z2=0
2. c1'z1' +c2'z2 = f(x)
und da hab ich c1'= - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
c2'= [mm] \bruch{1}{2}e^{4x}
[/mm]
und komm damit nicht auf euer ergebins.
Könnt ihr mir helfen?
MfG Claudy
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Hi Claudy,
auf die partikuläre Lösung kommst Du mit dem Ansatz:
[mm] y_{p}=A*x*e^{3x}
[/mm]
das A*x kommt anstelle des "normalen" A weil 3 in [mm] e^{3x} [/mm] eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung ist. Wenn es eine zweifache ist würde dort [mm] A*x^{2} [/mm] stehen und bei keiner einfach nur A. (Der Rest ist dann wieder klar, oder ?)
Gruß kruder77
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 So 05.06.2005 | | Autor: | Claudy |
Und was mach ich mit der Lösung : e^(-x)
ist die gar nicht mehr interessant?!
Wieso nehm ich da nicht die Variation der Konstanten, damit müsste es doch eigentlich auch gehen, oder?!
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Hallo Claudy,
> Und was mach ich mit der Lösung : e^(-x)
Die Lösung [mm]e^{-x}[/mm] taucht nur als Lösung der homogenen DGL auf.
> ist die gar nicht mehr interessant?!
> Wieso nehm ich da nicht die Variation der Konstanten,
> damit müsste es doch eigentlich auch gehen, oder?!
Um die Methode der Variation der Konstanten anwenden zu können, müßtest Du die DGL 2. Ordnung in ein DGL-System 1. Ordnung überführen.
Gruß
MathePower
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