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y' = [mm] \bruch {\wurzel{1-y^{2}}}{y} [/mm] wobei 0<y<1
Hat jemand einen Tip mit welchem System man hier auf eine Lösung stoßen könnte?
lg
MannMitHut
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> y' = [mm]\bruch {\wurzel{1-y^{2}}}{y}[/mm] wobei 0<y<1
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> Hat jemand einen Tip mit welchem System man hier auf eine
> Lösung stoßen könnte? Der obere Teil des Bruches müsste ja
> im komplexen liegen, aber mir ist hier nicht klar wie ich
> das lösen könnte.
Der Zähler liegt nicht im Komplexen. Für 0 < y < 1 wie angegeben beschreibt der nämlich einen Halbkreis mir Radius 1. Man kann bei der DGL einfach mir Trennung der Variablen ansetzen, auch wenn es gar nichts zu trennen gibt.
[mm]y' = \bruch {\wurzel{1-y^{2}}}{y}[/mm]
[mm]\gdw \bruch{dy}{dx} = \bruch {\wurzel{1-y^{2}}}{y}[/mm]
[mm]\gdw \integral{\bruch{y}{\wurzel{1-y^{2}}} dy} = \integral{1 dx}[/mm]
Nun lösen 
Stefan.
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Erstmal Danke für die Antwort. Bis jetzt waren das ja noch recht einfache Umformungen. Die hatte ich auch schon gemacht, sie dann aber wieder verworfen weil mir nicht klar ist, wie ich das ausrechnen soll. Um zu einer Lösung zu kommen müsste ich ja irgendwie den linken Therm aufleiten.
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Hallo Mann mit Hut!
Substituiere auf der linken Seite $z \ := \ [mm] 1-y^2$ [/mm] oder alternativ $z \ := \ [mm] \wurzel{1-y^2}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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y' = [mm]\bruch {\wurzel{1-y^{2}}}{y}[/mm] wobei 0<y<1
[mm]y' = \bruch {\wurzel{1-y^{2}}}{y}[/mm]
[mm]\gdw \bruch{dy}{dx} = \bruch {\wurzel{1-y^{2}}}{y}[/mm]
[mm]\gdw \integral{\bruch{y}{\wurzel{1-y^{2}}} dy} = \integral{1 dx} [/mm]
Substitution:
[mm] 1-y^{2}=t
[/mm]
t' = -2y
dy [mm] =\bruch{1}{-2y}dt
[/mm]
[mm] \gdw \integral{\bruch{y}{\wurzel t} \bruch{1}{-2y}dt} [/mm] = [mm] \integral{1 dx} [/mm]
[mm] \gdw \integral{\bruch{1}{-2 \wurzel t}} [/mm] = [mm] \integral{1 dx} [/mm]
[mm] \gdw \integral -2t^{\bruch{-1}{2}} [/mm] = [mm] \integral{1 dx} [/mm]
[mm] \gdw -4t^{\bruch {1}2} [/mm] = x + c
[mm] \gdw -4\wurzel {1-y^{2}} [/mm] = x + c
Weiter weiß ich leider nicht :-/
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Hallo MannmitHut!
> [mm]\gdw \integral{\bruch{1}{-2 \wurzel t}}[/mm] = [mm]\integral{1 dx}[/mm]
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> [mm]\gdw \integral -2t^{\bruch{-1}{2}}[/mm] = [mm]\integral{1 dx}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das muss links [mm] $\integral{-\bruch{1}{2}*t^{\bruch{-1}{2}} \ dt}$ [/mm] heißen.
> [mm]\gdw -4t^{\bruch {1}2}[/mm] = x + c
>
> [mm]\gdw -4\wurzel {1-y^{2}}[/mm] = x + c
Folgefehler. Der Faktor $-4_$ stimmt nicht. Ansonsten muss man nun nach $y \ = \ ...$ umstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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[mm] \gdw \integral{\bruch{1}{-2 \wurzel t}} [/mm] = [mm]\integral{1 dx}[/mm]
[mm] \gdw \integral{-\bruch{1}{2}*t^{\bruch{-1}{2}} \ dt} [/mm] = [mm]\integral{1 dx}[/mm]
[mm] \gdw -t^{\bruch{1}{2}} [/mm] = x + c
[mm] \gdw -\wurzel{1-y^{2}} [/mm] = x + c
[mm] \gdw 1-y^{2} [/mm] = [mm] (x+c)^{2}
[/mm]
[mm] \gdw y^{2} [/mm] = - [mm] (x+c)^{2} [/mm] +1
[mm] \gdw [/mm] y = [mm] \wurzel {x^{2} + 2xc + c^{2} +1}
[/mm]
Danke für deine Hilfe Roadrunner. Passt das Ergebnis nun so?
Liebe Grüße
Mann mit Hut
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Hallo Mann Mit Hut,
> [mm]\gdw \integral{\bruch{1}{-2 \wurzel t}}[/mm] = [mm]\integral{1 dx}[/mm]
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> [mm]\gdw \integral{-\bruch{1}{2}*t^{\bruch{-1}{2}} \ dt}[/mm] =
> [mm]\integral{1 dx}[/mm]
>
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> [mm]\gdw -t^{\bruch{1}{2}}[/mm] = x + c
>
> [mm]\gdw -\wurzel{1-y^{2}}[/mm] = x + c
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> [mm]\gdw 1-y^{2}[/mm] = [mm](x+c)^{2}[/mm]
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> [mm]\gdw y^{2}[/mm] = - [mm](x+c)^{2}[/mm] +1
also [mm] $y^2=1-(x+c)^2$
[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] y = [mm]\wurzel {x^{2} + 2xc + c^{2} +1}[/mm]
was ist aus der Minusklammer geworden?, da steht doch [mm] $y^2=-(x+c)^2+1=-(x^2+2cx+c^2)+1=-x^2-2cx-c^2+1$ [/mm] ...
Außerdem solltest du zu dieser letzten Äquivalenz du einen kleinen Kommentar dazuschreiben, i.A. ist das Ziehen der Wurzel ja keine Äquivalenzumformung, aber hier schon wegen ...
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> Danke für deine Hilfe Roadrunner. Passt das Ergebnis nun
> so?
Bis auf den VZF, aber ich würde es auch gar nicht ausmultplizieren und schreiben [mm] $y=\sqrt{1-(x+c)^2}$
[/mm]
> Liebe Grüße
> Mann mit Hut
LG
schachuzipus
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