DGL, Stammfunktion, Monotonie < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Mi 14.03.2007 | | Autor: | n3cRo |
| Aufgabe | 1.
Es gilt f(4) = 16 für die Lösung der DGL t/2 * f'(t) = f(t) mit Anfangsbedingung f(0) = 0. Gibt es diese DGL?
2.
Die Funktion f(x) = x² * cos(x³) besitzt eine Stammfunktion die....
...auf ganz R monoton steigend ist?
...wobei F(x) > 0 für alle R?
3.
Wenn nach der Monotonie einer Funktion gefragt wird die eine Definitionslücke hat, kann man dann generell sagen die Fkt. ist nicht monoton steigend etc., da eine Definitionslücke vorliegt? |
Hallo,
ich rechne gerade ine Matheklausur durch zu der ich auch die Lösung habe, von daher handelt es sich hier lediglich um Fragen des Verständnis bzw. allgemein zum Vorgehen.
1.
Wie geht man bei dieser Aufgabe generell vor? Habe leider nie ein Beispiel zu einem solchen Typ gesehen.
2.
Betrachtet man hier beide Funktionen der Verkettung einzeln um dann eine Aussage zu treffen oder wie geht man hier generell vor?
3.
s. Aufgabe
Danke für eure Mühe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Mi 14.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> 1.
> Es gilt f(4) = 16 für die Lösung der DGL t/2 * f'(t) =
> f(t) mit Anfangsbedingung f(0) = 0. Gibt es diese DGL?
>
> 2.
> Die Funktion f(x) = x² * cos(x³) besitzt eine
> Stammfunktion die....
> ...auf ganz R monoton steigend ist?
> ...wobei F(x) > 0 für alle R?
>
[mm] cosx^3 [/mm] wechselt das Vorzeichen,d.h. es gibt sicher pos und negative Teile des Integrals, d,h, F ist sicher nicht monoton.
> 3.
> Wenn nach der Monotonie einer Funktion gefragt wird die
> eine Definitionslücke hat, kann man dann generell sagen die
> Fkt. ist nicht monoton steigend etc., da eine
> Definitionslücke vorliegt?
hier wuerde ich sagen nein, kommt drauf an, wie ihr Monotonie definiert habt. aber wenn gilt: fuer alle x,y aus dem defbereich gilt aus x<y folgt f(x)<f(y)dann kann man auch bei definitionsluecken von Monotonie sprechen.
> Hallo,
> ich rechne gerade ine Matheklausur durch zu der ich auch
> die Lösung habe, von daher handelt es sich hier lediglich
> um Fragen des Verständnis bzw. allgemein zum Vorgehen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Mi 14.03.2007 | | Autor: | n3cRo |
ok, ich fühle mich also bei Aufgabe 2 und 3 bestätigt :)
Aber hast du auch einen Ansatz zur Aufgabe1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Do 15.03.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
meine Antwort zu 1 ist irgendwie verschwunden.
einfacher Weg:
[mm] f(4)-4^2 [/mm] und f(0)=0 lassen [mm] f=t^2 [/mm] vermuten. in Dgle einsetzen und bestaetigen.
nur wenig schwieriger weg: separation der konstanten und Bedingungen einsetzen.
Die Frage ist komisch gestellt! steht die da so woertlich?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mi 14.03.2007 | | Autor: | mijus |
> 1.
> Es gilt f(4) = 16 für die Lösung der DGL t/2 * f'(t) =
> f(t) mit Anfangsbedingung f(0) = 0. Gibt es diese DGL?
Natürlich gibt's diese DGL; sie steht ja da  . Ob es eine Lösung gibt, ist eine andere Frage.
> 1.
> Wie geht man bei dieser Aufgabe generell vor? Habe leider
> nie ein Beispiel zu einem solchen Typ gesehen.
Tipp: Umformung der DGL zu f'(t)/f(t)=2/t und Integration...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Sa 17.03.2007 | | Autor: | n3cRo |
Bei 1. verstehe ich den Ansatz leider immer noch nicht, ich kann zwar die Gleichung z.B. nach t/2 = f(t) / f'(t) umstellen, aber da hörts dann auch auf. Sind in der Vorlesung leider nie wirklich auf DGLs eingegangen, das einzige was ich aus den Übungen weiß ist wie ich DGLs nach dem Muster y'(t) = c*y(t) löse und das ich für ne eindeutige DGL immer nen Anfangswert brauche =(
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DGL's waren mal mein Lieblingsthema deswegen:
ganz allgemein hat eine gewöhnliche DGL die Form: [mm] \bruch{df(x)}{dx}=G(x)
[/mm]
bis hier gibt's es zu einer DGL (unter bestimmten Bedingungen an die Stetigkeit der rechten Seite und ... bla bla) unednlich viele Lösungen. Damit es eindeutige eine Lösung gibt, müssen Vorgaben her, im einfachsten Fall: Anfgangsbedingungen. Das heißt: [mm] f(x_0)=K [/mm] (konstante).
Die DGL löst man dan so: erstmal die Separation der Konstanten, wie bereits erwähnt, ds heißt einfach alle x oder t Ausdrücke auf eine Seite und alle f Asdrücke auf andere Seite umstellen . Das kannst Du ja, hast es eben gesagt.
Dann integriert man einfach auf beiden Seiten. Denn links steht dann so etwas wie: H(f)*df und rechts: K(x)*dx. Nach Integration erhälst dann schon mal eine Funktion, aber: nicht vergessen die Integrationskonstante die da übrig bleibt. Damit man auch sie los wird, sind nun die Anfangsbedingungen notwendig. Setz man in die erhaltene Gleichung [mm] x_0 [/mm] und [mm] f(x_0) [/mm] ein und Umstellen nach der Konstanten. Dann hast du die Lösung.
Dies ist der einfachste Fall.
bis dann
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