DGL Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Ursus |
| Aufgabe | Löse folgende DGL exakt: [mm] (x+y)^{2}*y' [/mm] = 4 mit y=f(x)
Anleitung:
Durch welche Substitution kann man eine DGL mit getrennten Variablen bekommen? |
Hallo Leute!
Ich weiß einfach nicht wie ich bei dieser DGL substitutieren soll.
Zuerst hab ich mit gedacht ich setze z=x+y
[mm] \bruch{dz}{dx}=1+y'(x) \gdw [/mm] dx = [mm] \bruch{dz}{1+y'[x]}
[/mm]
es folgt z'=1+y'
dann ist y'=z'-1
Die DGL umgeformt:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{4}{(x+y)^{2}}
[/mm]
dy = [mm] \bruch{4}{(x+y)^{2}} [/mm] dx
jetzt die Substitution eingesetzt:
dy = [mm] \bruch{4}{z^{2}} \bruch{dz}{1+y'[x]}
[/mm]
dy = [mm] \bruch{4}{z^{2}} \bruch{dz}{z'}
[/mm]
So und jetzt weiß nicht mehr, wie es weitergehen soll?
Fragen: - Stimmt meine Substitution so?
- Wie gehts von hier weiter, wie wird integriert?
Besten Dank für eure Hilfe!
mfg URSUS
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Di 20.03.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Ursus
y ist eine Funktion von der Variable x. Wenn du die Substitution z=x+y durchführst, dann ist z eine Funktion von x und nicht eine Funktion von y.
D.h. $z(x)=x+y(x)$ und es gilt $z'(x)=1+y'(x)$.
Setzt man alles ein so erhält man für die Funktion z(x) die DGL:
[mm] $z^2(z'-1)=4$, [/mm] denn es gilt ja $y'(x)=z'(x)-1$ (siehe oben).
Wie du siehst, kommt die Variable x nicht mehr explizit vor, damit ist die DGL sicher separierbar.
Zuerst muss man nach z'(x) auflösen:
[mm] $z'=\frac{4}{z^2}+1=\frac{4+z^2}{z^2}$ [/mm] und setzt jetzt [mm] $z'(x)=\frac{dz}{dx}$. [/mm] Es ergibt sich dann separiert:
[mm] $\frac{z^2}{z^2+4}dz=dx$ [/mm] etc.
mfg Moudi
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