DGL Systeme Ansatzmethode < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Do 03.05.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich bräuchte dringend Hilfe bei einer Aufgabe.
Ich soll die inhomogenen DGLsysteme mit der Ansatzmethode lösen.
[mm] y'=\pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 0 }y+\vektor{0 \\ 2e^t} \lambda_1,2=1
[/mm]
[mm] y'=\pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 0 }y+\vektor{cos(t) \\ 0} \lambda_1,2=1
[/mm]
[mm] y'=\pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 0 }y+\vektor{cos(t) \\ 0}+\vektor{0 \\ 2e^t} \lambda_1,2=1
[/mm]
Ich habe leider kein passendes Bsp gefunden,wo ich mir zusammenreimen kann wie das ungefähr funktioniert,vielleicht könnt ihr mir ja bei einen von meinen BSp helfen,die anderen denke ich gehen dann genauso
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Hallo racy90,
> Hallo,
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> Ich bräuchte dringend Hilfe bei einer Aufgabe.
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> Ich soll die inhomogenen DGLsysteme mit der Ansatzmethode
> lösen.
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> [mm]y'=\pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 0 }y+\vektor{0 \\ 2e^t} \lambda_1,2=1[/mm]
>
> [mm]y'=\pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 0 }y+\vektor{cos(t) \\ 0} \lambda_1,2=1[/mm]
>
> [mm]y'=\pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 0 }y+\vektor{cos(t) \\ 0}+\vektor{0 \\ 2e^t} \lambda_1,2=1[/mm]
>
> Ich habe leider kein passendes Bsp gefunden,wo ich mir
> zusammenreimen kann wie das ungefähr
> funktioniert,vielleicht könnt ihr mir ja bei einen von
> meinen BSp helfen,die anderen denke ich gehen dann genauso
Bestimme zunächst die Lösung der homogenen DGL-Systeme,
bevor Du dann die Lösung des inhomogenen DGL-Systeme bestimmst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 03.05.2012 | | Autor: | racy90 |
Okay als homogene Lösung bekomme ich für alle 3 Bsp dieselbe Lösung heraus.
[mm] \vektor{x(t) \\ y(t)}=C1e^t\vektor{1 \\ 1}+C2e^t\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
und wie komme ich nun auf meine inhomoge Lösung
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Hallo racy90,
> Okay als homogene Lösung bekomme ich für alle 3 Bsp
> dieselbe Lösung heraus.
>
> [mm]\vektor{x(t) \\ y(t)}=C1e^t\vektor{1 \\ 1}+C2e^t\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
Die zweite Lösung stimmt nicht.
> und wie komme ich nun auf meine inhomoge Lösung
Wenn Du mit der Variation der Konstanten arbeitest,
dann musst Du die Konstanten in der Lösung zusätlich
von t abhängig machen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Do 03.05.2012 | | Autor: | racy90 |
okay dann halt [mm] \vektor{x(t) \\ y(t)}=C1e^t\vektor{1 \\ 1}+C2e^t\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Ich weiß leider nicht ob ich mit der Variation der Konstanten arbeiten muss,es steht nur ich soll es mit der Ansatzmethode lösen.
Meine Inhomogenität für das erste Bsp wäre ja [mm] \vektor{0 \\ 2}e^t
[/mm]
Aber wie soll ich nun einen Ansatz finden.
Der Ansatz muss dann glaub ich ins DGLsystem eingesetzt werden aber wo ist die Frage ?? :/
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Hallo racy90,
> okay dann halt [mm]\vektor{x(t) \\ y(t)}=C1e^t\vektor{1 \\ 1}+C2e^t\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
Das ist auch nicht richtig, da 1 doppelter Eigenwert ist.
Um eine zweite linear unabhängig Lösung zu finden,
machst Du den Ansatz
[mm]\left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{t}[/mm]
> Ich weiß leider nicht ob ich mit der Variation der
> Konstanten arbeiten muss,es steht nur ich soll es mit der
> Ansatzmethode lösen.
>
> Meine Inhomogenität für das erste Bsp wäre ja [mm]\vektor{0 \\ 2}e^t[/mm]
>
> Aber wie soll ich nun einen Ansatz finden.
>
Überprüfe zunächst, ob die Inhomogenität
Lösung des homogenen DGL-Systems ist.
Je nach dem ob die Inhomogenität
Lösung des homogenen DGL-Systems ist oder nicht,
ist auch der Ansatz zu wählen.
> Der Ansatz muss dann glaub ich ins DGLsystem eingesetzt
> werden aber wo ist die Frage ?? :/
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Do 03.05.2012 | | Autor: | racy90 |
und was ist a und b?
ist a der Eigenvektor?
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Hallo racy90,
> und was ist a und b?
>
> ist a der Eigenvektor?
a und b ergeben sich aus den entsprechenden Gleichungen,
die Du durch Einsetzen des Ansatzes der zweiten Lösung in
das homogene DGL-System erhältst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Do 03.05.2012 | | Autor: | racy90 |
[mm] y'=\pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 0 }y
[/mm]
[mm] (a+t*b)e^t [/mm] für y ersetzen oder wo soll das eingesetzt werden?
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Hallo racy90,
> [mm]y'=\pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 0 }y[/mm]
>
> [mm](a+t*b)e^t[/mm] für y ersetzen oder wo soll das eingesetzt
> werden?
Genau.
Für y' setzt Du [mm]\left( \ \left(a*t+b\right)*e^{t} \ \right)'[/mm]
Gruss
MathePower
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