DGL aufstellen und lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 So 22.10.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | In einer Population der Größe N breche zur Zeit [mm] t_{0} [/mm] = 0 eine Grippe aus, d.h. ein Mitglied der Population erkrankt (E(0) =1). Um ihre Ausbreitung zu studieren, machen wir folgende Annahme:
a) Jedes Mitglied der Population kann angesteckt werden, ist also weder durch Immunität noch durch Schutzimpfung gegen Grippe gefeit.
b) Die Krankheit ist so langwierig, dass in dem betrachteten Zeitraum keine Heilungen erfolgen; sie ist aber nicht tödlich
c) Jedes angesteckte Mitglied ist seinerseits ansteckend, darf sich aber dennoch frei in der Population bewegen.
d) Pro Zeiteinheit hat jeder Angesteckte k Kontakte mit anderen Mitgliedern der Population und jeder Kontakt mit einem noch Gesunden führt zu dessen Erkrankung.
Leiten sie eine DGL für die Anzahl E(t) der zum Zeitpunkt t Erkrankten her und lösen sie diese. |
Hallo,
ich benötige mal wieder Hilfe.
Mein Ansatz:
Am Anfang ist eine Person erkrankt und diese steckt im nächsten Moment t=1 k weitere Personen an. Also sind nun E(1) = k+1 Personen erkrankt.
Bis hierhin ist alles klar. Würde nun alles "reibungslos" weitergehen würde ich sagen, dass E(t) = [mm] (k+1)^t [/mm] ist.
Hierbei ist aber nicht bedacht (ebenfalls nicht in der Aufgabenstellung), dass unter den k Kontakten einer infizierten Person bereits einige kranke Personen sein könnten oder, dass nach dem Zeitpunkt t=1 mehrere der k+1 Kranken die selben noch Gesunden treffen.
Außerdem wüsste ich nicht, was an dieser Funktion noch zu lösen wäre und man muss doch irgendwie noch die Populationsgröße N einbauen, da jdoch nicht mehr Menschen erkranken können als vorhanden sind.
Kann mir jemand helfen? Ich blicke bei den ganzen DGL bisher echt mal gar nicht durch.
Grüße, Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Mo 23.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo oeli
Mit deinen Bedenken, dass das nicht mit reinem Wachstum geht hast du recht. spätestens wenn E=N ist ists Schluss. Dadurch kommt man auf den Ansatz, dass die Änderung von E also E' proportional der Zahl der Gesunden sein muss.
also E'(t)=c*(N-E(t)) . Die Dgl kann man lösen, und dsann c so bestimmen, dass für t=1 E(t) stimmt. für t gegen unendlich muss E=N sein und das stimmt von allein, wenn du die lösung der Dgl richtig hast. und die Konstanten so bestimmt, dass E(0)=1.
Gruss leduart
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