DGL finden < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mi 25.06.2008 | | Autor: | stimo59 |
Hallo, ich habe mal wieder eine Frage zu einer Aufgabe, bei der ich nicht recht weiß, wie ich sie angehen soll.
Ich muss eine Differentialgleichung zweiter Ordnung finden, die folgende Lösungen besitzt: [mm] u_{1}(t)=e^{2t}, u_{2}(t)=e^{3t}.
[/mm]
Es wäre schön, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen, bzw. erklären könnte, wie man sowas macht. Danke schonmal,
MfG Timo
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Hallo,
> Hallo, ich habe mal wieder eine Frage zu einer Aufgabe, bei
> der ich nicht recht weiß, wie ich sie angehen soll.
> Ich muss eine Differentialgleichung zweiter Ordnung
> finden, die folgende Lösungen besitzt: [mm]u_{1}(t)=e^{2t}, u_{2}(t)=e^{3t}.[/mm]
>
> Es wäre schön, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen, bzw.
> erklären könnte, wie man sowas macht. Danke schonmal,
>
> MfG Timo
[mm] $y(t)=C_1*e^{2t}+C_2*e^{3t}$
[/mm]
[mm] \lambda_1=2 [/mm] und [mm] \lambda_2=3
[/mm]
[mm] $(\lambda-2)*(\lambda-3)=\lambda^2-5*\lambda+6$
[/mm]
$y''(t)-5*y'(t)+6y=0$
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Do 26.06.2008 | | Autor: | stimo59 |
Vielen Dank für die Antwort! Leider kann ich den Weg noch nicht ganz nachvollziehen bzw. wäre niemals selber drauf gekommen. Könntest du das vielleicht noch etwas erklären? Danke und Gruß,
Timo
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Hallo,
> Vielen Dank für die Antwort! Leider kann ich den Weg noch
> nicht ganz nachvollziehen bzw. wäre niemals selber drauf
> gekommen. Könntest du das vielleicht noch etwas erklären?
> Danke und Gruß,
> Timo
Das ist nur das Lösungsverfahren für eine homogene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten rückwärts angewandt.
Wenn Du deine DGL 2. Ordnung hast, dann setzt Du doch als Lösung an: [mm] $y=e^{\lambda*x}$ [/mm] und bildest damit das charakteristische Polynom.
Bei den Lösungen des charakteristischen Polynoms kann man 3 Fälle unterscheiden:
1.) [mm] \lambda_1 \not= \lambda_2 [/mm] (reelle Lösungen)
Fundamentalbasis: [mm] $y_1=C_1*e^{\lambda_1*x}$ [/mm] und [mm] $y_2=C_2*e^{\lambda_2*x}
[/mm]
2.) [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] =c$ (reelle Lösung)
Fundamentalbasis: [mm] $y_1=C_1*e^{c*x}$ [/mm] und [mm] $y_2=C_2*x*e^{c*x}$
[/mm]
3.) [mm] \lambda_{1,2}=\alpha \pm i\omega [/mm] (konjugiert komplexe Lösungen)
Fundamentalbasis: [mm] $y_1=C_1*e^{\alpha*x}*sin(\omega*x)$ [/mm] und [mm] $y_2=C_2*e^{\alpha*x}*cos(\omega*x)$
[/mm]
Wenn Du nun deine beiden vorgegebenen Lösungen anschaust, siehst Du, dass der 1. Fall vorliegt. Also musst Du ein charakeristisches Polynom finden, dass [mm] \lambda_1=2 [/mm] und [mm] \lambda_2=3 [/mm] als Lösungen (Nullstellen eines Polynoms 2. Grades) hat.
Das bekommst Du aus dem Produkt:
[mm] $(\lambda-2)*(\lambda-3)=\lambda^2-5*\lambda+6=0$
[/mm]
; oder einem beliebigen Vielfachen davon.
Das charakteristische Polynom multiplizierst Du dann mit deinem Lösungsansatz [mm] $y(x)=e^{\lambda*x}$.
[/mm]
[mm] $\lambda^2*e^{\lambda*x}-5*\lambda*e^{\lambda*x}+6*e^{\lambda*x}=0$
[/mm]
Also hast Du da stehen:
$y''(x)-5*y'(x)+6y(x)=0$
LG, Martinius
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