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| Aufgabe | a) Lösen Sie folgendes AWP:
[mm] xy'=y^2-y, y_0=y(x_0)=y(2)=-1
[/mm]
b) Lösen Sie folgende Differentialgleichungen:
[mm] P'=\lambda [/mm] P(K-P) [mm] (\lambda, [/mm] K > 0, konstant) |
Hallo,
wiedermal bräuchte ich ein wenig Hilfe:
Zur a:
[mm] xy'=y^2-y \gdw y'=\bruch{y^2-y}{x}, y^2-y [/mm] > 0 [mm] \gdw [/mm] y > 1
Dabei handelt es sich doch um DGL mit trennbaren Variablen, d.h. ich finde die Lösung über [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y^2-y} dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx} \gdw \bruch{1}{2}*\integral_{}^{}{-\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y-1} dy}= [/mm] ln|x| +c [mm] \gdw ln|\bruch{y+1}{y}|=ln|x|+c \gdw [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{y}=\bruch{1}{x} [/mm] * [mm] e^c [/mm] (da [mm] e^c [/mm] jeden beliebigen pos. reellen Wert annehmen kann und [mm] 2=x_0 [/mm] pos. reell: [mm] e^c=d) \gdw y=\bruch{x}{d-x}. [/mm]
Jetzt setz ich den gegebenen Punkt ein:
[mm] -1=y(2)=\bruch{2}{2-d} \gdw [/mm] d=0, das macht aber recht wenig Sinn. Wo ist denn mein Denkfehler in dieser Rechnung?
Zur b:
Ich hab das P ersteinmal mit y ersetzt, sieht gewohnter aus:
[mm] y'=\lambda [/mm] y(K-y), wieder eine DGL mit trennbaren Variablen und wieder:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{Ky-y^2} dy}=\integral_{}^{}{1 dx} \gdw [/mm] (nach Partialbruchzerlegung und co... [mm] \bruch{1}{\lambda K}*[\integral_{}^{}{ \bruch{-1}{y}+\bruch{a}{y-k} dy}]=x+c \gdw ln|y^2 [/mm] - Ky| = [mm] \lambda [/mm] K (x+c)
Ist das Ergebnis denn richtig? Das sind die ersten Aufgaben, die ich zu diesem Bereich gerechnet habe, und bin mir daher ein wenig unsicher.
Danke im Voraus!
lg Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kai!
> [mm]\gdw ln|\bruch{y+1}{y}|=ln|x|+c \gdw[/mm]
Hier schleicht sich auf der linken Seite ein falsches Pluszeichen ein. Es muss heißen:
[mm] $$\ln\left|\bruch{y \ \red{-} \ 1}{y}\right| [/mm] \ = \ [mm] \ln|x|+c$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> Hallo Kai!
>
>
> > [mm]\gdw ln|\bruch{y+1}{y}|=ln|x|+c \gdw[/mm]
>
> Hier schleicht sich auf der linken Seite ein falsches
> Pluszeichen ein. Es muss heißen:
> [mm]\ln\left|\bruch{y \ \red{-} \ 1}{y}\right| \ = \ \ln|x|+c[/mm]
>
> Gruß
> Loddar
>
Okay danke!
Wenn ich jetzt mit dem "-" weiterrechne komme ich auf [mm] y=\bruch{x}{x-d} [/mm] und nach einsetzten auf d=-4 und damit die spezielle Lösung:
[/mm] [mm] y=\bruch{x}{x+4}[/mm] [mm]
Ist das jetzt richtig?
lg Kai
Und nochmals Danke!!
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Hallo kuemmelsche,
> > Hallo Kai!
> >
> >
> > > [mm]\gdw ln|\bruch{y+1}{y}|=ln|x|+c \gdw[/mm]
> >
> > Hier schleicht sich auf der linken Seite ein falsches
> > Pluszeichen ein. Es muss heißen:
> > [mm]\ln\left|\bruch{y \ \red{-} \ 1}{y}\right| \ = \ \ln|x|+c[/mm]
>
> >
> > Gruß
> > Loddar
> >
>
> Okay danke!
>
> Wenn ich jetzt mit dem "-" weiterrechne komme ich auf
> [mm]y=\bruch{x}{x-d}[/mm] und nach einsetzten auf d=-4 und damit die
> spezielle Lösung:
> [/mm] [mm]y=\bruch{x}{x+4}[/mm] [mm]
>Ist das jetzt richtig?
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>lg Kai
>Und nochmals Danke!!
Gruß
MathePower
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Nicht dass ihr denkt ich rate, ich stell mich einfach nur blöd an^^
Nach 3maligen Kontrollieren komme ich auf [mm] y=\bruch{1}{1-dx} (d=e^x).
[/mm]
Jetzt setze ich -1=y(2) ein und komme auf d=1 und zu guter Letzt auf [mm] y=\bruch{1}{1-x} [/mm] als spezielle Lösung.
Hab ich mich jetzt dabei wieder vertan?
lg Kai
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Hallo kuemmelsche,
> Nicht dass ihr denkt ich rate, ich stell mich einfach nur
> blöd an^^
>
> Nach 3maligen Kontrollieren komme ich auf [mm]y=\bruch{1}{1-dx} (d=e^x).[/mm]
>
> Jetzt setze ich -1=y(2) ein und komme auf d=1 und zu guter
> Letzt auf [mm]y=\bruch{1}{1-x}[/mm] als spezielle Lösung.
>
> Hab ich mich jetzt dabei wieder vertan?
Nein, jetzt stimmt die Lösung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> lg Kai
Gruß
MathePower
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Hallo kuemmelsche,
> b) Lösen Sie folgende Differentialgleichungen:
>
> [mm]P'=\lambda[/mm] P(K-P) [mm](\lambda,[/mm] K > 0, konstant)
> Hallo,
>
> wiedermal bräuchte ich ein wenig Hilfe:
>
>
> Zur b:
>
> Ich hab das P ersteinmal mit y ersetzt, sieht gewohnter
> aus:
>
> [mm]y'=\lambda[/mm] y(K-y), wieder eine DGL mit trennbaren Variablen
> und wieder:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{Ky-y^2} dy}=\integral_{}^{}{1 dx} \gdw[/mm]
> (nach Partialbruchzerlegung und co... [mm]\bruch{1}{\lambda K}*[\integral_{}^{}{ \bruch{-1}{y}+\bruch{a}{y-k} dy}]=x+c \gdw ln|y^2[/mm]
> - Ky| = [mm]\lambda[/mm] K (x+c)
>
> Ist das Ergebnis denn richtig? Das sind die ersten
> Aufgaben, die ich zu diesem Bereich gerechnet habe, und bin
> mir daher ein wenig unsicher.
Leider nicht:
[mm]\bruch{1}{Ky-y^2}}=\bruch{1}{K}\bruch{1}{y}-\bruch{1}{K}\bruch{1}{y-K}[/mm]
ergibt integriert:
[mm]\bruch{1}{K}*\ln\vmat{\bruch{y}{y-K}}[/mm]
>
> Danke im Voraus!
>
> lg Kai
Gruß
MathePower
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> Leider nicht:
>
> [mm]\bruch{1}{Ky-y^2}}=\bruch{1}{K}\bruch{1}{y}-\bruch{1}{K}\bruch{1}{y-K}[/mm]
>
> ergibt integriert:
>
> [mm]\bruch{1}{K}*\ln\vmat{\bruch{y}{y-K}}[/mm]
>
Hier komm ich nicht so ganz mit:
[mm] \bruch{1}{\lambda}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{ky-y^2} dy}=\integral_{}^{}{ dx} \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\lambda*k}*\integral_{}^{}{\bruch{-1}{y}+\bruch{1}{y-k} dy}=\integral_{}^{}{ dx} [/mm] (Partialbruchzerlegung, das k ausgeklammert und im Nenner ist doch y=y-0 und y-k mit k und 0 als Nullstellen richtig, oder?) [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\lambda*k}*[ln|-y|+ln|y-k|]=x+c \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\lambda*k}*ln|\bruch{y-k}{y}|=x+c
[/mm]
Da komme ich genau auf das Reziproke... aber wo ist denn in meiner Rechung der Fehler...? Mache ich was bei den Beträgen falsch?
Danke im Voraus!
lg Kai
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Hallo kuemmelsche,
> > Leider nicht:
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{Ky-y^2}}=\bruch{1}{K}\bruch{1}{y}-\bruch{1}{K}\bruch{1}{y-K}[/mm]
> >
> > ergibt integriert:
> >
> > [mm]\bruch{1}{K}*\ln\vmat{\bruch{y}{y-K}}[/mm]
> >
>
> Hier komm ich nicht so ganz mit:
>
> [mm]\bruch{1}{\lambda}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{ky-y^2} dy}=\integral_{}^{}{ dx} \gdw[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\lambda*k}*\integral_{}^{}{\bruch{-1}{y}+\bruch{1}{y-k} dy}=\integral_{}^{}{ dx}[/mm]
> (Partialbruchzerlegung, das k ausgeklammert und im Nenner
> ist doch y=y-0 und y-k mit k und 0 als Nullstellen richtig,
> oder?) [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\bruch{1}{\lambda*k}*[ln|-y|+ln|y-k|]=x+c \gdw[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\lambda*k}*ln|\bruch{y-k}{y}|=x+c[/mm]
>
> Da komme ich genau auf das Reziproke... aber wo ist denn in
> meiner Rechung der Fehler...? Mache ich was bei den
> Beträgen falsch?
[mm]\bruch{-1}{y}+\bruch{1}{y-k}=\bruch{-y+k+y}{y*\left(y-k\right)}=\bruch{k}{y*\left(y-k\right)} =-\bruch{-k}{y*\left(k-y\right)}[/mm]
Im Nenner muß [mm]y*\left(k-y\right)[/mm] stehen.
>
> Danke im Voraus]!
>
> lg Kai
>
>
Gruß
MathePower
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> Hallo kuemmelsche,
>
> > > Leider nicht:
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{1}{Ky-y^2}}=\bruch{1}{K}\bruch{1}{y}-\bruch{1}{K}\bruch{1}{y-K}[/mm]
> > >
> > > ergibt integriert:
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{K}*\ln\vmat{\bruch{y}{y-K}}[/mm]
> > >
> >
> > Hier komm ich nicht so ganz mit:
> >
> > [mm]\bruch{1}{\lambda}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{ky-y^2} dy}=\integral_{}^{}{ dx} \gdw[/mm]
>
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> >
> [mm]\bruch{1}{\lambda*k}*\integral_{}^{}{\bruch{-1}{y}+\bruch{1}{y-k} dy}=\integral_{}^{}{ dx}[/mm]
> > (Partialbruchzerlegung, das k ausgeklammert und im Nenner
> > ist doch y=y-0 und y-k mit k und 0 als Nullstellen richtig,
> > oder?) [mm]\gdw[/mm]
> > [mm]\bruch{1}{\lambda*k}*[ln|-y|+ln|y-k|]=x+c \gdw[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1}{\lambda*k}*ln|\bruch{y-k}{y}|=x+c[/mm]
> >
> > Da komme ich genau auf das Reziproke... aber wo ist denn in
> > meiner Rechung der Fehler...? Mache ich was bei den
> > Beträgen falsch?
>
>
> [mm]\bruch{-1}{y}+\bruch{1}{y-k}=\bruch{-y+k+y}{y*\left(y-k\right)}=\bruch{k}{y*\left(y-k\right)} =-\bruch{-k}{y*\left(k-y\right)}[/mm]
>
> Im Nenner muß [mm]y*\left(k-y\right)[/mm] stehen.
>
>
Ahhhhhh... stimmt. Okay danke.
Aber das "-" kann ich ja auch mit ausklammern:
[mm]
-\bruch{1}{\lambda*k}*\integral_{}^{}{\bruch{-1}{y}+\bruch{1}{y-k} dy}=\integral_{}^{}{ dx} \gdw
\bruch{1}{\lambda*k}*ln|y|-ln|y-k|= x+c \gdw
ln|\bruch{y}{y-k}|=x+c \gdw [/mm]
(Jetzt komme ich wieder auf etwas ehr komisches-.-) [mm] y=\bruch{k}{d*e^x-1}+k
[/mm]
Stimmt das jetzt so?
> >
> > Danke im Voraus]!
> >
> > lg Kai
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Hallo kuemmelsche,
> > Hallo kuemmelsche,
> >
> > > > Leider nicht:
> > > >
> > > >
> > >
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> [mm]\bruch{1}{Ky-y^2}}=\bruch{1}{K}\bruch{1}{y}-\bruch{1}{K}\bruch{1}{y-K}[/mm]
> > > >
> > > > ergibt integriert:
> > > >
> > > > [mm]\bruch{1}{K}*\ln\vmat{\bruch{y}{y-K}}[/mm]
> > > >
> > >
> > > Hier komm ich nicht so ganz mit:
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{\lambda}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{ky-y^2} dy}=\integral_{}^{}{ dx} \gdw[/mm]
>
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> [mm]\bruch{1}{\lambda*k}*\integral_{}^{}{\bruch{-1}{y}+\bruch{1}{y-k} dy}=\integral_{}^{}{ dx}[/mm]
> > > (Partialbruchzerlegung, das k ausgeklammert und im Nenner
> > > ist doch y=y-0 und y-k mit k und 0 als Nullstellen richtig,
> > > oder?) [mm]\gdw[/mm]
> > > [mm]\bruch{1}{\lambda*k}*[ln|-y|+ln|y-k|]=x+c \gdw[/mm]
> > >
>
> > > [mm]\bruch{1}{\lambda*k}*ln|\bruch{y-k}{y}|=x+c[/mm]
> > >
> > > Da komme ich genau auf das Reziproke... aber wo ist denn in
> > > meiner Rechung der Fehler...? Mache ich was bei den
> > > Beträgen falsch?
> >
> >
> >
> [mm]\bruch{-1}{y}+\bruch{1}{y-k}=\bruch{-y+k+y}{y*\left(y-k\right)}=\bruch{k}{y*\left(y-k\right)} =-\bruch{-k}{y*\left(k-y\right)}[/mm]
>
> >
> > Im Nenner muß [mm]y*\left(k-y\right)[/mm] stehen.
> >
> >
>
> Ahhhhhh... stimmt. Okay danke.
>
> Aber das "-" kann ich ja auch mit ausklammern:
>
> [mm]
-\bruch{1}{\lambda*k}*\integral_{}^{}{\bruch{-1}{y}+\bruch{1}{y-k} dy}=\integral_{}^{}{ dx} \gdw
\bruch{1}{\lambda*k}*ln|y|-ln|y-k|= x+c \gdw
ln|\bruch{y}{y-k}|=x+c \gdw[/mm]
>
Hier muß es heißen:
[mm]\integral_{}^{}{ dx} \gdw
\bruch{1}{\lambda*k}*ln|y|-ln|y-k|= x+c \gdw
ln|\bruch{y}{y-k}|=\red{\lambda*k}*\left(x+c\right) \gdw[/mm]
> (Jetzt komme ich wieder auf etwas ehr komisches-.-)
> [mm]y=\bruch{k}{d*e^x-1}+k
[/mm]
>
> Stimmt das jetzt so?
>
> > >
> > > Danke im Voraus]!
> > >
> > > lg Kai
>
>
Gruß
MathePower
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> Hier muß es heißen:
>
> [mm]\integral_{}^{}{ dx} \gdw
\bruch{1}{\lambda*k}*ln|y|-ln|y-k|= x+c \gdw
ln|\bruch{y}{y-k}|=\red{\lambda*k}*\left(x+c\right) \gdw[/mm]
Ja genau das steht auch bei mir aufm Zettel:
[mm] \gdw [/mm] (Die Fallunterscheidung tippe ich jetzt mal nicht ein, ich nehme den fall, indem der Betrag einfach so wegfällt)
[mm] \bruch{y}{y-k}=e^{\lambda*K(x+c)} [/mm]
[mm] \gdw 1+\bruch{k}{y-k}=e^{\lambda*K*x}*e^{\lambda*K*c}
[/mm]
[mm] \gdw e^{\lambda*K*x}*e^{\lambda*K*c}-1=\bruch{k}{y-k}
[/mm]
[mm] \gdw y-k=\bruch{k}{e^{\lambda*K*x}*e^{\lambda*K*c}-1}
[/mm]
[mm] \gdw y=\bruch{k}{e^{\lambda*K*x}*e^{\lambda*K*c}-1}+k
[/mm]
Das sieht schon wieder sehr komisch aus, aber ich weiß echt nich was ich falsch gemacht haben soll...
> > > > Danke im Voraus!
> > > > lg Kai
Und nochmal extra danke an MathePower für so viel Geduld!
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Hallo kuemmelsche,
> > Hier muß es heißen:
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{ dx} \gdw
\bruch{1}{\lambda*k}*ln|y|-ln|y-k|= x+c \gdw
ln|\bruch{y}{y-k}|=\red{\lambda*k}*\left(x+c\right) \gdw[/mm]
>
> Ja genau das steht auch bei mir aufm Zettel:
>
> [mm]\gdw[/mm] (Die Fallunterscheidung tippe ich jetzt mal nicht ein,
> ich nehme den fall, indem der Betrag einfach so wegfällt)
>
> [mm]\bruch{y}{y-k}=e^{\lambda*K(x+c)}[/mm]
>
> [mm]\gdw 1+\bruch{k}{y-k}=e^{\lambda*K*x}*e^{\lambda*K*c}[/mm]
>
> [mm]\gdw e^{\lambda*K*x}*e^{\lambda*K*c}-1=\bruch{k}{y-k}[/mm]
>
> [mm]\gdw y-k=\bruch{k}{e^{\lambda*K*x}*e^{\lambda*K*c}-1}[/mm]
>
> [mm]\gdw y=\bruch{k}{e^{\lambda*K*x}*e^{\lambda*K*c}-1}+k[/mm]
>
> Das sieht schon wieder sehr komisch aus, aber ich weiß echt
> nich was ich falsch gemacht haben soll...
Stimmt aber.
Vielleicht noch ein bischen zusammenfassen:
[mm]y=\bruch{k}{e^{\lambda*k*x}*e^{\lambda*k*c}-1}+k[/mm]
[mm]\gdw y=\bruch{k+k*\left( \ e^{\lambda*k*x}*e^{\lambda*k*c}-1\ \right)}{e^{\lambda*k*x}*e^{\lambda*k*c}-1}[/mm]
[mm]\gdw y=\bruch{k*e^{\lambda*k*x}*e^{\lambda*k*c}}{e^{\lambda*k*x}*e^{\lambda*k*c}-1}[/mm]
Mit [mm]C_{1}:=e^{\lambda*k*c}[/mm] wird daraus:
[mm]\gdw y=\bruch{k*C_{1}e^{\lambda*k*x}}{C_{1}*e^{\lambda*k*x}-1}[/mm]
Erweiterung mit [mm]\bruch{e^{-\lambda*k*x}}{e^{-\lambda*k*x}}[/mm] liefert:
[mm]\gdw y=\bruch{k*C_{1}}{C_{1}-e^{-\lambda*k*x}}[/mm]
>
> > > > > Danke im Voraus!
> > > > > lg Kai
>
> Und nochmal extra danke an MathePower für so viel Geduld!
Gruß
MathePower
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