DGL lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen
Muss folgende Aufgabe lösen:
Bestimme die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung:
[mm] (1-x^2)y'-xy+1=0
[/mm]
So nun habe ich gedacht, ich könnte es anhand der Variation der Konstanten berechnen, aber komme nicht mehr weiter...
[mm] (1-x^2)y'-xy+1=0 \gdw y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1}
[/mm]
1) Homogene Gleichung lösen: [mm] y'+\bruch{x}{x^2-1}y=0
[/mm]
Via Trennung der Variablen erhalte ich hier die Lösung:
[mm] y_h=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*C
[/mm]
2) Variation der Konstanten C:
[mm] y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1} \otimes
[/mm]
[mm] y_p=C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow y_p'=C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}
[/mm]
Eingesetzt in [mm] \otimes [/mm] ergibt sich:
[mm] C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}+\bruch{x}{x^2-1}*C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^2-1} [/mm]
Nun sollten sich doch die C(x) wegstreichen lassen?
Wo ist mein Fehler?
Vielen Dank für eure Hilfe!!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Mo 12.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
>
> Muss folgende Aufgabe lösen:
> Bestimme die allgemeine Lösung der folgenden
> Differentialgleichung:
> [mm](1-x^2)y'-xy+1=0[/mm]
>
> So nun habe ich gedacht, ich könnte es anhand der
> Variation der Konstanten berechnen, aber komme nicht mehr
> weiter...
>
>
> [mm](1-x^2)y'-xy+1=0 \gdw y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
>
>
> 1) Homogene Gleichung lösen: [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=0[/mm]
>
> Via Trennung der Variablen erhalte ich hier die Lösung:
> [mm]y_h=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*C[/mm]
Das stimmt nicht !
Edit: es stimmt doch !
FRED
>
>
> 2) Variation der Konstanten C:
> [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1} \otimes[/mm]
>
> [mm]y_p=C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow y_p'=C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}[/mm]
>
> Eingesetzt in [mm]\otimes[/mm] ergibt sich:
>
> [mm]C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}+\bruch{x}{x^2-1}*C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
>
> Nun sollten sich doch die C(x) wegstreichen lassen?
> Wo ist mein Fehler?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!!!
>
>
>
|
|
|
| |
|
Hallo FRED
> > Hallo zusammen
> >
> > Muss folgende Aufgabe lösen:
> > Bestimme die allgemeine Lösung der folgenden
> > Differentialgleichung:
> > [mm](1-x^2)y'-xy+1=0[/mm]
> >
> > So nun habe ich gedacht, ich könnte es anhand der
> > Variation der Konstanten berechnen, aber komme nicht mehr
> > weiter...
> >
> >
> > [mm](1-x^2)y'-xy+1=0 \gdw y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
>
> >
> >
> > 1) Homogene Gleichung lösen: [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=0[/mm]
> >
> > Via Trennung der Variablen erhalte ich hier die Lösung:
> > [mm]y_h=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*C[/mm]
>
>
>
> Das stimmt nicht !
>
> FRED
Also ich muss doch für die homogene Gleichung folgendes lösen:
[mm] y'+\bruch{x}{x^2-1}*y=0
[/mm]
Via Trennung der Variablen:
[mm] \bruch{dy}{dx}=-\bruch{x}{x^2-1}*y
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=-\integral_{}^{}{\bruch{x}{x^2-1} dx} \Rightarrow ln(y)=-1/2*ln(x^2-1)+C \Rightarrow y=e^{-1/2*ln(x^2-1)}*e^C \Rightarrow y=e^{(ln(x^2-1))^{-1/2}}*e^C \Rightarrow [/mm] y= [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*e^C
[/mm]
Wo ist also mein Fehler??
> >
> >
> > 2) Variation der Konstanten C:
> > [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1} \otimes[/mm]
> >
> > [mm]y_p=C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow y_p'=C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}[/mm]
>
> >
> > Eingesetzt in [mm]\otimes[/mm] ergibt sich:
> >
> >
> [mm]C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}+\bruch{x}{x^2-1}*C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
> >
> > Nun sollten sich doch die C(x) wegstreichen lassen?
> > Wo ist mein Fehler?
> >
> > Vielen Dank für eure Hilfe!!!
> >
> >
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mo 12.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED
>
> > > Hallo zusammen
> > >
> > > Muss folgende Aufgabe lösen:
> > > Bestimme die allgemeine Lösung der folgenden
> > > Differentialgleichung:
> > > [mm](1-x^2)y'-xy+1=0[/mm]
> > >
> > > So nun habe ich gedacht, ich könnte es anhand der
> > > Variation der Konstanten berechnen, aber komme nicht mehr
> > > weiter...
> > >
> > >
> > > [mm](1-x^2)y'-xy+1=0 \gdw y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > 1) Homogene Gleichung lösen: [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=0[/mm]
> > >
> > > Via Trennung der Variablen erhalte ich hier die Lösung:
> > > [mm]y_h=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*C[/mm]
> >
> >
> >
> > Das stimmt nicht !
> >
> > FRED
>
>
>
>
> Also ich muss doch für die homogene Gleichung folgendes
> lösen:
> [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}*y=0[/mm]
> Via Trennung der Variablen:
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=-\bruch{x}{x^2-1}*y[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=-\integral_{}^{}{\bruch{x}{x^2-1} dx} \Rightarrow ln(y)=-1/2*ln(x^2-1)+C \Rightarrow y=e^{-1/2*ln(x^2-1)}*e^C \Rightarrow y=e^{(ln(x^2-1))^{-1/2}}*e^C \Rightarrow[/mm]
> y= [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*e^C[/mm]
>
> Wo ist also mein Fehler??
Pardon, ich hab mich vertan. Du hast recht.
FRED
>
>
>
>
> > >
> > >
> > > 2) Variation der Konstanten C:
> > > [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1} \otimes[/mm]
> > >
> > > [mm]y_p=C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow y_p'=C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Eingesetzt in [mm]\otimes[/mm] ergibt sich:
> > >
> > >
> >
> [mm]C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}+\bruch{x}{x^2-1}*C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}[/mm]
> > > = [mm]\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
> > >
> > > Nun sollten sich doch die C(x) wegstreichen lassen?
> > > Wo ist mein Fehler?
> > >
> > > Vielen Dank für eure Hilfe!!!
> > >
> > >
> > >
> >
>
|
|
|
| |
|
Hallo FRED
> >
> > > > Hallo zusammen
> > > >
> > > > Muss folgende Aufgabe lösen:
> > > > Bestimme die allgemeine Lösung der folgenden
> > > > Differentialgleichung:
> > > > [mm](1-x^2)y'-xy+1=0[/mm]
> > > >
> > > > So nun habe ich gedacht, ich könnte es anhand der
> > > > Variation der Konstanten berechnen, aber komme nicht mehr
> > > > weiter...
> > > >
> > > >
> > > > [mm](1-x^2)y'-xy+1=0 \gdw y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > 1) Homogene Gleichung lösen: [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=0[/mm]
> > > >
> > > > Via Trennung der Variablen erhalte ich hier die Lösung:
> > > > [mm]y_h=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*C[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > Das stimmt nicht !
> > >
> > > FRED
> >
> >
> >
> >
> > Also ich muss doch für die homogene Gleichung folgendes
> > lösen:
> > [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}*y=0[/mm]
> > Via Trennung der Variablen:
> >
> > [mm]\bruch{dy}{dx}=-\bruch{x}{x^2-1}*y[/mm]
> >
> >
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=-\integral_{}^{}{\bruch{x}{x^2-1} dx} \Rightarrow ln(y)=-1/2*ln(x^2-1)+C \Rightarrow y=e^{-1/2*ln(x^2-1)}*e^C \Rightarrow y=e^{(ln(x^2-1))^{-1/2}}*e^C \Rightarrow[/mm]
> > y= [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*e^C[/mm]
> >
> > Wo ist also mein Fehler??
>
> Pardon, ich hab mich vertan. Du hast recht.
>
> FRED
Ja und wie geht's weiter??
Habe ja mein Problem eigentlich bei der inhomogenen Gleichung....
> >
> >
> >
> >
> > > >
> > > >
> > > > 2) Variation der Konstanten C:
> > > > [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1} \otimes[/mm]
> >
> > >
> > > > [mm]y_p=C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow y_p'=C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Eingesetzt in [mm]\otimes[/mm] ergibt sich:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}+\bruch{x}{x^2-1}*C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}[/mm]
> > > > = [mm]\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
> > > >
> > > > Nun sollten sich doch die C(x) wegstreichen lassen?
> > > > Wo ist mein Fehler?
> > > >
> > > > Vielen Dank für eure Hilfe!!!
> > > >
> > > >
> > > >
> > >
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 17:19 Mo 12.05.2014 | | Autor: | JohannL |
Hi babybel,
ich ignoriere mal den Versuch von frednochirgendtwas.
Ist schon sehr lange her, aber ich denke, dass ich das noch weiß.
Versuch es mal so:
Homogen:
[mm] y'=\bruch{xy-1}{1-x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{xy-1}{1-x^2}
[/mm]
Das umstellen so dass dann kommt:
[mm] \bruch{dy}{y}=\bruch{dx x}{2-x^2}
[/mm]
Beide Seiten integrieren und auflösen nach y=>
Jetzt komme ich auf ein anderes Ergebnis als du (vielleicht habe ich einen Vorzeichenfehler übersehen, kann auch sein) =>
[mm] y_{h}=\bruch{1}{\wurzel{2-x^2}} e^C
[/mm]
[mm] y_{h}=A \bruch{1}{\wurzel{2-x^2}}
[/mm]
Inhomogene Lösung:
[mm] y_{p}=u(x) \bruch{1}{\wurzel{2-x^2}}
[/mm]
[mm] u'(x)=\bruch{g(x)}{\bruch{1}{\wurzel{2-x^2}}}=\bruch{\bruch{1}{x^2-1}}{\bruch{1}{\wurzel{2-x^2}}}
[/mm]
u(x)= etc..
Ich denke jetzt kommst Du weiter. Wenn Du u(x) hast einsetzen in [mm] y_{p} [/mm] bringt dir die partikuläre Lösung.
Dann: allgemeine Lösung ist die Addition von homogener Lösung und partikulärer Lösung:
also:
[mm] y=y_{h}+y_{p}=A \bruch{1}{\wurzel{2-x^2}}+ y_{p}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Calli |
Hallo !
Variation der Konstanten ergibt:
[mm] $y'=\frac{(x^2-1)^{1/2}\cdot c'-c\cdot x\,(x^2-1)^{-1/2}}{x^2-1}$
[/mm]
Eingesetzt in die geg. DGL und ausmultipliziert führt zu
[mm] $c'=\frac{\mathrm d c}{\mathrm d x}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
[/mm]
Ciao
|
|
|
| |
|
Hallo Calli
Könntest du mir erklären wie du auf:
[mm] y'=\frac{(x^2-1)^{1/2}\cdot c'-c\cdot x\,(x^2-1)^{-1/2}}{x^2-1}
[/mm]
gekommen bist?
Ich habe
[mm] y_p=C(x)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow y_p'=C'(x)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)\cdot{}\bruch{-2x}{(x^2-1)^2} [/mm]
erhalten.
Hatte dann aber das Problem dies in
[mm] y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1}
[/mm]
einzusetzen, da meiner Meinung nach sich die C(x) wegstreichen sollten.
[mm] C'(x)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)\cdot{}\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}+\bruch{x}{x^2-1}\cdot{}C(x)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^2-1}
[/mm]
Hier kam ich nicht mehr weiter...
Bin dankbar um jede Hilfe...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Calli |
> Hallo Calli
>
> Könntest du mir erklären wie du auf:
>
> [mm]y'=\frac{(x^2-1)^{1/2}\cdot c'-c\cdot x\,(x^2-1)^{-1/2}}{x^2-1}[/mm]
>
> gekommen bist?
>
> Ich habe
>
> [mm]y_p=C(x)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow y_p'=C'(x)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)\cdot{}\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}[/mm]
>
> erhalten.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]y_p'=C'(x)\cdot (x^2-1)^{-1/2}+C(x)\cdot{}\left[(x^2-1)^{-1/2}\right]'[/mm]
[mm] $\left[(x^2-1)^{-1/2}\right]'=\cdots\;?$
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Calli
uiuiuiu....ja logisch, sorry...
[mm] \left[(x^2-1)^{-1/2}\right]' [/mm] = [mm] \bruch{-x}{(x^2-1)^{3/2}}
[/mm]
Habe also nun erhalten:
[mm] C'(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow C(x)=ln(\wurzel{x^2-1}+x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow y_p=ln(\wurzel{x^2-1}+x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}
[/mm]
Also insgesamt [mm] y=y_h+y_p=\bruch{C}{\wurzel{x^2-1}}+ln(\wurzel{x^2-1}+x)*\bruch{1}{x^2-1}
[/mm]
Stimmt das nun so???
|
|
|
| |
|
Hallo Babybel73,
> Hallo Calli
>
> uiuiuiu....ja logisch, sorry...
> [mm]\left[(x^2-1)^{-1/2}\right]'[/mm] = [mm]\bruch{-x}{(x^2-1)^{3/2}}[/mm]
>
> Habe also nun erhalten:
> [mm]C'(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow C(x)=ln(\wurzel{x^2-1}+x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y_p=ln(\wurzel{x^2-1}+x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}[/mm]
>
> Also insgesamt
> [mm]y=y_h+y_p=\bruch{C}{\wurzel{x^2-1}}+ln(\wurzel{x^2-1}+x)*\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
>
> Stimmt das nun so???
>
>
Fast - bis auf einen Tippfehler. Im 2. Summanden fehlt im Nenner die Wurzel.
LG, Martinius
|
|
|
|
