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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Do 17.05.2018 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Bestimme für x > 0 die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
[mm] y`(x)-\bruch{y(x)}{x}=\bruch{x}{(x+1)^{2}} [/mm] |
Hallo,
hier einmal mein bisheriger Ansatz:
[mm] y'(x)-\bruch{y(x)}{x}=\bruch{x}{(x+1)^{2}}
[/mm]
1)
[mm] y'(x)-\bruch{y(x)}{x}=0
[/mm]
[mm] h(x)=\integral [/mm] a(x) dx = [mm] \integral -\bruch{1}{x} [/mm] dx = -ln(x)+C
[mm] y_{h}(x) [/mm] = [mm] C*e^{-h(x)} [/mm] = [mm] C*e^{ln(x)} [/mm] = C*x
2)
[mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] e^{-h(x)} \integral (b(x)*e^{h(x)})dx
[/mm]
[mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] e^{ln(x)} \integral (\bruch{x}{(x+1)^{2}}*e^{-ln(x)})dx
[/mm]
[mm] y_{s}(x) [/mm] = x [mm] \integral (\bruch{x}{(x+1)^{2}}*\bruch{1}{x})dx
[/mm]
An dieser Stelle bin ich mir nun leider unsicher, ob ich so richtig zusammengefasst/vereinfacht habe!?
Als Lösung ist - [mm] \bruch{x}{x+1}+Cx [/mm] angegeben - doch hierauf komme ich irgendwie nicht. Könnt ihr mir da helfen?
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Do 17.05.2018 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme für x > 0 die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
>
> [mm]y'(x)-\bruch{y(x)}{x}=\bruch{x}{(x+1)^{2}}[/mm]
> Hallo,
>
> hier einmal mein bisheriger Ansatz:
>
> [mm]y'(x)-\bruch{y(x)}{x}=\bruch{x}{(x+1)^{2}}[/mm]
>
> 1)
>
> [mm]y'(x)-\bruch{y(x)}{x}=0[/mm]
>
> [mm]h(x)=\integral[/mm] a(x) dx = [mm]\integral -\bruch{1}{x}[/mm] dx =
> -ln(x)+C
>
> [mm]y_{h}(x)[/mm] = [mm]C*e^{-h(x)}[/mm] = [mm]C*e^{ln(x)}[/mm] = C*x
>
> 2)
>
> [mm]y_{s}(x)[/mm] = [mm]e^{-h(x)} \integral (b(x)*e^{h(x)})dx[/mm]
>
> [mm]y_{s}(x)[/mm] = [mm]e^{ln(x)} \integral (\bruch{x}{(x+1)^{2}}*e^{-ln(x)})dx[/mm]
>
> [mm]y_{s}(x)[/mm] = x [mm]\integral (\bruch{x}{(x+1)^{2}}*\bruch{1}{x})dx[/mm]
>
> An dieser Stelle bin ich mir nun leider unsicher, ob ich so
> richtig zusammengefasst/vereinfacht habe!?
>
Du kannst noch mehr vereinfachen.
Im Integral kürze noch ein x raus. Zu bestimmen hast Du dann eine Stammfunktion von [mm] 1/(x+1)^2.
[/mm]
Damit kommst du dann auch auf untenstehende Lösung.
> Als Lösung ist - [mm]\bruch{x}{x+1}+Cx[/mm] angegeben - doch
> hierauf komme ich irgendwie nicht. Könnt ihr mir da
> helfen?
>
> Vielen Dank im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Do 17.05.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo fred97,
hat alles geklappt !
Vielen Dank für die schnelle Hilfe
Viele Grüße
Dom_89
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