DGL lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Sa 27.06.2009 | | Autor: | n0000b |
| Aufgabe | Geben Sie jeweils die allgemeine Lösung der Differentialgleichung und die Lösung des
Anfangswertproblems an :
a) $2 y' (x) * [mm] x^{1/2} [/mm] = y(x)$ , [mm] $x_{0} [/mm] = 4 , [mm] y_{0} [/mm] = 1$,
b) $y'( x) = ( 2 y(x) +1 ) * cot x $, [mm] $x_{0} [/mm] = [mm] \bruch {\pi}{4} [/mm] , [mm] y_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $,
c) [mm] $x^2 [/mm] y' (x) + [mm] y^2 [/mm] (x) = 0 $, [mm] $x_{0} [/mm] = 4 , [mm] y_{0} [/mm] = 1 .$ |
Hallo,
ich habe mich jetzt nach der Hilfe im Thread an diese Aufgaben gesetzt. Vom Schema her müsste ich jetzt verstanden haben, wie es läuft. Es fehlt jetzt nur noch etwas an der Umsetzung.
und zwar habe ich bei a) die Variablentrennung etc durchgeführt und habe dann stehen:
[mm] $ln|y|=\bruch{x^{\bruch{3}{2}}}{3}+c$ [/mm]
Nun mein Taschenrechner spuckt mir als Ergebnis $y(x)=C * [mm] e^{\wurzel x}$
[/mm]
An Hand welchen Kriteriums kann ich entscheiden, was alles in die Konstante C reinfällt? Es ist klar, dass das [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] da reinfällt, aber die Wurzel macht mich etwas stutzig. Es müsste doch heißen: [mm] $e^{\wurzel{x^3}}$
[/mm]
EDIT:
Sry, falsch integriert  Es kommt [mm] $e^{\wurzel x}$ [/mm] raus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Sa 27.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Ok, nach meinem blöden Rechenfehler habe ich jetzt ein Ergebnis.
[mm] $y(x)=e^{\wurzel{x}-2}$
[/mm]
Kann mir das jemand bestätigen?
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Hallo n0000b,
> Ok, nach meinem blöden Rechenfehler habe ich jetzt ein
> Ergebnis.
>
> [mm]y(x)=e^{\wurzel{x}-2}[/mm]
>
> Kann mir das jemand bestätigen?
Nun, in einem Zwischenschritt hast du ja sicherlich:
[mm] $\frac{2}{y} [/mm] \ dy \ = \ [mm] x^{-\frac{1}{2}} [/mm] \ dx$
Das nun integrieren und die Integrationskonstanten linker- und rechterhand zu einer einzigen zusammengefasst, gibt
[mm] $2\ln(|y|)=2\sqrt{x}+C$
[/mm]
Also [mm] $\ln(|y|)=\sqrt{x}+\frac{C}{2}$
[/mm]
Damit [mm] $|y|=e^{\sqrt{x}+\frac{C}{2}}$
[/mm]
Also [mm] $|y|=e^{\sqrt{x}}\cdot{}\underbrace{e^{\frac{C}{2}}}_{Konstante!!}$
[/mm]
Also [mm] $|y|=\tilde{C}\cdot{}e^{\sqrt{x}}$ [/mm] mit [mm] $\tilde{C}\in\IR^+$
[/mm]
Und schließlich [mm] $y=y(x)=C_1\cdot{}e^{\sqrt{x}}$ [/mm] mit [mm] $C_1\in\IR$
[/mm]
Nun die Anfangsbdingung einsetzen, um [mm] $C_1$ [/mm] zu bestimmen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Sa 27.06.2009 | | Autor: | n0000b |
[mm] $y(x)=e^{\wurzel{x}}*C_{1}$ [/mm] habe ich ja raus.
>
> Und schließlich [mm]y=y(x)=C_1\cdot{}e^{\sqrt{x}}[/mm] mit
> [mm]C_1\in\IR[/mm]
>
> Nun die Anfangsbdingung einsetzen, um [mm]C_1[/mm] zu bestimmen ...
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Und dann habe ich [mm] x_{0}=4 [/mm] und [mm] y_{0}=1 [/mm] eingesetzt um [mm] C_{1} [/mm] zu bestimmen:
$ [mm] 1=e^{\wurzel{4}}*C_{1}$
[/mm]
$ [mm] 1=e^{2}*C_{1}$
[/mm]
$ [mm] C_{1}=\bruch{1}{e^2}$
[/mm]
[mm] C_{1} [/mm] eingesetzt in die Funktion:
$ [mm] y(x)=\bruch{e^{\wurzel{x}}}{e^2}$
[/mm]
[mm] $y(x)=e^{\wurzel{x}-2}$
[/mm]
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Hallo nochmal,
> ja [mm]y(x)=e^{\wurzel{x}}*C_{1}[/mm] habe ich ja raus.
>
> >
> > Und schließlich [mm]y=y(x)=C_1\cdot{}e^{\sqrt{x}}[/mm] mit
> > [mm]C_1\in\IR[/mm]
> >
> > Nun die Anfangsbdingung einsetzen, um [mm]C_1[/mm] zu bestimmen ...
> >
> > LG
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Und dan habe ich [mm]x_{0}=4[/mm] und [mm]y_{0}=1[/mm] eingesetzt um [mm]C_{1}[/mm] zu
> bestimmen:
>
> $ [mm]1=e^{\wurzel{4}}*C_{1}[/mm]
> [mm]1=e^{2}*C_{1}[/mm]
> [mm]C_{1}=\bruch{1}{e^2}[/mm]
>
> [mm]C_{1}[/mm] engesetzt in die Funktion:
> [mm]y(x)=\bruch{e^{\wurzel{x}}}{e^2}[/mm]
> [mm]y(x)=e^{\wurzel{x}-2}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ach so meintest du das 
Ich hatte den Anfangswert gar nicht mehr berechnet.
Dann ist alles ganz und gar richtig !
LG
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Sa 27.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Supi,
ich hatte nämlich das Gefühl, das wir aneinander vorbeireden. Habe es vielleicht auch etwas unübersichtlich gestaltet
Jetzt aber zu b)
$ y'( x) = ( 2 y(x) +1 ) [mm] \cdot{} \cot [/mm] x $
Da bekomme ich:
[mm] $\bruch{dy}{2y+1}=\cot [/mm] x dx$
[mm] $\bruch{1}{2} [/mm] ln|2y+1|= [mm] ln|\sin [/mm] x|+C$
$ln|2y+1|= [mm] 2*ln|\sin [/mm] x|+2C$
$ [mm] 2y+1=\sin^2 [/mm] x [mm] *e^{2C}$
[/mm]
$ [mm] y=\bruch {\sin^2 x *C_{1}}{2}-\bruch{1}{2}$
[/mm]
Stimmt das so für den Anfang?
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Hallo nochmal,
> Supi,
>
> ich hatte nämlich das Gefühl, das wir aneinander
> vorbeireden. Habe es vielleicht auch etwas unübersichtlich
> gestaltet
>
> Jetzt aber zu b)
>
> [mm]y'( x) = ( 2 y(x) +1 ) \cdot{} \cot x[/mm]
>
> Da bekomme ich:
>
> [mm]\bruch{dy}{2y+1}=\cot x dx[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2} ln|2y+1|= ln|\sin x|+C[/mm]
>
> [mm]ln|2y+1|= 2*ln|\sin x|+2C[/mm]
> [mm] $\red{|}2y+1\red{|}=\sin^2 [/mm] x [mm] *e^{2C}$
[/mm]
> [mm]y=\bruch {\sin^2 x *C_{1}}{2}-\bruch{1}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Stimmt das so für den Anfang?
Ja!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Sa 27.06.2009 | | Autor: | n0000b |
In wiefern muss man die Betragsstriche eigentlich beachten? Weil fürs Rechnen hat es ja jetzt keinen großen Unterschied gemacht?!
Als Ergebnis bekomme ich:
[mm] C_{1}=4 \Rightarrow $y(x)=2*\sin^2 [/mm] x [mm] -\bruch{1}{2}$
[/mm]
Für c)
[mm] $\bruch{dy}{dx}=-\bruch{y^2}{x^2}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{2}{y^3}=\bruch{2}{x^3}+C$
[/mm]
[mm] $-\bruch{1}{y^3}=\bruch{1}{x^3}+\bruch{C}{2}$
[/mm]
[mm] $y^3=-\bruch{x^3}{C_{1}x^3+1}$
[/mm]
[mm] $y=\wurzel[3]{-\bruch{x^3}{C_{1}x^3+1}}$
[/mm]
[mm] x_{0}=4 [/mm] , [mm] y_{0}=1
[/mm]
[mm] $1=\wurzel[3]{-\bruch{4^3}{C_{1}*4^3+1}}$ $|^3$
[/mm]
[mm] $1=-\bruch{64}{C_{1}*64+1}$
[/mm]
[mm] $-\bruch{1}{64}=\bruch{1}{C_{1}*64+1}$
[/mm]
$\ [mm] -64=C_{1}*64+1$
[/mm]
[mm] $C_{1}=-\bruch{65}{64}$
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo nochmal,
> In wiefern muss man die Betragsstriche eigentlich beachten?
> Weil fürs Rechnen hat es ja jetzt keinen großen Unterschied
> gemacht?!
In dem Schritt oben, wo du die Betragstriche weggelassen hast, ist die rechte Seite durchweg nicht-negativ, wohingegen $2y(x)+1$ durchaus negativ sein kann ...
Also immer ein bisschen aufpassen ...
>
> Als Ergebnis bekomme ich:
>
> [mm]C_{1}=4 \Rightarrow[/mm] [mm]y(x)=2*\sin^2 x -\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Für c)
> [mm]\bruch{dy}{dx}=-\bruch{y^2}{x^2}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{2}{y^3}=\bruch{2}{x^3}+C[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
du musst integrieren, nicht differenzieren!
Nach Trennung gibt das doch $-\frac{1}{y^2} \ dy \ = \ \frac{1}{x^2} \ dx}$
Nun integrieren:
$\blue{\int}{-\frac{1}{y^2} \ dy} \ = \ \blue{\int}{\frac{1}{x^2} \ dx}$
Hier mache nochmal weiter ...
> [mm]-\bruch{1}{y^3}=\bruch{1}{x^3}+\bruch{C}{2}[/mm]
>
> [mm]y^3=-\bruch{x^3}{C_{1}x^3+1}[/mm]
>
>
> [mm]y=\wurzel[3]{-\bruch{x^3}{C_{1}x^3+1}}[/mm]
>
> [mm]x_{0}=4[/mm] , [mm]y_{0}=1[/mm]
>
> [mm]1=\wurzel[3]{-\bruch{4^3}{C_{1}*4^3+1}}[/mm] [mm]|^3[/mm]
>
> [mm]1=-\bruch{64}{C_{1}*64+1}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{64}=\bruch{1}{C_{1}*64+1}[/mm]
>
> [mm]\ -64=C_{1}*64+1[/mm]
>
> [mm]C_{1}=-\bruch{65}{64}[/mm]
>
>
> Stimmt das so?
>
Nee, leider nicht
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 Sa 27.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Sry, habe mich verrechnet. Ich neige irgendwie dazu zu differenzieren anstatt zu integrieren
$ [mm] \bruch{dy}{dx}=-\bruch{y^2}{x^2} [/mm] $
$ [mm] \bruch{dy}{y^2}=-\bruch{dx}{x^2} [/mm] $
$ [mm] -\bruch{1}{y}=\bruch{1}{x}+C [/mm] $
$ [mm] y=-\bruch{x}{Cx+1} [/mm] $
$ [mm] x_{0}=4 [/mm] $ , $ [mm] y_{0}=1 [/mm] $
$ [mm] 1=-\bruch{4}{C4+1} [/mm] $
$ [mm] -\bruch{1}{4}=-\bruch{1}{C4+1} [/mm] $
$\ -4=C4+1 $
$C = [mm] -\bruch{5}{4}$
[/mm]
[mm] $y(x)=\bruch{x}{-\bruch{5}{4}C+1}$
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Sry, habe mich verrechnet. Ich neige irgendwie dazu zu
> differenzieren anstatt zu integrieren
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}=-\bruch{y^2}{x^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{y^2}=-\bruch{dx}{x^2}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{y}=\bruch{1}{x}+C[/mm]
>
> [mm]y=-\bruch{x}{Cx+1}[/mm]
>
> [mm]x_{0}=4[/mm] , [mm]y_{0}=1[/mm]
>
> [mm]1=-\bruch{4}{C4+1}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{4}=-\bruch{1}{C4+1}[/mm]
>
> [mm]\ -4=C4+1[/mm]
>
> [mm]C = -\bruch{5}{4}[/mm]
>
> [mm] $y(x)=\bruch{x}{-\bruch{5}{4}\red{x}+1}$
[/mm]
Zu einer Lösung gehört auch der Definitionsbereich, beachte, dass eine Lösung einer Dgl. auf einem zusammenhänngenden Gebiet (Intervall) definiert sein muss, also zB. ohne Pole.
Gib das noch an und du hast es ...
Außerdem mache dir auch klar, dass wir bei den Umformungen u.a. durch $y$ geteilt haben, also [mm] $y\neq [/mm] 0$
[mm] $y\equiv [/mm] 0$ löst die (allg.) Dgl. aber auch, hier ist die Anfangsbedingung für [mm] $y\equiv [/mm] 0$ aber nicht erfüllt, [mm] $y\equiv [/mm] 0$ ist also keine Lösung des AWP
Das nur als kleine Anmerkung, wenn du mal ne allg. Lösung bestimmen sollst ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Sa 27.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Also 1. habe ich noch einen kleine Fehler entdeckt. Es müsste heißen:
$ [mm] y(x)=\red{-}\bruch{x}{-\bruch{5}{4}x+1} [/mm] $
Und 2. zum Definitionsbereich:
$ [mm] y\not=0 [/mm] $ , [mm] $x\not=\bruch{4}{5}$
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Also 1. habe ich noch einen kleine Fehler entdeckt. Es
> müsste heißen:
>
> [mm]y(x)=\red{-}\bruch{x}{-\bruch{5}{4}x+1}[/mm]
Ja, gut aufgepasst
>
> Und 2. zum Definitionsbereich:
>
> [mm]y\not=0[/mm] , [mm]x\not=\bruch{4}{5}[/mm]
Ja, stimmt, also ist wegen der Anfangsbedingung die Lösung:
[mm] $y:\left(\frac{4}{5},\infty\right)\to\IR$
[/mm]
$ \ \ [mm] x\mapsto -\frac{x}{1-\frac{5}{4}x}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Hallo,
> Geben Sie jeweils die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung und die Lösung des
> Anfangswertproblems an :
> a) [mm]2 y' (x) * x^{1/2} = y(x)[/mm] , [mm]x_{0} = 4 , y_{0} = 1[/mm],
> b)
> [mm]y'( x) = ( 2 y(x) +1 ) * cot x [/mm], [mm]x_{0} = \bruch {\pi}{4} , y_{0} = \bruch{1}{2} [/mm],
>
> c) [mm]x^2 y' (x) + y^2 (x) = 0 [/mm], [mm]x_{0} = 4 , y_{0} = 1 .[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe mich jetzt nach der Hilfe im
> Thread an diese
> Aufgaben gesetzt. Vom Schema her müsste ich jetzt
> verstanden haben, wie es läuft. Es fehlt jetzt nur noch
> etwas an der Umsetzung.
>
> und zwar habe ich bei a) die Variablentrennung etc
> durchgeführt und habe dann stehen:
>
> [mm]ln|y|=\bruch{x^{\bruch{3}{2}}}{3}+c[/mm]
>
> Nun mein Taschenrechner spuckt mir als Ergebnis [mm]y(x)=C * e^{\wurzel x}[/mm]
>
> An Hand welchen Kriteriums kann ich entscheiden, was alles
> in die Konstante C reinfällt?
Nun, in der anderen Antwort habe ich es beispielhaft mal vorgerechnet: wenn du ne Konstante, sagen wir $C$ hast und es kommt bei weitern Umformungen nachher wie unten [mm] $e^{\frac{C}{2}}$ [/mm] heraus, so bleibt dieser Ausdruck ja eine Konstante, du kannst sie also umtaufen in [mm] $\tilde [/mm] {C}$ oder $C'$ oder wie auch immer, nur aufpassen, dass du keine Namen doppelt vergibst
> Es ist klar, dass das
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] da reinfällt, aber die Wurzel macht mich etwas
> stutzig. Es müsste doch heißen: [mm]e^{\wurzel{x^3}}[/mm]
>
> EDIT:
>
> Sry, falsch integriert Es kommt [mm]e^{\wurzel x}[/mm] raus
ja
LG
schachuzipus
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