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| Aufgabe | Geben Sie 3 linear unabhängige lösungen des Differentialgleichungssystems
[mm] y_{1}'=y_{1}-y_{2}+y_{3} [/mm] , [mm] y_{2}'=-2y_{2}+y_{3} [/mm] , [mm] y_{3}'=y_{3}
[/mm]
an! |
Hallo,
hier mein Ansatz:
[mm] \pmat{ y_{1}' \\ y_{2}' \\ y_{3}'}=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] det(A-\lambda*E)=det\pmat{ 1-\lambda & -1 & 1 \\ 0 & -2-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 1-\lambda}
[/mm]
Auflösen: [mm] -\lambda^{3}+3*\lambda-2 [/mm] --> [mm] \lambda_{1}=-2 [/mm] , [mm] \lambda_{2}=1
[/mm]
korrekt bis jetzt oder falscher Ansatz? wie geht es weiter?
Danke.
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Hallo monstre123,
> Geben Sie 3 linear unabhängige lösungen des
> Differentialgleichungssystems
>
> [mm]y_{1}'=y_{1}-y_{2}+y_{3}[/mm] , [mm]y_{2}'=-2y_{2}+y_{3}[/mm] ,
> [mm]y_{3}'=y_{3}[/mm]
>
> an!
> Hallo,
>
> hier mein Ansatz:
>
> [mm]\pmat{ y_{1}' \\ y_{2}' \\ y_{3}'}=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> [mm]det(A-\lambda*E)=det\pmat{ 1-\lambda & -1 & 1 \\ 0 & -2-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 1-\lambda}[/mm]
>
> Auflösen: [mm]-\lambda^{3}+3*\lambda-2[/mm] --> [mm]\lambda_{1}=-2[/mm] ,
> [mm]\lambda_{2}=1[/mm]
Und [mm]\lambda_{2}=1[/mm] ist doppelter Eigenwert.
>
> korrekt bis jetzt oder falscher Ansatz? wie geht es
> weiter?
Der Ansatz ist korrekt.
Die Lösung des DGL-Systems kannst Du auch ohne
die Berechnung der Eigenwerte bestimmen.
Da die zu betrachtende Matrix eine rechte obere Dreiecksmatrix ist,
kannst Du mit der DGL
[mm]y_{3}'=y_{3}[/mm]
beginnen, die allgemeine Lösung zu finden.
>
> Danke.
Gruss
MathePower
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> Hallo monstre123,
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> > Geben Sie 3 linear unabhängige lösungen des
> > Differentialgleichungssystems
> >
> > [mm]y_{1}'=y_{1}-y_{2}+y_{3}[/mm] , [mm]y_{2}'=-2y_{2}+y_{3}[/mm] ,
> > [mm]y_{3}'=y_{3}[/mm]
> >
> > an!
> > Hallo,
> >
> > hier mein Ansatz:
> >
> > [mm]\pmat{ y_{1}' \\ y_{2}' \\ y_{3}'}=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> >
> > [mm]det(A-\lambda*E)=det\pmat{ 1-\lambda & -1 & 1 \\ 0 & -2-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 1-\lambda}[/mm]
>
> >
> > Auflösen: [mm]-\lambda^{3}+3*\lambda-2[/mm] --> [mm]\lambda_{1}=-2[/mm] ,
> > [mm]\lambda_{2}=1[/mm]
>
>
> Und [mm]\lambda_{2}=1[/mm] ist doppelter Eigenwert.
>
>
> >
> > korrekt bis jetzt oder falscher Ansatz? wie geht es
> > weiter?
>
>
> Der Ansatz ist korrekt.
Was muss ich weiter machen, wenn ich bei diesem Ansatz bleiben möchte? Die Eigenvektoren berechnen, oder?
>
> Die Lösung des DGL-Systems kannst Du auch ohne
> die Berechnung der Eigenwerte bestimmen.
>
> Da die zu betrachtende Matrix eine rechte obere
> Dreiecksmatrix ist,
> kannst Du mit der DGL
>
> [mm]y_{3}'=y_{3}[/mm]
>
> beginnen, die allgemeine Lösung zu finden.
>
>
> >
> > Danke.
>
>
> Gruss
> MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Di 29.03.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
ja, eigenvektoren bestimmen.
Gruss leduart
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