DG 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | Geben sind die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit dem Störglied, bestimmen Sie anhand der Tabelle den jeweiligen Lösungsansatz für eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung.
y'' - y = [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 2*x^{2} [/mm] - 4 |
Also ich hätte folgende Ansatz dazu:
1. Schritt: homogener Teil
y'' - y = 0
[mm] \lambda^{2} [/mm] - 1 = 0
[mm] \lambda^{2} [/mm] = 1
[mm] \lambda1;2 [/mm] = +,- [mm] \wurzel{1}
[/mm]
[mm] \lambda1;2 [/mm] = +,- 1
Daher laut Formelbuch:
yh = c1 * [mm] e^{x} [/mm] + c2 * [mm] e^{-x}
[/mm]
2. Schritt: der partikuläre Teile
[mm] x^{3} [/mm] - 2 x ^{2} - 4 = 0
Laut Formelbuch würde ich hier folgendes nehmen:
yp = x * [mm] (a*x^{3} [/mm] + [mm] b*x^{2} [/mm] + c*x - 4d)
Ich bin mir hier aber nicht ganz sicher, weil es in der Angabe kein x gibt??
Bin ich auf dem Holzweg?
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Hallo andi7987,
> Geben sind die inhomogene lineare Differentialgleichung 2.
> Ordnung mit dem Störglied, bestimmen Sie anhand der
> Tabelle den jeweiligen Lösungsansatz für eine
> partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung.
>
> y'' - y = [mm]x^{3}[/mm] - [mm]2*x^{2}[/mm] - 4
> Also ich hätte folgende Ansatz dazu:
>
> 1. Schritt: homogener Teil
>
> y'' - y = 0
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] - 1 = 0
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] = 1
>
> [mm]\lambda1;2[/mm] = +,- [mm]\wurzel{1}[/mm]
>
> [mm]\lambda1;2[/mm] = +,- 1
>
> Daher laut Formelbuch:
>
> yh = c1 * [mm]e^{x}[/mm] + c2 * [mm]e^{-x}[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. Schritt: der partikuläre Teile
>
> [mm]x^{3}[/mm] - 2 x ^{2} - 4 = 0
>
> Laut Formelbuch würde ich hier folgendes nehmen:
>
> yp = x * [mm](a*x^{3}[/mm] + [mm]b*x^{2}[/mm] + c*x - 4d)
>
> Ich bin mir hier aber nicht ganz sicher, weil es in der
> Angabe kein x gibt??
Nun, da "x" keine Lösung der homogenen DGL ist,
hast Du hier nur den Ansatz gemäß der Störfunktion zu wählen:
[mm]y_{p} = a*x^{3} + b*x^{2} + c*x + d[/mm]
>
> Bin ich auf dem Holzweg?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mi 20.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Danke für deinen Hinweis!
Dann würde ich folgenden Ansatz wählen:
[mm] x^{3} [/mm] - 2 * [mm] x^{2} [/mm] - 4
Laut Formelbuch würde ich hier folgendes nehmen:
yp = a * [mm] x^{3} [/mm] + [mm] b*x^2 [/mm] + c*x + d
Was mir nicht ganz klar ist, nehme ich hier das c*x mit obwohl in der Ausgangsfunktion kein x vorkommt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Danke für deinen Hinweis!
>
> Dann würde ich folgenden Ansatz wählen:
>
> [mm]x^{3}[/mm] - 2 * [mm]x^{2}[/mm] - 4
>
> Laut Formelbuch würde ich hier folgendes nehmen:
>
> yp = a * [mm]x^{3}[/mm] + [mm]b*x^2[/mm] + c*x + d
>
> Was mir nicht ganz klar ist, nehme ich hier das c*x mit
> obwohl in der Ausgangsfunktion kein x vorkommt?
Ja, das muss mit dabei sein. Ein ähnlicher Fall ist z.B. eine Störfunktion [mm] g(x)=3*\sin(\varphi) [/mm] -- hier bräuchtest du den Ansatz [mm] y_p=A*\sin(\varphi)+B*\cos(\varphi) [/mm] obwohl in der Störfunktion auch kein Cosinusanteil explizit ausgeworfen ist.
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mi 20.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Ok, ich mach jetzt mal weiter:
2. Schritt: partikuläre Ansatz
[mm] x^{3} [/mm] - 2 * ^{2} - 4 = 0
Jetzt also laut Formelbuch:
yp = [mm] a*x^{3}+ b*x^{2} [/mm] + c*x + d
y'p = [mm] 3*a*x^{2} [/mm] + 2*b*x + c
y''p = 6*a*x + 2*b
Jetzt setze ich das ganze in y'' + y ein!
6*a*x + 2*b + [mm] a*x^{3}+ b*x^{2} [/mm] + c*x + d = [mm] x^{3} [/mm] - 2 * ^{2} - 4
[mm] x^{3} [/mm] -a = 1
Lösung: a = -1
[mm] x^{2} [/mm] b = -2
[mm] x^{1} [/mm] 6*a + c = 0
Lösung: c = 6
[mm] x^{0} [/mm] 2b + d = - 4
Lösung d=1
yp = [mm] -x^{3} [/mm] - [mm] 2*x^{2} [/mm] + 6*x + 1
5. Schritt:
y = yh + yp
y = c1 * [mm] e^{x} [/mm] + c2 * [mm] c^{-x} [/mm] + [mm] (-x^{3} [/mm] - [mm] 2*x^{2} [/mm] + 6*x + 1)
Passt des so??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Ok, ich mach jetzt mal weiter:
>
> 2. Schritt: partikuläre Ansatz
>
> [mm]x^{3}[/mm] - 2 * ^{2} - 4 = 0
>
> Jetzt also laut Formelbuch:
>
> yp = [mm]a*x^{3}+ b*x^{2}[/mm] + c*x + d
> y'p = [mm]3*a*x^{2}[/mm] + 2*b*x + c
> y''p = 6*a*x + 2*b
>
> Jetzt setze ich das ganze in y'' + y ein!
Vorsicht ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") in der Aufgabenstellung stand [mm] y''\red{-}y=...
[/mm]
Du musst nochmal nachrechnen.
LG
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mi 20.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Stimmt. Danke!
Dan wird ab [mm] -ax^{3} [/mm] alles minus.
Also
6ax + 2b - [mm] ax^{3} [/mm] - [mm] bx^{2} [/mm] - cx - d = [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 2x^{2} [/mm] - 4
[mm] x^{3}: [/mm] Lösung: a = -1
[mm] x^{2}_ [/mm] -b = -2
Lösung_ b = 2
x: 6a - c = 0
Lösung_ c = -6
[mm] x^{0} [/mm] 2b - 1d = - 4
Lösung: 4 - 1d = - 4
Daher d = 8
yp = [mm] -x^{3} [/mm] + [mm] 2x^{2} [/mm] + 6x + 8
Daher: y = yh + yp
y = c1 * [mm] e^{x} [/mm] + c2 = [mm] e^{-x} [/mm] - [mm] x^{3} [/mm] + [mm] 2x^{2} [/mm] + 6x + 8
So, ich hoffe es passt jetzt!
Vielen Dank aber schon mal für eure Hilfe!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Stimmt. Danke!
>
> Dan wird ab [mm]-ax^{3}[/mm] alles minus.
>
> Also
>
> 6ax + 2b - [mm]ax^{3}[/mm] - [mm]bx^{2}[/mm] - cx - d = [mm]x^{3}[/mm] - [mm]2x^{2}[/mm] - 4
>
> [mm]x^{3}:[/mm] Lösung: a = -1
>
> [mm]x^{2}_[/mm] -b = -2
> Lösung: b = 2
>
> x: 6a - c = 0
> Lösung: c = -6
>
> [mm]x^{0}[/mm] 2b - 1d = - 4
> Lösung: 4 - 1d = - 4
> Daher d = 8
>
> yp = [mm]-x^{3}[/mm] + [mm]2x^{2}[/mm] [mm] \red{+} [/mm] 6x + 8
>
> Daher: y = yh + yp
>
> y = [mm] c1*e^{x}+c2e^{-x}-x^{3}+2x^{2}\red{+}6x+8
[/mm]
>
>
> So, ich hoffe es passt jetzt!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") sehr schön (edit: Vorzeichenfehler korrigiert) - die Kontrolle kannst du natürlich auch wieder hier machen, indem du [mm] y_p=-x^{3}+2x^{2}-6x+8 [/mm] zweimal ableitest, in deine DGL einsetzt und mit der rechten Seite vergleichst.
LG
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Mi 20.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Super vielen Dank!
Extrem super ist auch der Tipp mit der Probe!
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