DG eines Klotzes auf schiefer < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Sa 18.11.2006 | | Autor: | quandary |
| Aufgabe | Gegeben: Klotz auf schiefer Ebene, die um einen Winkel [mm] \alpha [/mm] gegen die Horizontale geneigt ist. Es wirke Erdbeschleunigung [mm] \vec{g} [/mm] und auf Grund der Gleitreibung eine Beschleunigung [mm] a_{gleit}= [/mm] -k * [mm] \vec{v}, [/mm] mit k > 0. Zur Zeit t=0 wird der Klotz mit einer Anfangsgeschwindigkeit [mm] v_{0} [/mm] die Ebene hinunter gestossen.
a) Fertigen Sie eine Skizze des Klotzes auf der schiefen Ebene zu einem Zeitpunkt t > 0 an und zeichnen Sie die Beschleunigung - insbesondere die resultierende Beschleunigung [mm] a_{\parallel} [/mm] tangential zur Ebene - ein. Geben Sie einen Ausdruck für [mm] a_{\parallel} [/mm] an.
b) Stellen Sie eine Differentialgleichung für die tangentiale Geschwindigkeit auf und lösen Sie sie mit dem Ansatz [mm] v_{\parallel}=A*e^{\lambda * t} [/mm] + B. Diskutieren Sie das Resultat. |
Folgendes Problem: Aufgabe b) Ich habe nirgendwo gelernt, wie Differntialgleichungen gelöst werden, sollte es jetzt aber gleich können. Habe mich über Internet informiert und kam zu folgendem Lösungsweg für die Aufgabe:
"Zur Zeit t=0 wird der Klotz mit einer Anfangsgeschwindigkeit [mm] v_{0} [/mm] die Ebene hinunter gestossen."
Daraus folgt: [mm] v_{\parallel}(t=0)=A*e^{\lambda * 0} [/mm] + B --> A + [mm] B=v_{0} [/mm] --> A [mm] =v_{0} [/mm] - B.
Dann sage ich: a(t) = g * sin( [mm] \alpha [/mm] ) - k*v(t) (Beträge der Vektoren)
und das sei ja gleich wie v'(t) = g * sin( [mm] \alpha [/mm] ) - k*v(t).
Dann ersetzte ich v(t) durch [mm] A*e^{\lambda * t} [/mm] + B und v'(t) mit [mm] \lambda [/mm] * [mm] A*e^{\lambda * t}. [/mm] Gegebenenfalls ersetze ich noch A durch [mm] (v_{0} [/mm] - B). Und jetzt denke ich, muss ich irgendwie zusammenfassen, oder integrieren, oder den Term zu einem Produkt zusammenfassen, alle v auf die Linke seite so dass ich etwas wie v'(t)+k*v(t) = [mm] g*sin(\alpha) [/mm] habe.
Und das Problem ist: jetzt komme ich nicht mehr weiter...
Die Lösung sei [mm] \lambda [/mm] = ?, hiess es...
Wie löse ich danach auf?
Auf http://de.wikipedia.org/wiki/Schiefe_Ebene habe ich sehr ähnliche Aufgabe gesehen. Aber da verwenden sie erstens einen anderen Lösungsansatz, und zweitens schreiben sie an der wichtigen Stelle nur : "Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von [Term] und durch Koeffizientenvergleich erhält man:"...,
Könnte mir irgendjemand weiterhelfen, bitte?
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Na, du bist doch schon recht weit gekommen.
Setze doch mal ein:
$v'(t) = g * sin( [mm] \alpha [/mm] ) - k*v(t)$
[mm] $A\lambda e^{\lambda t} [/mm] = g * sin( [mm] \alpha [/mm] ) - k*(A [mm] e^{\lambda t}+B) [/mm] $
[mm] $A\lambda e^{\lambda t} [/mm] = g * sin( [mm] \alpha [/mm] ) - k*A [mm] e^{\lambda t}-kB [/mm] $
Diese Gleichung mußt du nach [mm] \lambda [/mm] lösen.
Du kannst erstmal sagen, daß $g * sin( [mm] \alpha [/mm] )= kB$ sein soll. Das liefert dir B. Dann wird aus der Gleichung:
[mm] $A\lambda e^{\lambda t} [/mm] = - k*A [mm] e^{\lambda t} [/mm] $
Hier siehst du, [mm] $\lambda=-k$ [/mm] ist.
Die Interpretation ist, daß das erstmal ne e-Fkt mit negativem Exponenten ist - die verschwindet also mit der Zeit, und übrig bleibt
$g * sin( [mm] \alpha [/mm] )= kB$, das heißt, B ist die konstante Geschwindigkeit, die der Klotz irgendwann annimmt.
Also, der klotz nähert sich exponentiell der Geschwindigkeit B.
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