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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Do 13.10.2005 | | Autor: | lck |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo!
hat einer eine idee wie ich zeigen kann das [mm] y(x)=(x³+8)^{1/3} [/mm] die AWA y²y'-x²=0, y(0)=2 in (-2, [mm] \infty) [/mm] ist?
ich hab bis jetz nur umgeformt (also nach y' ausgelöst) und weiß nun nicht wie ich weiter voran kommen soll! y'= [mm] \bruch{x²}{y²} [/mm] wir hatten noch nie was mit y² und auch nur zwei methoden bis jetzt: zum einen variation der konstanten und ansatz vom typ der störfunktion s(x)!
wäre für tipps dankbar!
gruß
LCK
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Hallo Ick,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hat einer eine idee wie ich zeigen kann das
> [mm]y(x)=(x³+8)^{1/3}[/mm] die AWA y²y'-x²=0, y(0)=2 in (-2, [mm]\infty)[/mm]
> ist?
>
> ich hab bis jetz nur umgeformt (also nach y' ausgelöst) und
> weiß nun nicht wie ich weiter voran kommen soll! y'=
> [mm]\bruch{x²}{y²}[/mm] wir hatten noch nie was mit y² und auch nur
> zwei methoden bis jetzt: zum einen variation der konstanten
> und ansatz vom typ der störfunktion s(x)!
Bringe alles was mit y zu tun hat auf die linke Seite und alles was mit x zu tun auf die rechte Seite (Trennung der Variablen). Dann kannst Du wie gewohnt links und rechts integrieren.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Fr 14.10.2005 | | Autor: | lck |
danke für die nette begrüßung!
leider versteh irgendwie nicht inwiefern mich das weiterbringen soll! ich dachte ich müßte die dgl auf die form : y'=a(x)y+s(x) bringen um sie lösen zu können?
kann man vielleicht auch aus der lösung der dgl darauf schließen das es richtig ist?
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Hallo Ick!
> ich dachte ich müßte die dgl auf die
> form : y'=a(x)y+s(x) bringen um sie lösen zu können?
Das ist eine Variante, um DGL's zu lösen, jedoch nicht für diese DGL anzuwenden.
Hier geht es viel schneller mit der Umformung (wie von Mathepower angedeutet):
[mm] $y^2*y' [/mm] \ = \ [mm] x^2$ $\gdw$ $y^2 [/mm] * [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] \ = \ [mm] x^2$ $\gdw$ $\blue{\integral}y^2 [/mm] \ dy \ = \ [mm] \blue{\integral}x^2 [/mm] \ dx$
Nun Integration ...
> kann man vielleicht auch aus der lösung der dgl darauf
> schließen das es richtig ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das geht auch! Du kannst ja mal $y'_$ ermitteln und dann in die DGL einsetzen ...
Gruß vom
Roadrunner
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> aha,ist ja immer gut wenn man alternativen hat 
>
> ich würds aber gern auch auf dem andern weg können!Ich hab
> brav integriert und die angegeben grenzen benutz, kommt
> aber nichts sinnvolles raus wegen der unendlich grenze!was
> also tun?
Hallo,
(-2, [mm] \infty) [/mm] ist nicht irgendeine Integrationsgrenze, sondern der Definitionsbereich für die gesuchte Funktion y(x).
Welche Eigenschaften soll y(x) haben? Es soll sein [mm] y'(x)y^2(x)-x^2=0 [/mm] und y(0)=2.
Wie von roadrunner beschrieben kommst Du auf [mm] \integral {y^2 dy}= \integral {x^2 dx}.
[/mm]
Weil die Stammfunktionen nur bis auf eine Konstante eindeutig sind, erhältst Du
[mm] \bruch{1}{3}y^3=\bruch{1}{3}x^3 [/mm] +const ==> [mm] y=(x^3 +const)^\bruch{1}{3}
[/mm]
Die Konstante kriegst Du, indem Du y(0)=2 ins Spiel bringst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Fr 14.10.2005 | | Autor: | lumpi |
hallo LCK, ich glaub wir sitzen in der selben vorlesung und auch ich habe probleme bei der aufgabe
im grunde hab ich die lösung verstanden!nur eine kleine frage noch:du multiplizierst mit 3, warum steht dann da nicht 3c, das würde das ergebnis ja dann verändern oder kann man das vernachlässigen weils eine konstante ist
ich hab außerdem noch eine zweite aufgabe aufgetan, bei der ich leider mit meinen methoden nicht weiterkomme!
[mm] y(x)=(3-2x)*e^{2x}-cos(2x) [/mm] soll eine lösung der AWA y''-4y'+4y+8*sin(2x)=0 sein , wobei y(0)=2, y'(0)=4 in [mm] \IR [/mm] ist! kann ich das auch mit der methode rechnen, ich habs versucht bin aber kläglich gescheitert!einer von euch ne idee?
gruß
lumpi
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Hallo lumpi!
> du multiplizierst mit 3, warum steht dann da
> nicht 3c, das würde das ergebnis ja dann verändern oder
> kann man das vernachlässigen weils eine konstante ist
Eine Konstante multipliziert mit einer anderen Konstante ergibt auch wieder eine Konstante.
Streng genommen wurde hier substituiert: $c' \ := \ 3*c$ .
Das wird halt häufig etwas nachlässig formuliert.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Lumpi!
Bitte eröffne für eine derartige neue (eigenständige) Aufgabe auch einen separaten Thread ...
> [mm]y(x)=(3-2x)*e^{2x}-cos(2x)[/mm] soll eine lösung der AWA
> y''-4y'+4y+8*sin(2x)=0 sein , wobei y(0)=2, y'(0)=4 in [mm]\IR[/mm]
> ist! kann ich das auch mit der methode rechnen, ...
Welche Methode meinst Du denn hier: Trennung der Variablen oder LCK's Ansatz über $y' \ = \ a(x)*y+s(x)$ ?
Das funktioniert hier beides nicht ...
Zunächst homogene DGL: $y'' - 4*y' + 4*y \ = \ 0$
Und daraus die charakteristische Gleichung:
[mm] $k^2 [/mm] - 4k + 4 \ = \ 0$ mit der (doppelten) Lösung [mm] $k_{1/2} [/mm] \ = \ 2$
Daraus ergibt sich die homogene Lösung [mm] $y_H$ [/mm] :
[mm] $y_H [/mm] \ = \ [mm] \left(c_1*x+c_2\right)*e^{2x}$
[/mm]
Nun über Variation der Konstanten die partikuläre Lösung [mm] $y_P$ [/mm] ermitteln und anschließend über die Anfangswerte die beiden Konstanten ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Lck!
> es gibt nicht zufällig doch noch eine andere methode, die
> was mit dem was ich bis jetzt gelernt hab zu tun hat:
> variation von konstanten und ansatz vom typ der
> störfunktion?
> bis jetzt haben wir immer erst die partikuläre lösung
> bestimmt und dann nachher addiert!!
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Aber dafür benötigst Du doch zunächst die homogene Lösung [mm] $y_H$ [/mm] , um die partikuläre Lösung ermitteln zu können.
Zudem ist in Deiner Aufgabe ja gar keine Störfunktion vorhanden, so dass eine partikuläre Funktion gar nicht erforderlich ist.
Dein "gewünschter Ansatz" über $y' \ = \ a(x)*y+s(x)$ kann mMn hier überhaupt nicht funktionieren, da in unserer DGL bereits ein [mm] $y^{\red{2}}$ [/mm] vorkommt.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
Ich wollte das nur nochmal bestätigen.
Der Ansatz homogene + inhomogene Lösung ist nur für lineare DGL möglich. Ist die DGL nicht linear sind die Verfahren mit der Störfunktion,Variation der Konstanten,spezielle Ansätze also auch nicht anwendbar.
viele Grüße
mathemaduenn
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