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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:54 Fr 13.02.2009 | | Autor: | boozy |
| Aufgabe | Für den Vektorraum [mm] \IR2 [/mm] seien die Basen B1= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] und
B2= [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 3 & -2 } [/mm] gegeben.
Bestimmen sie die Darstellende Matrix S der Koordinatentransformation von B1 nach B2. |
Hi an alle Leute vom Matheraum!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Also zu meiner Frage (Antwort ;) ):
Ich habe das Ergebnis dieser Aufgabe schon, weil dies eine alte Klausuraufgabe ist, aber leider kann ich es nicht ganz nachvollziehen.
Die Formel für S lautet KB2 o [mm] KB1^{-1}.
[/mm]
Also in der Musterlösung kommt jetzt für das [mm] KB1^{-1} [/mm] genau die gegebene Basis B1 heraus!
Das habe ich noch geschafft mir das durch die Umkehrabbildung der Koordinatenabbildung zu erklären.
Dann wurde das [mm] KB2^{-1} [/mm] berechnet und wie folgt angeschrieben:
KB2= [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 3 & -2 }^{-1} [/mm] = [mm] (1/4)*\pmat{ -2 & 2 \\ -3 & 1 }
[/mm]
Wie kommt man auf dieses Ergebnis von KB2 mit dem (1/4) und auf die Matrix dahinter???
Kann mir das bitte jemand erklären???
Gibt es eigentlich bei der Koordinatenabbildung (Berechnung der darstellenden Matrix immer mehrere Lösungswege? )
Es ist schon ein bisschen depremierend, ich verstehe LinA eigentlich ganz gut, aber Koordinatenabbildungen sind nicht gerade mein Gebiet!
Ich danke euch für eure Hilfe!!!
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Hallo boozy, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
meistens ist hier um diese Zeit niemand mehr, oder vielleicht nur wenige, die noch antworten. Du hast 2 Tage Fälligkeit gewählt, gehst also wohl auch gar nicht davon aus, dass Du jetzt einen Hinweis bekommst...
Erst einmal außer dem Willkommen noch ein großes Lob, dass Du Deine Anfrage sofort mit dem Formeleditor angegangen bist. Das gibt nicht nur schöne, lesbare Ergebnisse, sondern ist bei einem Thema wie Matrizen unbedingt nötig, wenn man nicht nur darüber reden will, wie man Bahnhof verstanden hat.
> Dann wurde das [mm]KB2^{-1}[/mm] berechnet und wie folgt
> angeschrieben:
>
> KB2= [mm]\pmat{ 1 & -2 \\ 3 & -2 }^{-1}[/mm] = [mm](1/4)*\pmat{ -2 & 2 \\ -3 & 1 }[/mm]
>
> Wie kommt man auf dieses Ergebnis von KB2 mit dem (1/4) und
> auf die Matrix dahinter???
>
> Kann mir das bitte jemand erklären???
Hier wird doch "nur" eine Inverse bestimmt. Weißt Du, wie das geht?
Wenn nicht, dann lies vielleicht erst einmal den Wiki-Artikel ![[]](/images/popup.gif) Adjunkte, bevor Du Dich an die Inverse. Der letztgenannte Artikel wird umgeleitet, lass Dich nicht irritieren.
Herzliche Grüße,
reverend
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> Für den Vektorraum [mm]\IR2[/mm] seien die Basen B1= [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
> und
> B2= [mm]\pmat{ 1 & -2 \\ 3 & -2 }[/mm] gegeben.
>
> Bestimmen sie die Darstellende Matrix S der
> Koordinatentransformation von B1 nach B2.
> Die Formel für S lautet [mm] KB_2 [/mm] o [mm]KB_1^{-1}.[/mm]
Hallo,
.
Jetzt kommt der Frühdienst.
Mit "Koordinatentransformation von [mm] B_1 [/mm] nach [mm] B_2" [/mm] ist ja die Transformation gemeint, mit welcher Vektoren, die in Koordinaten bzgl [mm] B_1 [/mm] gegeben sind, in solche bzgl [mm] B_2 [/mm] ungewandelt werden.
Deine Matrizen [mm] B_i [/mm] vollziehen die die Umwandlung von Vektoren in Koordinaten bzgl der Basen [mm] B_i [/mm] in Standardkoordinaten, dh. in Koordinaten bzgl der Standardbasis E.
Also
[mm] B_1: [/mm] $E [mm] \leftarrow B_1$
B_2: $E \leftarrow B_2$
Für die geforderte Transformation von B_1 nach B_2 kann man erstmal die Vektoren bzgl. B_1 in solche bzgl. E umwandeln, das vollführt die Matrix B_1 für uns.
Anschließend müssen die erhaltenen Vektoren bzgl E in solche bzgl B_2 umgewandelt werden, und das tut B_2^{-1} .
Also ist
$\underbrace{B_2 \leftarrow B_1}_{S}$= $\underbrace{(B_2 \leftarrow E)}_{B_2^{-1} }\circ \underbrace{( E \leftarrow B_1)}_{B_1}$.
Hast Du es bis hierher verstanden? Wenn ja, dann können wir uns dem Höhepunkt dieses Posts nähern:
(Achtung, EDITIERT: der Höhepunkt ist jetzt ein anderer.)
Mit K_{B_i} ist bei Euch wohl die Transformationsmatrix gemeint, die Standardvektoren in solche bzgl der Basis B_i umwandelt, also ist K_{B_i}=B_i^{-1}.
Gucken wir mal, was die oben angegebene Transformation K_{B_2} o K_{B_1}^{-1} tut :
$\underbrace{(B_2 \leftarrow E)}_{K_{B_2}=B_2^{-1}} \circ \underbrace{( B_1 \leftarrow E)}_{K_{B_1^{-1}}=B_1}$
Alles richtig!
> Also in der Musterlösung
Die Musterlösung tut genau das, was wir oben besprochen haben.
Sie nimmt B_1, invertiert B_2, und erechnet dann B_2^{-1}*B_1.
Gruß v. Angela
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Fr 13.02.2009 | | Autor: | boozy |
Vielen Dank für die ausführliche und schnelle Hilfe!
Vielen Dank auch noch für das Lob, dass ich die Eingabehilfen verwendet habe. Ich kann es fast nicht verstehen, dass die Eingabehilfen von manchen nicht verwendet werden, weil sich doch mit diesen alles so viel einfach erkläre lässt!
Achso, zu der Fälligkeit meines Artikels....ich gebe einfach irgendeinen Zeitraum ein....nur sollte er halt unter 18.02.2009-12h liegen;)
Ich weiß wie man invertiert und habe mir heute in der Früh selber gedacht, warum ich so blöd war und das "hoch minus eins" nicht als invertierung gedacht habe!
Also ich habe mir gestern nochmal das Thema "Koordinate und darstellende Matrizen" durchgelesen.
Wir haben bei diesem Thema mehrere Beispiele zu den Unterthemen:
-Koordinatenvektoren von Matrizen
-Koordinatenabbildung mit Matrizen
-Umkehrabbildung der Koordinatenabbildung
-Transforamtionsmatrix
-Darstellende Matrix
Jetzt zu meiner Frage:
Die Transformationsmatrix wird ja immer berechnet sobalt ich einen Basiswechsel habe.
Die Formel für die Transformationsmatrix beim Basiswechsel von [mm] B_{1} [/mm] nach [mm] B_{2} [/mm] sieht doch wie folgt aus:
S= [mm] KB_{2} [/mm] o [mm] KB_{1}^{-1} [/mm] so steht es halt in unserem Skrip.
Warum nehme ich dann auch die Invertierte von KB2, da steht doch in der formel nix von [mm] KB_{2}^{-1}??
[/mm]
Wie würde denn die Formel aussehen wenn ich einen Basiswechsel von [mm] B2_{2} [/mm] nach [mm] B_{1} [/mm] hätte (so: S= [mm] KB_{1} [/mm] o [mm] KB_{2}^{-1} [/mm] ?) ?
Also Koordinatenabbildungen rauben mir noch den nerv, ich verstehe die Denkweise für die Koordinatenabbildungen nicht, aber ich habe ja noch viel Zeit bis zur Prüfung und viel Zeit euch zu nerven;))
Vielen Dank jetzt schon für eure Hilfe!!!
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> Jetzt zu meiner Frage:
>
> Die Transformationsmatrix wird ja immer berechnet sobalt
> ich einen Basiswechsel habe.
Hallo,
ja.
>
> Die Formel für die Transformationsmatrix beim Basiswechsel
> von [mm]B_{1}[/mm] nach [mm]B_{2}[/mm] sieht doch wie folgt aus:
>
> S= [mm]KB_{2}[/mm] o [mm]KB_{1}^{-1}[/mm] so steht es halt in unserem
> Skrip.
Nun wäre als nächstes zu untersuchen, was bei Euch mit [mm] K_{B_i} [/mm] gemeint ist - insofern war ich vielleicht vorhin etwas voreilig, als ich gesagt habe, daß das, was in der Musterlösung steht, verkehrt ist. Da mußt Du in Deinen Unterlagen nachschauen.
Ohne K's hab' ich das ja zuvor vorgemacht:
Wenn man [mm] B_i [/mm] die Matrix nennt, die die Basisvektoren von [mm] B_i [/mm] in den Spalten enthält, dann in die Matrix [mm] B_i [/mm] die Transformationsmatrix für den Übergang von [mm] B_1 [/mm] nach E, und [mm] B_i^{-1} [/mm] ist die Matrix für den Übergang von E nach [mm] B_i. [/mm] Möglicherweise heißt bei Euch die Matrix, die für diesen Übergang zuständig ist, [mm] K_{B_i}, [/mm] also [mm] K_{B_i}=B_i^{-1} [/mm]
Dann würde ja alles auch wieder passen:
S= [mm]KB_{2}[/mm] o [mm]KB_{1}^{-1}[/mm] = [mm] B_2^{-1} (B_1^{-1})^{-1}=B_2^{-1} *B_1.
[/mm]
Ja, so wird's sein!
Ich merke mir immer, daß diese Matrix mit den neuen Basisvektoren in den Spalten, also denen von [mm] B_i, [/mm] dieses tut: $ E [mm] \leftarrow B_i $.
Wenn's etwas unübersichtlich ist, schreibe ich mir immer mit solchen Pfeilen rechts auf dem Paier beginnend auf, was ich zu tun gedenke. Seitdem kann ich's mir merken.
Ich stell mir die Matrizen immer wie Esel vor, die ich von rechts mit den richtigen Vektoren fürttern muß, damit hinten Gold rauskommt und nicht was anderes.
> Warum nehme ich dann auch die Invertierte von KB2, da steht
> doch in der formel nix von [/mm] [mm]KB_{2}^{-1}??[/mm]
>
> Wie würde denn die Formel aussehen wenn ich einen
> Basiswechsel von [mm]B2_{2}[/mm] nach [mm]B_{1}[/mm] hätte (so: S= [mm]KB_{1}[/mm] o
> [mm]KB_{2}^{-1}[/mm] ?) ?
Basiswechsel von [mm] B_2 [/mm] nach [mm] B_1: [/mm]
$ [mm] B_1 \leftarrow B_2= (B_1 \leftarrow E) \circ (E \leftarrow B_2) $ = (B_1)^{-1}*B_2 = K_{B_1}* K_{B_2}^{-1}
Gruß von Angela
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Sa 14.02.2009 | | Autor: | boozy |
Danke für die Antowrt, ich habe mich gestern ein bisschen dahinter geklemmt und verstehe das Thema mit den Koordinatenabbildung so halbwegs.
Jetzt habe ich noch eine andere Frage:
Was kann ich denn alles für Aussagen treffen, wenn die Matrix (A [mm] \in\IR2,2) [/mm] invertierbar ist?
Ich hab da folgendes:
- det (A) [mm] \not=0
[/mm]
- Rang (A) = maximal
dazu Nebenergänzung Rang (A) = dim (Bild (A))
- Kern (A) besteht nur aus Nullvektor
geht ja nicht anders da Rang (A) maximal und aus dem Dimensionssatz dim (Urbild=V) = dim (Kern (A)) + dim (Bild (A))
Hierzu noch eine Frage, den Kern(A) berechne ich ja aus dem linearen Gleichungssystem das sich aus A*x=0. Warum ist hier x=0 die einzige Lösung?
- Die Zeilenvektoren der Matrix sind linear abhängig
Gibt es noch mehrere Aussagen die man treffen kann???
Schöne Grüße
boozy
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> Was kann ich denn alles für Aussagen treffen, wenn die
> Matrix (A [mm]\in\IR2,2)[/mm] invertierbar ist?
Hallo,
wir sprechen über 2x2-Matrizen?
Laß uns lieber gleich über nxn-Matrizen reden, also quadratische.
Wenn die Matrix invertierbar ist, ist
>
>
> Ich hab da folgendes:
>
> - det (A) [mm]\not=0[/mm]
Genau. Mit der Determinante kannst Du auch die Invertierrbarkeit testen. invertierbar <==> [mm] det\not=0.
[/mm]
Das ist nützlich.
>
> - Rang (A) = maximal
> dazu Nebenergänzung Rang (A) = dim (Bild (A))
Ja.
Wenn Du eine Matrix A hast, die invertierbar ist, dann ist sie darstellende Matrix eines invertierbaren Homomorphismus, also einer inj. und surjektiven Abbildung.
Die Surjektivität sprichst Du gerade hier an dim(bild(A))=n <==> surjektiv.
> - Kern (A) besteht nur aus Nullvektor
Ja.oben ja schon über die Bijektivitat der durch die Matrix repräsentierten Abbildung geschrieben.
Daraus ergibt sich die Injektivität, und daraus [mm] KernA=\{0\}.
[/mm]
> geht ja nicht anders da Rang (A) maximal und aus dem
> Dimensionssatz dim (Urbild=V) = dim (Kern (A)) + dim (Bild
> (A))
Ja.
>
> Hierzu noch eine Frage, den Kern(A) berechne ich ja aus dem
> linearen Gleichungssystem das sich aus A*x=0. Warum ist
> hier x=0 die einzige Lösung?
Denk an den Gaußalgorithmus.
Da A den Rang n hat, kannst Du die Matrix A mit Gauß auf Diagonalgestalt bringen, womit sich dann 0 als einzige Lösung ergibt.
Oder anders: wenn A invertierbar ist, dann folgt aus A*x=0: [mm] x=A^{-1}Ax=A^{-1}0=0.
[/mm]
>
> - Die Zeilenvektoren der Matrix sind linear abhängig
Ja.
>
>
> Gibt es noch mehrere Aussagen die man treffen kann???
Ein lineares inhomogenes Gleichungssystem, welches A als Koeffizientenmatrix hat, ist eindeutig lösbar.
Gruß v. Angela
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