Darstellende Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 So 19.04.2009 | | Autor: | Sierra |
| Aufgabe | Betrachten Sie den vierdimensionalen Vektorraum über [mm] \IC, [/mm] der von den Funktionen sin, cos, sinh und cosh aufgespannt wird.
Stellen Sie die darstellende Matrix der linearen Abbildung G: [mm] f\mapsto [/mm] f'' + f' bezüglich der Basis (sin, cos, sinh, cosh) auf. |
Hallo zusammen!
generell würde ich zur Bestimmung der darstellenden Matix die Vektoren der ersten Basis (also sin, cos, sinh, cosh) nehmen und die Abbildung darauf anwenden, also die erste und zweite Ableitung bestimmen.
Dieses Ergebnis widerrum würde ich dann als Linearkombination mit Vektoren der zweiten Basis darstellen. genau hier liegt mein Problem, was ist die zweite Basis ? :S
Gibt es einen anderen Ansatz für die Darstellungsmatrix? oder besser erstmal: ist der von mir gewählte Ansatz einigermaßen richtig? =/
Lieber Gruß
Sierra
|
|
| |
|
> Betrachten Sie den vierdimensionalen Vektorraum über [mm]\IC,[/mm]
> der von den Funktionen sin, cos, sinh und cosh aufgespannt
> wird.
> Stellen Sie die darstellende Matrix der linearen Abbildung
> G: [mm]f\mapsto[/mm] f'' + f' bezüglich der Basis (sin, cos, sinh,
> cosh) auf.
> Hallo zusammen!
>
> generell würde ich zur Bestimmung der darstellenden Matix
> die Vektoren der ersten Basis (also sin, cos, sinh, cosh)
> nehmen und die Abbildung darauf anwenden, also die erste
> und zweite Ableitung bestimmen.
> Dieses Ergebnis widerrum würde ich dann als
> Linearkombination mit Vektoren der zweiten Basis
> darstellen. genau hier liegt mein Problem, was ist die
> zweite Basis ? :S
Hallo,
die zweite asis ist die erste Basis.
> Gibt es einen anderen Ansatz für die Darstellungsmatrix?
> oder besser erstmal: ist der von mir gewählte Ansatz
> einigermaßen richtig? =/
Ja.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 So 19.04.2009 | | Autor: | Sierra |
Hallo Angela, vielen Dank für deine Antwort.
Soweit habe ich jetzt erstmal die Theorie dahinter verstanden, allerdings hapert es jetzt an der Umsetzung...
Ich habe die lineare Abbildung f' + f'':
[mm] \vektor{cosx \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ -sinx \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ coshx \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ sinhx} [/mm] + [mm] \vektor{-sinx \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ -cosx \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ sinhx \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ coshx}.
[/mm]
Erstmal weiß ich nicht, wie ich das addiere... die jeweils ersten Vektoren, dann die jeweils zweiten usw ?
Des weiteren weiß ich dann auch nicht genau, wie ich das dann als Linearkombination mit der Basis darstelle..
bin für jeden Ratschlag dankbar :)
Lieber Gruß
Sierra
|
|
|
| |
|
> > > Stellen Sie die darstellende Matrix der linearen Abbildung G: $ [mm] f\mapsto [/mm] $ f'' + f' bezüglich der Basis B:=(sin, cos, sinh, cosh) auf.
Hallo,
was Du zuvor getan hast, ist mir nicht recht klar.
In die Spalten der darstellenden Matrix kommen doch die Bilder der Basisvektoren (in Koordinaten bzgl. der geforderten Basis.)
Du mußt also G(sin), G( cos), G(sinh), G(cosh) berechnen.
Ich mach's für den ersten Basisvektor, für sin, mal vor:
G(sin)= cos - sin = (-1)*sin + 1*cos + 0*sinh + 0*cosh = [mm] \vektor{-1\\1\\0\\0}_{(B)},
[/mm]
und dieser Vektor wäre die erste Spalte der gesuchten darstellenden Matrix.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 So 19.04.2009 | | Autor: | Sierra |
Habe mich auch fast nicht getraut zu fragen, um eben nicht was völlig falsches vorzumachen... bin nun trotzdem froh, es doch getan zu haben.
Vielen Dank Angela :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 So 19.04.2009 | | Autor: | Sierra |
Eine Frage hätte ich dann doch nochmal dazu...
ich komme jetzt nämlich auf die darstellende Matrix:
[mm] \pmat{ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 }
[/mm]
Ist es egal, dass die dritte Zeile/Spalte mit der Vierten übereinstimmt ? oder muss ich dann etwas falsch gemacht haben?
Gruß Sierra
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:26 Mo 20.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Sierra
> Eine Frage hätte ich dann doch nochmal dazu...
> ich komme jetzt nämlich auf die darstellende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Ist es egal, dass die dritte Zeile/Spalte mit der Vierten
> übereinstimmt ? oder muss ich dann etwas falsch gemacht
> haben?
Egal ist nichts. In diesem Fall bedeutet das, dass der dritte und vierte Basisvektor beide auf den gleichen Zielvektor abgebildet werden (insbesondere ist die Abbildung nicht injektiv). Wenn du erwarten wuerdest, dass die Abbildung injektiv ist (weil's etwa in der Aufgabenstellung steht) und das kaeme raus, dann haettest du wohl was falsch gemacht (oder der Aufgabensteller). In diesem Fall ist aber alles in bester Ordnung.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:26 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Sierra |
Vielen Dank für deine Antwort :)
|
|
|
|
