Darstellende Matrix bzgl Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 So 30.06.2013 | | Autor: | JeMo |
| Aufgabe | Also:
Gegeben ist ein Vektorraum V der reellen oberen Dreiecksmatrizen
[mm] V=\{ \pmat{ a1 & a2 \\ 0 & a3 } \in \IR^{2X2} | a1,a2,a3 \in \IR\}
[/mm]
die lineare Abbildung L: V $ [mm] \to [/mm] $ V, sowie die folgenden Bilder von L:
L( [mm] \pmat{ -1 & 2 \\ 0 & 2 } [/mm] ) = $ [mm] \pmat{ -3 & 6 \\ 0 & 6 } [/mm] $
L( [mm] \pmat{ 0 & 3 \\ 0 & 1 } [/mm] ) = [mm] \pmat{ 0 & -6 \\ 0 & -2 } [/mm]
L( $ [mm] \pmat{ 2 & -2 \\ 0 & -1 } [/mm] $ ) = $ [mm] \pmat{ 0 & 12 \\ 0 & 4 } [/mm] $
Bestimmen Sie die darstellende Matrix Lb von L bzgl. der Basis
B = [mm] \{ \pmat{ 0 & 3 \\ 0 & 1 } , \pmat{ 2 & -2 \\ 0 & -1 } , \pmat{ -1 & 2 \\ 0 & 2 } \} [/mm] |
Hallo!!
So jetzt hat's mich auch hierher verschlagen, diese Aufgabe bereitet mir echt Kopfzerbrechen :/
Also ansich sollte es kein Problem sein eine dartstellende Matrix bzgl. einer Basis zu erstellen, aber bis dato habe ich dies immer mit Hilfe einer Abbildungsvorschrift getan. Ich habe schon versucht eine eigene Abbildungsvorschrift zu finden, weil es ja eine lineare Selbstabbildung ist, bin aber zu keinem Ergebnis gekommen.
Deshalb bräucht ich irgendwie 'nen Tipp wie ich am besten an diese Aufgabe herangehen soll. Vielen Dank schonmal!
Grüße JeMo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 So 30.06.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo jemo,
willkommen hier im Forum. Auch wenn Du die Seite eingescannt hast, bist Du doch nicht der Urheber. Um hier etwaige Regressansprüche an das Forum zu vermeiden, habe ich den Anhang gesperrt. Bitte tippe doch die Aufgabe ab.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 So 30.06.2013 | | Autor: | JeMo |
Ok, dass kann jetzt echt ein Spaß werden ;)
Also:
Gegeben ist ein Vektorraum V der reellen oberen Dreiecksmatrizen
V={ [mm] \pmat{ a1 & a2 \\ 0 & a3 } [/mm] Element aus R^(2X2) I a1,a2,a3 Element aus R}
die lineare Abbildung L: V [mm] \to [/mm] V, sowie die folgenden Bilder von L:
L( [mm] \pmat{ -1 & 2 \\ 0 & 2 } [/mm] ) = [mm] \pmat{ -3 & 6 \\ 0 & 6 }
[/mm]
L( [mm] \pmat{ 0 & 3 \\ 0 & 1 } [/mm] ) = [mm] \pmat{ 0 & -6 \\ 0 & -2 }
[/mm]
L( [mm] \pmat{ 2 & -2 \\ 0 & -1 } [/mm] ) = [mm] \pmat{ 0 & 12 \\ 0 & 4 }
[/mm]
Bestimmen Sie die darstellende Matrix Lb von L bzgl. der Basis
B = { [mm] \pmat{ 0 & 3 \\ 0 & 1 } [/mm] , [mm] \pmat{ 2 & -2 \\ 0 & -1 } [/mm] , [mm] \pmat{ -1 & 2 \\ 0 & 2 } [/mm] }
|
|
|
| |
|
>
> Hallo!!
> So jetzt hat's mich auch hierher verschlagen,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> diese
> Aufgabe bereitet mir echt Kopfzerbrechen :/
> Also ansich sollte es kein Problem sein eine dartstellende
> Matrix bzgl. einer Basis zu erstellen, aber bis dato habe
> ich dies immer mit Hilfe einer Abbildungsvorschrift getan.
Okay, das klingt, als hättest Du schon Darstellungsmatrizen bzgl. vorgegebener Basen mit Erfolg aufgestellt.
Das gibt doch Anlaß zur Hoffnung.
> Ich habe schon versucht eine eigene Abbildungsvorschrift zu
> finden, weil es ja eine lineare Selbstabbildung ist,
> bin
> aber zu keinem Ergebnis gekommen.
> Deshalb bräucht ich irgendwie 'nen Tipp wie ich am besten
> an diese Aufgabe herangehen soll.
Ich greife zunächst einmal Deinen Plan, als erstes die Abbildungsvorschrift aufzustellen, auf, werde Dir anschließend aber sagen, wie Du hier ohne diesen Schritt auskommen kannst.
> Also:
> Gegeben ist ein Vektorraum V der reellen oberen
> Dreiecksmatrizen
> [mm]V=\{ \pmat{ a1 & a2 \\ 0 & a3 } \in \IR^{2X2} | a1,a2,a3 \in \IR\}[/mm]
Der VR V ist ein dreidimensionaler Unterraum des vierdimensionalen Raumes [mm] \IR^{2\times 2}.
[/mm]
> die lineare Abbildung L: V [mm]\to[/mm] V,
Wir haben es bei L also mit einer linearen Abbildung aus einem dreidimensionalen Raum in einen dreidimensionalen Raum zu tun, können also schon wissen, daß die Darstellungsmatrix eine [mm] 3\times [/mm] 3 - Matrix sein wird.
> sowie die folgenden
> Bilder von L:
> L( [mm]\pmat{ -1 & 2 \\ 0 & 2 }[/mm] ) = [mm]\pmat{ -3 & 6 \\ 0 & 6 }[/mm]
>
> L( [mm]\pmat{ 0 & 3 \\ 0 & 1 }[/mm] ) = [mm]\pmat{ 0 & -6 \\ 0 & -2 }[/mm]
> L( [mm]\pmat{ 2 & -2 \\ 0 & -1 }[/mm] ) = [mm]\pmat{ 0 & 12 \\ 0 & 4 }[/mm]
> Bestimmen Sie die darstellende Matrix Lb von L bzgl. der
> Basis
> B = [mm]\{ B_1:=\pmat{ 0 & 3 \\ 0 & 1 } , B_2:=\pmat{ 2 & -2 \\ 0 & -1 } , B_3:=\pmat{ -1 & 2 \\ 0 & 2 } \}[/mm]
Aha. Du hast eine Basis von V gegeben, nämlich B, und zusätzlich die Bilder der Basisvektoren [mm] B_1, B_2, B_3 [/mm] von V unter der Abbildung B.
Du weißt oder solltest wissen, daß durch die Angabe der Werte auf einer Basis eine jede lineare Abbildung eindeutig bestimmt ist.
Jede beliebige obere Dreiecksmatrix A kannst Du schreiben als [mm] A=\beta_1B_1+\beta_2B_2+\beta_3B_3 [/mm] mit passenden [mm] \beta_i\in\IR.
[/mm]
Und aufgrund der Linearität ist dann
[mm] L(A)=L(\beta_1B_1+\beta_2B_2+\beta_3B_3)=\beta_1L(B_1)+\beta_2L(B_2)+\beta_3L(B_3).
[/mm]
Damit wirst Du noch nicht ganz zufrieden sein, aber Du könntest ja jetzt für [mm] A:=\pmat{ a1 & a2 \\ 0 & a3 } [/mm] die passenden [mm] \beta_i [/mm] in Abhängigkeit von den [mm] \a_i [/mm] ausrechnen und hättest dann die Abbildungsvorschrift in der Form
[mm] L(\pmat{ a1 & a2 \\ 0 & a3 })=...L(B_1)+...L(B_2)+...L(B_3).
[/mm]
An dieser Stelle knntest Du nun so weitermachen, wie Du es vermutlich immer getan hast.
---
Jetzt gehen wir den besseren Weg:
Du kennst (oder solltest kennen):
"In den Spalten der Abbildungsmatrix von L bzgl B stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl B."
Nun kannst Du Dich schon ein wenig freuen, denn die Bilder der Basisvektoren von B werden Dir hier ja mundgerecht serviert.
Du mußt nun nur noch herausfinden, wie ihre Koordinatenvektoren bzgl B lauten.
Ich deute an [mm] B_1 [/mm] an, wie das geht:
Es ist [mm] L(B_1)= [/mm] $ [mm] \pmat{ 0 & -6 \\ 0 & -2 } $=...*B_1+...*B_2+...*B_3.
[/mm]
Die fehlenden Koeffizienten kannst Du ausrechnen. Gestapelt ergeben sie den gesuchten Koordinatenvektor und damit die erste Spalte der Matrix [mm] L_B.
[/mm]
LG Angela
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Mo 01.07.2013 | | Autor: | JeMo |
Wahnsinn!
Vielen Dank für deine Hilfe und vor allem die Darstellung der zwei möglichen Lösungsansätze, hat mir sehr geholfen. Habe es dann natürlich nach dem schnelleren und einfacheren Weg gelöst, hatte da echt ein Brett vorm Kopf oder vllt. sogar mehrere ;)
Grüße JeMo
|
|
|
|
