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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Mi 09.04.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Ist [mm] $n\in\mathbb{N}$, $n\geq [/mm] 3$ ungerade, so sind die folgenden Aussagen [mm] äquivalent:\\
[/mm]
(i) $n$ ist [mm] Primzahl\\
[/mm]
(ii) Es gibt genau ein Paar [mm] $(x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ [/mm] mit [mm] $n=x^2-y^2$
[/mm]
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Versuche mich gerade an der Implikation [mm] (i)$\Rightarrow$(ii) [/mm] und wäre dankbar für Eure Hinweise zu meinem Beweis. Zunächst gibt es zu einem ungeraden $n$ grundsätzlich Zahlen [mm] $x,y\in\mathbb{N}$ [/mm] für die [mm] $n=x^2-y^2$ [/mm] gilt. Man muss also nur noch die Eindeutigkeit zeigen. Angenommen die Behauptung (ii) ist falsch, dann gäbe es ein zweites Paar $(a,b)$ für das gilt [mm] $n=x^2-y^2=a^2-b^2$ [/mm] bzw. mit dem binomischen Lehrsatz [mm] aufgelöst:\\
[/mm]
$n=(x-y)(x+y)=(a-b)(a+b)$. Meine Überlegung wäre jetzt diese: Falls $x=a$ und $y=a$ sind, ist die Behauptung bewiesen. Sind aber [mm] $x\neq [/mm] a$ und [mm] $y\neq [/mm] b$, so wäre die natürliche Zahl $(a+b)$ ein Teiler von [mm] $(x^2-y^2)=n$, [/mm] was aber der Voraussetzung $n$ sei prim widerspricht. Es muss also $x=a$ und $y=b$ gelten, also die Eindeutigkeit von $x$ und $y$.
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Hallo grenife,
Da du keine Frage geschrieben hast, gehe ich davon aus, dass wir deinen Beweis überprüfen sollen. Meiner Meinung nach ist er korrekt, es geht auch folgendermaßen:
$n$ ist prim, also folgt aus $n = (x-y)(x+y)$ direkt $x-y = 1$ und $x+y = n$ und damit die Eindeutigkeit.
Gruß!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Do 10.04.2008 | | Autor: | grenife |
Vielen Dank für die Antwort!
Grüße
Gregor
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