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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:13 Sa 17.01.2004 | | Autor: | Nick |
Hallo zusammen,
habe eure Seite vor kurzem gefunden. Ist ja echt klasse diese Idee. Und da ich bei einer meiner Aufgabe nicht weiter weiß, frage ich euch mal.
Also die Aufgabe lautet: Es seien V und W K-Vektorräume der Dimension n bzw. m und f: V --> W eine lineare Abbildung. Man zeige: Es gibt Basen B von V und C von W derart, dass für
M B C (f)= [a i,j ] gilt:
a i,j = (1 für i=j [mm]\in [/mm]{1,...,r}
(0 sonst
wobei r gleiner gleich min(m,n) ist.
Also ich hoffe ihr könnt mir helfen
Nick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Sa 17.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nick,
willkommen im Matheraum! 
ich gebe dir mal einen Tipp.
Es sei [mm]r:=dim(Bild(f))[/mm]. Dann gilt:
[mm]dim(Kern(f))=n-r[/mm]. (Warum?)
Wähle eine Basis [mm](v_{r+1},\ldots,v_n)[/mm] von [mm]Kern(f)[/mm] und ergänze diese zu einer Basis [mm](v_1,\ldots,v_r,v_{r+1},v_n)[/mm] von [mm]V[/mm]. Zeige nun, dass die Familie [mm](f(v_1),\ldots,f(v_r))[/mm] linear unabhängig ist. Setze
[mm]w_i = f(v_i)[/mm] für [mm]i=1,\ldots,r[/mm]
und ergänze [mm](w_1,\ldots,w_r)[/mm] zu einer Basis [mm](w_1,\ldots,w_m)[/mm] von [mm]W[/mm].
Wie sieht dann [mm]f[/mm] bezüglich der Basen [mm](v_1,\ldots,v_n)[/mm] und [mm](w_1,\ldots,w_m)[/mm] aus?
Melde dich mal mit einem detailliert ausgeführten Beweisvorschlag, den wir dann überprüfen können. Oder mit weiteren Fragen...
Alles Gute
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Sa 17.01.2004 | | Autor: | Nick |
Hallo Stefan, danke für diesen Tipp. Aber ich habe da noch eine Frage dazu:
Warum ist r=dim(Bild(f))? Oder hast du das so fest gesetzt?
Aber wenn jetzt r=dim(Bild(f)) ist, dann gilt dim(Kern(f))=n-r wegen der Dimensionsformel für lineare Abbildungen.
Dann ist die Basis (v r+1 ,...,v n ) die Basis von Kern(f). Diese Basis kann man laut dem Basisergänzungssatz zu einer Basis von v ergänzen, die wie (v 1 ,v 2 ,...,v r ,v r+1 ,...v n ) aussieht. Die Basis (f(v 1 ), f(v 2 ),...,f(v r )) wäre doch dann eine Basis von Bild (f). Da doch dim(Bild(f)) ist, müsste doch f(v 1 ), f(v 2 ),...,f(v r ) linear abhängig.
Wenn jetzt w i =f(v 1 ) für i=1,...,r gilt, dann ist (w i ,...,w r ) eine Basis von Bild(f). Wie auch schon oben kann man auch diese Basis wegen dem Basisergänzungssatz zu einer Basis von W ergänzen, die (v 1 ,...,v m ) ist. Jedoch weiß ich nicht wie f dann aussehen sollte. Vielleicht kannst du mir ja noch einen kleinen Tipp geben und deinen Senf zu meinen Überlegungen geben 
Gruß Nick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Sa 17.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nick,
> Warum ist r=dim(Bild(f))? Oder hast du das so fest
> gesetzt?
Ja.
> Aber wenn jetzt r=dim(Bild(f)) ist, dann gilt
> dim(Kern(f))=n-r wegen der Dimensionsformel für lineare
> Abbildungen.
Richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann ist die Basis (v r+1 ,...,v n )
> die Basis von Kern(f).
Besser: Es sei ... eine Basis von Kern(f).
> Diese Basis kann man laut dem
> Basisergänzungssatz zu einer Basis von v ergänzen, die wie
> (v 1 ,v 2 ,...,v r ,v
> r+1 ,...v n ) aussieht.
> Die Basis
> (f(v 1 ), f(v 2 ),...,f(v r
> )) wäre doch dann eine Basis von Bild (f).
Wenn ihr das so hattet, dann reicht das so und du kannst den folgenden Absatz
> Da doch
> dim(Bild(f)) ist, müsste doch f(v 1 ), f(v
> 2 ),...,f(v r ) linear abhängig.
weglassen (der zudem falsch ist). Sie sind unabhängig, was man aber anders zeigen müsste.
> Wenn jetzt w i =f(v 1 ) für
> i=1,...,r gilt, dann ist (w i ,...,w r
> ) eine Basis von Bild(f). Wie auch schon oben kann
> man auch diese Basis wegen dem Basisergänzungssatz zu einer
> Basis von W ergänzen, die (v 1 ,...,v m
> ) ist.
Du meinst "w" statt "v".
> Jedoch weiß ich nicht wie f dann aussehen
> sollte. Vielleicht kannst du mir ja noch einen kleinen Tipp
> geben und deinen Senf zu meinen Überlegungen geben
Nun: Wie sieht denn die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung aus?
In den Spalten stehen die Koordinaten der Bilder der gewählten Basisvektoren von [mm]V[/mm] bezüglich der gewählten Basis von [mm]W[/mm].
Falls also:
[mm]f(v_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i[/mm]
gilt, dann ist
[mm]\left( \begin{array}{c} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{array} \right)[/mm]
die [mm]j[/mm]-te Spalte der Darstellungsmatrix.
Jetzt sollte es kein Problem mehr darstellen. Oder?
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 18.01.2004 | | Autor: | Nick |
Hallo Stefan,
>> Da doch
>> dim(Bild(f)) ist, müsste doch f(v 1 ), f(v
>> 2 ),...,f(v r ) linear abhängig.
>weglassen (der zudem falsch ist). Sie sind unabhängig, was man aber >anders zeigen müsste.
Ich meinte auch eigentlich unabhängig, denn wenn sie ja linear abhängig wären, würden sie ja uch keine Basis bilden.
Danke auch für den weiteren Tipp. Ich denke, dass dann die Darstellungsmatrix wie in der Aufgabenstellung dann aussieht bzw. aussehen muss. Jedoch weiß ich nicht so recht, wie ich dass begründen sollte. Im Moment habe ich echt ein Brett vor dem Kopf. Vielleicht könntest du mir ja dabei helfen.
Nick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 So 18.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nick,
klar, ich schreibe es dir auf. Aber du musst (für dich selbst) dringend die Theorie über die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung wiederholen. Ich habe dir ja im Prinzip die ganze Aufgabe vorgerechnet, und der Rest ist jetzt eigentlich eine Formsache, wenn man die Theorie verstanden hat. Es ist nicht böse gemeint, aber du wirst auch in Zukunft die Aufgaben nicht lösen können, wenn du dich mit der Theorie nicht besser vertraut machst.
Ich hatte ja geschrieben:
> Falls also:
>
> [mm]f(v_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i[/mm]
>
> gilt, dann ist
>
> [mm]\left( \begin{array}{c} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{array} \right)[/mm]
>
>
> die [mm]j[/mm]-te Spalte der Darstellungsmatrix
Nun gilt für [mm]i=1,\ldots,r[/mm]
[mm]f(v_i) = w_i = 0\cdot w_1 + \ldots + 0 \cdot w_{i-1} + 1 \cdot w_i + 0 \cdot w_{i+1} + \ldots + 0 \cdot w_n[/mm],
d.h. die [mm]i[/mm]-te Spalte der Darstellungmatricx hat für [mm]i=1,\ldots,r[/mm] die Form
[mm]a_i =\left( \begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right)[/mm],
wobei die [mm]1[/mm] in der [mm]i[/mm]-ten Position steht.
Für [mm]i=r+1,\ldots,n[/mm] gilt:
[mm]f(v_i) = 0 = 0\cdot w_1 + \ldots + 0 \cdot w_n[/mm],
d.h. die [mm]i[/mm]-te Spalte der Darstellungmatricx hat für [mm]i=r+1,\ldots,n[/mm] die Form
[mm]a_i =\left( \begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right)[/mm].
Daher hat die Darstellungsmatrix die gewünschte Gestalt.
Ist es denn jetzt klar?
Alles Gute
Stefan
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