Darstellungsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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*edit*
Ich habe die Frage nun auch hier gepostet: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=36832
Hallo,
ich weiss grad bei einer Aufgabe nicht weiter. Es geht darum eine Darstellungsmatrix zu einer linearen Abbildung zu berechnen. Die Abbildung lautet wie folgt:
Gegeben ist die Ebene E={(x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | 2x-y=0} im [mm] \IR^{3}
[/mm]
[mm] S:\IR^{3}->\IR^{3} [/mm] sei die Spiegelung am U:
S(v)=v-2w, wobei:
w das Lot von v nach U ist und v-w [mm] \in [/mm] U erfüllt.
Nun ist nach der dastellendn Matrix von S bezüglich der Standardbasis des [mm] \IR^{3} [/mm] gefragt.
Nun gut, das was ich bisher weiß:
Die Ebene ist die x-y-Ebene, w ist der Vektor [mm] \lambda* \vektor{2 \\ -1 \\ 0}. [/mm] Nun wurde uns ein Tip gegeben, wie man die Matrix berechnen kann uns zwar:
[mm] M_{BB}(S)=M_{BB}(id)-2*M_{BB}(w).
[/mm]
Meine Frage ist nun warum ist das so und wie berechnet man denn die Matrix [mm] M_{BB}(w)?
[/mm]
Wie immer bin ich für jeden Tip dankbar.
Gruß
MM
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Sa 14.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
schön dass du den Link noch ergänzt hast.
Also : die Darstellungsmatrix von S setzt sich doch einfach nur aus den Bildern der Standardbasisvektoren zusammen (als Spalten)
also (1,0,0) reinstecken und schaun was rauskommt, dann hast du deine erste Spalte.
Demnach muss $ [mm] M_{BB}(w) [/mm] $ die Matrix sein, die als Spalten immer w hat, wobei w in Standardbasisdarstellung gegeben sein muss.
[Wenn deine Wahl für w wirklich von einem Lambda abhängt muss man dies wohl bis zum Schluss mitschleppen]
hoffe es hilft dir
DaMenge
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Hallo DaMenge,
leider komm ich damit nicht weiter. Also Die Bilder der Basiselemente sind ja die Spalten von S, nur wo soll ich die Basiselemente einsetzen? Normalerweise hat man ja ne Abbildung z.B. f(x,y,z)=(x+y+z, 2x+3y-z, x-y-z) oder sowas. Aber hier lautet die Spiegelungsabbildungs ja komischerweise S(v)=v-2w. Was fang ich damit an? Wo soll ich da (1,0,0),(0,1,0) und (0,0,1) einsetzen?
Was meinst du mit "als Spalten immer w", die Matrix kann ja nicht drei gleiche Spalten haben. Ich hab keine Ahnung wie ich mir diesses [mm] M_{BB}(w) [/mm] vorstellen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Sa 14.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Aber hier lautet die Spiegelungsabbildungs ja
> komischerweise S(v)=v-2w. Was fang ich damit an? Wo soll
> ich da (1,0,0),(0,1,0) und (0,0,1) einsetzen?
du setzt sie als v ein, denn v ist doch aus dem R³ und w hast du schon bestimmt, d.h. $ [mm] S(\vektor{1\\0\\0})=\vektor{1\\0\\0}-2*\vektor{2\\-1\\0} [/mm] $
[ich gehe von Lambda=1 aus und dass w in standardbasisdarstellung gegeben ist]
> Was meinst du mit "als Spalten immer w", die Matrix kann ja
> nicht drei gleiche Spalten haben.
Doch, genau das meine ich, denn dann ergibt sich für die drei einzelnen Standardvektoren eben immer obige Gleichung - probiers mal aus.
viele Grüße
DaMenge
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Dann müsste S so aussehen?
[mm] \pmat{ -3 & -4 & -4\\ 2 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Wäre ja dann einfacher als gedacht. Kann man das irgendwie nachprüfen ob die Matrix auch die passende Darstellungsmatrix zu einer lin. Abbildung ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Sa 14.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
ja, die Matrix ist richtig, wenn du dein w richtig ausgerechnet hast (was ich natürlich nicht geprüft habe)
und überprüfen kann man es eben durch die Bilder der Basisvektoren, wenn sowohl in Matrixschreibweise als auch in Funktionsschreibweise für alle Basisvektoren die jeweils richtigen (und gleichen) Vektoren rauskommen, handelt es sich um die Darstellungsmatrix und jeder andere Vektor wird auch richtig dargestellt (wg. der Linearkombination aus den Basisvektoren).
Der Raum der linearen Abbildungen ist äquivalent mit dem Raum der Matrizen (jede Matrix stellt eine lineare Abbildung dar und umgekehrt).
Es wird hier bestimmt aber (morgen) Korrektur gelesen, also würden evtl. Fehler ja auffallen [nur zu deiner Beruhigung]
viele Grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber MM
ich habe den Eindruck, dass ihr euch da etwas verrennt habt.
Gemäss deiner Berschreibung sollte doch dein U gerade die Ebene E sein, halt einfach nicht geomettrisch gedeutet.
>
> Hallo,
>
> ich weiss grad bei einer Aufgabe nicht weiter. Es geht
> darum eine Darstellungsmatrix zu einer linearen Abbildung
> zu berechnen. Die Abbildung lautet wie folgt:
>
> Gegeben ist die Ebene [mm] $E=\{(x,y,z) \in \IR^{3} | 2x-y=0\}$ [/mm] im
> [mm] $\IR^{3}$
[/mm]
> [mm]S:\IR^{3}->\IR^{3}[/mm] sei die Spiegelung am U:
>
> S(v)=v-2w, wobei:
>
> w das Lot von v nach U ist und v-w [mm]\in[/mm] U erfüllt.
>
> Nun ist nach der dastellendn Matrix von S bezüglich der
> Standardbasis des [mm]\IR^{3}[/mm] gefragt.
>
> Nun gut, das was ich bisher weiß:
>
> Die Ebene ist die x-y-Ebene, w ist der Vektor [mm]\lambda* \vektor{2 \\ -1 \\ 0}.[/mm]
Ja, ein senkrechter Vektor auf deine Ebene (resp. U) ist zum Beispiel dieser:
[mm] $\vec{n}=\vektor{2 \\ -1 \\ 0}$
[/mm]
Da du doch für v einmal den Vektor [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0}$,
[/mm]
einmal den Vektor [mm] $\vektor{0 \\ 1 \\ 0}$ [/mm] und noch
einmal den Vektor [mm] $\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
nehmen musst (Siehe DaMenges Antworten), musst du für jeden dieser Vektoren das passende Lambda finden, dass eben [mm] $\vec{v}-\lambda*\vec{n}=\vec{v}-\vec{w}$
[/mm]
Ich zeigs mal für den ersten Basisvektor:
[mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0}-\lambda*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}=\vektor{1-2\lambda \\ \lambda \\ 0}$
[/mm]
Und das soll in der gegebenen Ebene liegen, es muss also gelten: 2x-y=0.
Dies auf unseren Vektor angewandt:
[mm] $2(1-2\lambda)-\lambda=0$
[/mm]
Das ergibt: [mm] $\lambda=\bruch{2}{5}$
[/mm]
Dein Vektor [mm] $\vec{w}$ [/mm] ist also dieser: [mm] $\bruch{2}{5}*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}$
[/mm]
Damit wird v-2w so berechnet:
[mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0}-2\lambda*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}-\bruch{4}{5}\vektor{2 \\ -1 \\ 0}=\vektor{-3/5 \\ 4/5 \\ 0}$
[/mm]
Und das ist dein erster Spaltenvektor.
Kannst du das jetzt mit den anderen beiden Basisvektoren auch noch nachvollziehen?
Mit lieben Grüssen
Paul
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Ja, das ist sogar sehr verständlich. Danke Paulus.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Do 19.05.2005 | | Autor: | jkingk |
>
> Ich zeigs mal für den ersten Basisvektor:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}-\lambda*\vektor{2 \\ -1 \\ 0}=\vektor{1-2\lambda \\ \lambda \\ 0}[/mm]
>
muss es nicht heissen:
[mm][mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}-2* \lambda\vektor{2 \\ -1 \\ 0}=...
[/mm]
Gruss Jens
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Fr 20.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jens!
> muss es nicht heissen:
>
> [mm][mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}-2* \lambda\vektor{2 \\ -1 \\ 0}=...[/mm]
Nein, es wir ja erst einmal [mm] $\lambda$ [/mm] so berechnet, dass $v-w [mm] \in [/mm] U$ gilt. Anschließend wird dann $w$ noch zweimal abgezogen um an der Ebene zu spiegeln. Schau dir den Beitrag von Paul noch einmal in Ruhe an, dann wird es dir klarwerden. 
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Fr 20.05.2005 | | Autor: | jkingk |
jo. stimmt, danke...
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Hallo,
soweit so gut. Nun habe ich die Matrix S. Als Zusatz soll ich eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] finden, bezüglich der S durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird.
Das ganze soll auf zwei Wegen geschehen, einmal geometrisch und einmal durch Berechnung der EIgenwerte und -vektoren der Matrix S.
Also geometrisch kann ich mir noch gar nichts drunter vorstellen.
Rechnerisch habe ich eine Vorstellung. Also ich soll eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] finden, d.h. ja schonmal, dass diese aus genau 3 Vektoren bestehen muss.
Bezüglich dieser soll ja S durch eine Diagonalmatrix dargestellt werden. Heisst das nun [mm] D=A^{-1}SA? [/mm] D.h. ich berechne einfach die Eigenwerte von S, das sind dann die Diagonalelemente von D und die dazugehörigen EV sind dann die Spalten der Basis?
Gruß
MM
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 So 15.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
also anscheinend musstest du dein Lambda dann wohl doch mitschleppen...
(ich bin von einem konstanten w ausgegangen)
Gut, dass jemand nochmal drüber geschaut hat.
zur neuen Aufgabe:
Die Spiegelung an einer (Hyper-)Ebene besitzt nur zwei verschiedene Eigenwerte - geometrisch völlig klar : was passiert mit den Vektoren in der Ebene bei einer Spiegelung?
Was passiert mit einem senkrecht auf der Ebene stehendem Vektor?
Damit kannst du dir auch deine Basis basteln.
Rechnerisch musst du halt über das charackteristische Polynom deiner Matrix gehen, deine EWs ausrechnen und dann eine entspr. Menge aus den Eigenräumen wählen...
Das eintige Problem, was dabei auftauchen könnte : die Vektoren der Ebene haben zwar eine Basis, aber auch alle den selben Eigenwert, also musst du zwei linear unabhängige Vektoren zu diesem Eigenraum (rechnerisch) bestimmen. Ich kann deiner Frage aber nicht entnehmen, ob du damit Probleme hast - ich will dir ja nicht vorgreifen.
viele Grüße
DaMenge
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Hallo,
also was du mit der geometrischen Bedeutung meinst, versteh ich. Die einen Vektoren werden auf sich selbst abgebildet, haben also EW 1 und die anderen werden auf ihren Gegenvektor abgebildet, also haben EW -1.
Was ich nur nicht verstehe ist, was das mit der Aufgabenstellung zu tun hat. Also die Formulierung verstehe ich nicht. Was soll das "eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] finden, bezüglich der S durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird."?
Ist damit nun gemeint D(Diagonalmatrix) = [mm] A^{-1} [/mm] * S * A ? (wobei S meine berechnete Matrix ist). Wenn ja, was habe ich nun mit den beiden EW 1 und -1 anzufangen? Wie berechne ist aus denen nun die Basis?
Zum zweiten Weg: Wenn ich von der Matrix S die EW über das char. Polynom ausrechne, erhalte ich nur den EW 1. Du sagstest ja bereits das dies wohl ein Problem darstellen kann. Undzwar kann ich daraus nun einen Spaltenvektor der Matrix A bestimmen. Aber es müssen doch 3 sein? Wie berechne ich die anderen?
Des Weiteren kann doch da was nicht stimmen, wenn bei der geometrischen Überlegung es 2 EW gibt und beim Ausrechnen nur einen.
Hilfe.
Gruß
MM
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Mo 16.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Hallo,
>
> also was du mit der geometrischen Bedeutung meinst, versteh
> ich. Die einen Vektoren werden auf sich selbst abgebildet,
> haben also EW 1 und die anderen werden auf ihren
> Gegenvektor abgebildet, also haben EW -1.
Bisher stimmt das noch nicht, denn wenn du in Standardbasis einfach eine Minus 1 davor setzt, hast du den Vektor nur am Nullpunkt gespiegelt.
Aber du meinst das Richtige :
> Was ich nur nicht verstehe ist, was das mit der
> Aufgabenstellung zu tun hat. Also die Formulierung verstehe
> ich nicht. Was soll das "eine Basis des [mm]\IR^3[/mm] finden,
> bezüglich der S durch eine Diagonalmatrix dargestellt
> wird."?
Hier ist verlangt, dass man eben nicht rumrechnet, sondern sagt, welche Vektoren man als Basis nimmt. Das wäre mit deiner Überlegung vorher einfach: Wähle [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] linear unabhängig in der gegebenen Ebene (sie sind Basis hierfür) und als dritten Vektor w, der senkrecht auf der Ebene steht. Wie sieht dann die Matrix aus? [Bilder der Basis IN DIESER Basisdarstellung als Spalten]
> Zum zweiten Weg: Wenn ich von der Matrix S die EW über das
> char. Polynom ausrechne, erhalte ich nur den EW 1.
also hier muss eindeutig als CharPoly sowas wie $ [mm] \pm (x-1)^2*(x+1) [/mm] $ rauskommen, du solltest also nochmal die Matrix überprüfen und zur Not hier deine Rechnung angeben.
> Du
> sagstest ja bereits das dies wohl ein Problem darstellen
> kann. Undzwar kann ich daraus nun einen Spaltenvektor der
> Matrix A bestimmen. Aber es müssen doch 3 sein? Wie
> berechne ich die anderen?
Du berechnest für jeden Eigenwert Lambda den Kern von $ [mm] (A-\lambda \cdot{} [/mm] E) $ , also die Lösung von $ [mm] (A-\lambda \cdot{} E)\cdot{} \vec [/mm] x =0 $
bei Lambda=1 solltest du dann einen zweidimensionalen Kern rausbekommen. (Wie man Kerne berechnet steht hier bestimmt schon oft im Forum)
viele Grüße
DaMenge
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Hallo,
ich habe meinen Fehler gefunden, habe am Anfang die Matrix mit 5 multipliziert, damit ich gerade Zahlen bekomme und habe am Ende vergessen die EW durch 5 zu teilen.
Also ich habe nun bei beiden Wegen als Basis [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] raus.
Der Eigenraum zum EW 1 hatte wie du sagtest Dim. 2. Die beiden Vektoren, die die Ebene aufspannen sind ja gerade die ersten beiden, da die z-Koord 0 ist.
Soweit so gut. Ich habe nun "rumgerechnet" und auch eine Basis nun erhalten. Nur bleibt immer noch meine Frage, die ich stellte, ob die Matrix, die ich dadurch erhalte wenn ich diese drei Vektoren als Spalten meiner Transformationsmatrix nehme, was damit zu tun hat? Also hat es was mit der Formel D=A^-1SA^ zu tun? Ist damit gemeint, dass ich "S durch diese Basis als eine Diagonalmatrix darstellen kann?
Vielen Dank für die Mühen.
Gruß
MM
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Di 17.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> ich habe meinen Fehler gefunden, habe am Anfang die Matrix
> mit 5 multipliziert, damit ich gerade Zahlen bekomme und
> habe am Ende vergessen die EW durch 5 zu teilen.
> Also ich habe nun bei beiden Wegen als Basis [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm] raus.
Also, das stimmt nicht so ganz. Zwar liegt [mm] $\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$ [/mm] in der Ebene, aber die beiden anderen nicht. Zudem steht keiner der Vektoren senkrecht auf der Ebene. Du hast also nur eines der drei Basiselmente gefunden.
Mögliche andere sind übrigens: [mm] $\pmat{1 \\ 2 \\ 0}$ [/mm] (liegt in der Ebene, ist also ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$) und [mm] $\pmat{2 \\ -1 \\ 0}$ [/mm] (steht senkrecht auf der Ebene und ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $-1$).
> Der Eigenraum zum EW 1 hatte wie du sagtest Dim. 2. Die
> beiden Vektoren, die die Ebene aufspannen sind ja gerade
> die ersten beiden, da die z-Koord 0 ist.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Weder spannen die beiden ersten Vektoren die Ebene auf noch ist die $z$-Koordinate des zweiten gleich $0$ noch ist dies ein sinnvolles Kriterium.
> Soweit so gut. Ich habe nun "rumgerechnet" und auch eine
> Basis nun erhalten. Nur bleibt immer noch meine Frage, die
> ich stellte, ob die Matrix, die ich dadurch erhalte wenn
> ich diese drei Vektoren als Spalten meiner
> Transformationsmatrix nehme, was damit zu tun hat? Also hat
> es was mit der Formel D=A^-1SA^ zu tun? Ist damit gemeint,
> dass ich "S durch diese Basis als eine Diagonalmatrix
> darstellen kann?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
In der Matrix $A$ stehen die Koordinaten der Basis, bezüglich derer $S$ Diagonalgestalt besitzt.
Viele Grüße
Stefan
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Okay, hab nun alles so raus wie du ;) Waren wohl irgendwie ein paar Rechenfehler drin.
Danke nochmal an alle.
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