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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mi 19.12.2007 | | Autor: | quest |
| Aufgabe | Es ist B' := [mm] \{ v_1 = e_1 + e_2 + 2e_3, v_2 = 4e_1 + e_2 + e_3, v_3 = e_1 + e_2 + e_3 \} [/mm] = [mm] \{ \vektor{1 \\ 1 \\ 2}, \vektor{4 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \} [/mm] ebenso, wie die kanonische Basis B := [mm] \{ e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0), e_3 = (0,0,1) \} [/mm] eine Basis von [mm] \IR^3 [/mm] (ohne Beweis).
a) Bestimmen Sie die Matritzen [mm] _B(id_V)_{B'} [/mm] , [mm] _{B'}(id_V)_B, [/mm] wobei [mm] id_V [/mm] die identische Abbildung auf V = [mm] \IR^3 [/mm] sei.
b) Sei [mm] _BA_B [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & -1 }, [/mm] berechnen Sie [mm] _BA_{B'} [/mm] , [mm] _{B'}A_B [/mm] und [mm] _{B'}A_{B'}.
[/mm]
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Hallo Liebe Vorhelfer.
Ich habe hier irgendwie das Konzept noch nicht vollständig kapiert. Im Endeffekt ist das ja nur eine Rechenaufgabe, aber mir ist eben die Vorgehensweise nicht ganz klar.
Grundsätzlich hab ich eine Abbildung von V -> V, wobei V hier [mm] \IR^3 [/mm] ist. Der [mm] \IR^3 [/mm] hat viele Basen, deswegen stellt sich immer die Frage, über welche Basis ich die Vektoren darstelle, die ich in die Abbildung füttere und über welche ich das Bild der Vektoren darstellen soll.
Ich denke das ist hier der Grundgedanke, den hab ich auch so einigermaßen verstanden. Wohl weil man damit vielleicht ansonsten "unschöne" Dinge, durch eine geeignete Basis "schön" darstellen kann.
Ich habe bei a) die Identische Abbildung [mm] id_V [/mm] : V [mm] \to [/mm] V, wobei [mm] id_V(v) [/mm] = v ist.
Wenn ich [mm] _Bid_V_{B'} [/mm] ausrechnen soll, dann fütter ich die Identität mit Vektoren, die über die Basis B' dargestellt werden, und ich soll das Bild durch die Basis B darstellen.
Das heißt ich hab ein v aus V, das über die Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] dargestellt wird.
V [mm] \ni [/mm] v = [mm] k_1 \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] k_2 \vektor{4 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] k_3 \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Dieser soll jetzt "auf sich selbst" abgebildet werden, das Bild aber über die kanonische Basis dargestellt werden.
D.h. ich muss [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \IR [/mm] so finden, dass:
[mm] k_1 \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] k_2 \vektor{4 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] k_3 \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \lambda_1 \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_2 \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_3 \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Stimmt dieser Ansatz so?
Viele Grüße und dank 
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>[mm]_{B'}A_B[/mm]
Hallo,
kannst Du die Schreibweise erklären?
Ist
1. B' die Basis bzgl. derer man die Vektoren hineinsteckt, und B die, bzgl derer die Bilder geliefert werden,
oder ist
2. B die Basis bzgl. derer man die Vektoren hineinsteckt, und B' die, bzgl derer die Bilder geliefert werden?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Do 20.12.2007 | | Autor: | quest |
Hallo Angela,
so ganz 100%ig bin ich mir nicht sicher, aber da eh immer nach dem "symmetrischen" gefragt wird, ist das ja eigentlich egal.
Ich interpretiere das, so: [mm] _{B'}A_B, [/mm] dabei sind die Vektoren die gefüttert werden über B dargestellt, und was herauskommt soll über B' dargestellt werden.
Die formale Definition der Schreibweise ist, V nd W K VR mit Basen B = [mm] [v_1,...,v_n] [/mm] und B' = [mm] [w_1,...,w_m].
[/mm]
Ist A [mm] \in Hom_K(V,W), [/mm] so wird durch:
[mm] Av_j [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{m}{a_{ij}w_{i}} [/mm] , j=1,...,n mit eindeutig bestimmten [mm] a_{ij} \in [/mm] K ene Matrix definiert.
Schreibe: [mm] (a_{ij}) [/mm] = [mm] _{B'}A_B
[/mm]
Ich hoff mal, ich hab die Definition richtig interpretiert.
Grüße und dank!
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> Hallo Angela,
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> so ganz 100%ig bin ich mir nicht sicher, aber da eh immer
> nach dem "symmetrischen" gefragt wird, ist das ja
> eigentlich egal.
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> Ich interpretiere das, so: [mm]_{B'}A_B,[/mm] dabei sind die
> Vektoren die gefüttert werden über B dargestellt, und was
> herauskommt soll über B' dargestellt werden.
>
> Die formale Definition der Schreibweise ist, V nd W K VR
> mit Basen B = [mm][v_1,...,v_n][/mm] und B' = [mm][w_1,...,w_m].[/mm]
> Ist A [mm]\in Hom_K(V,W),[/mm] so wird durch:
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> [mm]Av_j[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{m}{a_{ij}w_{i}}[/mm] , j=1,...,n mit
> eindeutig bestimmten [mm]a_{ij} \in[/mm] K ene Matrix definiert.
> Schreibe: [mm](a_{ij})[/mm] = [mm]_{B'}A_B[/mm]
>
> Ich hoff mal, ich hab die Definition richtig
> interpretiert.
Hallo,
ja, hast Du.
Und das, was Du im Eingangspost schreibst, paßt auch haargenau hierzu.
Ich konnte alles sehr gut verstehen.
Du kannst so weitermachen.
Wenn ich Dich richtig verstanden habe, ist hiermit Deine Frage beantwortet. Es ging Dir noch darum, ob Deine Überlegungen richtig sind?
Ansonsten frag nochmal nach.
Gruß v. Angela
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> Grüße und dank!
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