Darstellungsmatrix bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:33 Mo 30.11.2009 | | Autor: | JanW1989 |
| Aufgabe | Sei A = [mm] {\vektor{1 \\ 1}, \vektor{2 \\ -4}} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^{2}, [/mm] B = [mm] {\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{2 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 4}} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] und L: [mm] \IR^{2} \to \IR^{3} [/mm] eine lineare Abbildung. Dann bezeichne M(B, L, A) die Darstellungsmatrix bzgl. der Basen A des Definitionsraums und B des Zielraums. Berechnen Sie die für die eindeutig bestimmte lineare Abbildung M(B, L, A).
Des Weiteren gegeben:
[mm] L(\vektor{1 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] L(\vektor{-2 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] |
Zuerst habe ich mir überlegt dass ich die erste Spalte meiner Darstellungsmatrix über eine Linearkombination der 3 Basisvektoren von B erhalte, deren Ergebnis dem Bildvektor des ersten Basisvektors aus A entspricht:
[mm] \lambda_{11}\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda_{21}\vektor{2 \\ 2 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_{31}\vektor{0 \\ 1 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Damit erhalte ich für die drei Koeffizienten:
[mm] \lambda_{11} [/mm] = 1
[mm] \lambda_{21} [/mm] = 0
[mm] \lambda_{31} [/mm] = 0
Nun habe ich mir gedacht, dass ich außerdem noch folgende Gleichung aufstellen kann:
[mm] \pmat{ 1 & \lambda_{12} \\ 0 & \lambda_{22} \\ 0 & \lambda_{32}}*\vektor{-2 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
So erhalte ich zusätzlich:
[mm] \lambda_{12} [/mm] = 5
[mm] \lambda_{22} [/mm] = 2
[mm] \lambda_{32} [/mm] = 1
Also: M(B, L, A) = [mm] \pmat{ 1 & 5 \\ 0 & 2 \\ 0 & 1}
[/mm]
Leider stimmt dieses Ergebnis nicht mit der angebenen Lösung M = [mm] \pmat{ 1 & -4 \\ 0 & -2 \\ 0 & 0} [/mm] überein.
Ich habe hier im Forum ein wenig gesucht und bin auf folgenden Beitrag gestoßen, da ich mir schon dachte, dass es etwas mit den Basen und deren Transformation zu tun haben muss.
/read?i=604059
Leider komme ich nicht weiter, wie ich das auf meine Aufgabe anwenden kann und ich verstehe auch nicht, dass wenn ich zB den Vektor [mm] \vektor{-2 \\ 1} [/mm] mit der Matrix aus der Lösung abbilde etwas ganz anderes rauskommt als [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1}.
[/mm]
Es wäre also schön, wenn ihr mir sagen könntet wo bei meinem Ansatz die Fehler versteckt sind und wie ich die Basen miteinbeziehen muss.
Vielen Dank!
Gruß,
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Mo 30.11.2009 | | Autor: | JanW1989 |
Ich bin jetzt doch nach erneutem Studieren der Theorie selbst auf den Lösungsweg gekommen.
Wie ich an den ersten Spaltenvektor der Darstellungsmatrix gekommen bin war korrekt.
Den zweiten Spaltenvektor erhält man indem man zuerst den Vektor [mm] \vektor{-2 \\ 1} [/mm] als Linearkombination der Basis A darstellt. Die Koeffizienten habe ich dann als Vektor aufgefasst und mit meiner Darstellungsmatrix multipliziert, die jedoch bis jetzt nur eine "fertige" Spalte hat. Der Vektor [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] wird dann wieder als Linearkombination der Basisvektoren aus B dargestellt, wobei die Koeffizienten den Einträgen aus dem Vektor entsprechen, den ich zuvor erhalten habe. Wenn ich dann dieses Gleichungssystem löse, komme ich auf die noch fehlenden Einträge in meiner Darstellungsmatrix und diesmal stimmt auch das Ergebnis.
Trotzdem bedanke ich mich bei Allen, die sich mit dem Thema beschäftigt haben.
Gruß,
Jan
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