Darstellungsmatrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei [mm]P_2[/mm] der R-Vektorraum der reellen Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 2 mit [mm]P_2=\{a_2x^2+a_1x+a_0\left|a_i\in\IR,i=0,1,2\}[/mm] und [mm]C=\begin{pmatrix}1&0&2\\2&3&1\\-1&7&-9
\end{pmatrix}[/mm]. Sei[mm]\phi:P_2\rightarrow P_2[/mm] gegeben durch [mm]f\rightarrow f^'[/mm]. Bestimmen Sie Basen A,B von [mm]P_2[/mm], so dass [mm]C=M^A_B(\phi)[/mm] gilt. |
Hallo zusammen,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Also laut Definition sind die Spaltenvektoren der Matrix gleich der Bildvektoren der Elemente von Basis A, dargestellt als Linearkombination der Elemente der Basis B. Sei [mm]A=(a_1,a_2,a_3),B=(b_1,b_2,b_3)[/mm]. Dann habe ich:
[mm]\phi(a_1)=1\cdot b_1+2\cdot b_2+(-1)\cdot b_3[/mm]
[mm]\phi(a_2)=0\cdot b_1+3\cdot b_2+7\cdot b_3[/mm]
[mm]\phi(a_3)=2\cdot b_1+1\cdot b_2+(-9)\cdot b_3[/mm]
Ich dachte, ich müsste jetzt entweder A oder B fest setzen, das habe ich jeweils mit [mm]E=(1,x,x^2)[/mm] versucht. Wenn ich A=E setze und dann mit einer Koeffizientenmatrix die Elemente von B ermitteln will, dann habe ich irgendwann eine Zeile mit 0+0+0=2x, kann also nicht stimmen.
Wenn ich B=E setze, dann komme ich für die Elemente von A nach Integration auf Polynome dritten Grades, die kein Erzeugendensystem von [mm]P_2[/mm] sind, kann also auch nicht stimmen. Ich habe darüber nachgedacht, ob man vielleicht irgendwie Transformationsmatrizen verwenden könnte, komme aber damit auch auf keinen grünen Zweig.
Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen, würde mich sehr freuen!
Liebe Grüße
Hanna
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
> Sei [mm]P_2[/mm] der R-Vektorraum der reellen Polynome vom Grad [mm]\le[/mm]
> 2 mit [mm]P_2=\{a_2x^2+a_1x+a_0\left|a_i\in\IR,i=0,1,2\}[/mm] und
> [mm]C=\begin{pmatrix}1&0&2\\2&3&1\\-1&7&-9
\end{pmatrix}[/mm]. Sei[mm]\phi:P_2\rightarrow P_2[/mm] gegeben durch
> [mm]f\rightarrow f^'[/mm]. Bestimmen Sie Basen A,B von [mm]P_2[/mm], so dass
> [mm]C=M^A_B(\phi)[/mm] gilt.
> Hallo zusammen,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Also laut
> Definition sind die Spaltenvektoren der Matrix gleich der
> Bildvektoren der Elemente von Basis A, dargestellt als
> Linearkombination der Elemente der Basis B. Sei
> [mm]A=(a_1,a_2,a_3),B=(b_1,b_2,b_3)[/mm]. Dann habe ich:
>
> [mm]\phi(a_1)=1\cdot b_1+2\cdot b_2+(-1)\cdot b_3[/mm]
>
> [mm]\phi(a_2)=0\cdot b_1+3\cdot b_2+7\cdot b_3[/mm]
>
> [mm]\phi(a_3)=2\cdot b_1+1\cdot b_2+(-9)\cdot b_3[/mm]
>
> Ich dachte, ich müsste jetzt entweder A oder B fest
> setzen, das habe ich jeweils mit [mm]E=(1,x,x^2)[/mm] versucht.
Das wird wahrscheinlich nicht zum Ziel führen.
Habt ihr schonmal ![[]](/images/popup.gif) Elementarmatrizen behandelt?
Selbst wenn nicht, das Thema ist nicht besonders schwer: Man kann Zeilen- und Spaltenumformungen einer Matrix als Multiplikation dieser Matrix mit sog. Elementarmatrizen von links bzw. rechts interpretieren.
Bei dir ist die Darstellungsmatrix von [mm] \phi [/mm] bzgl. der Basis [mm] (1,x,x^{2}):
[/mm]
[mm] $D:=\pmat{0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0}$
[/mm]
Sicher kannst du die gegebene Matrix $C = [mm] \begin{pmatrix}1&0&2\\2&3&1\\-1&7&-9
\end{pmatrix}$ [/mm] durch Zeilen- und Spaltenumformungen auf die Gestalt von D bringen.
Interpretiert man nun die gemachten Umformungen als Multiplikation mit Elementarmatrizen erhält man:
$C = [mm] \begin{pmatrix}1&0&2\\2&3&1\\-1&7&-9 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] X*\pmat{0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0}*Y [/mm] = X*D*Y$.
X und Y sind dann gerade die Basiswechselmatrizen von der gesuchten Basis A zu [mm] (1,x,x^2) [/mm] bzw. von der gesuchten Basis B zu [mm] (1,x,x^2). [/mm] Daraus kannst du dann die Basen ablesen.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo!
ja, haben wir schon gemacht...
> Bei dir ist die Darstellungsmatrix von [mm]\phi[/mm] bzgl. der Basis
> [mm](1,x,x^{2}):[/mm]
>
> [mm]D:=\pmat{0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Sicher kannst du die gegebene Matrix $C =
> [mm]\begin{pmatrix}1&0&2\\2&3&1\\-1&7&-9
\end{pmatrix}$[/mm] durch Zeilen- und Spaltenumformungen auf
> die Gestalt von D bringen.
>
> Interpretiert man nun die gemachten Umformungen als
> Multiplikation mit Elementarmatrizen erhält man:
>
> [mm]C = \begin{pmatrix}1&0&2\\2&3&1\\-1&7&-9 \end{pmatrix} = X*\pmat{0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0}*Y = X*D*Y[/mm].
Habe für [mm]C = \begin{pmatrix}1&0&2\\2&3&1\\-1&7&-9 \end{pmatrix} =\pmat{0 & 1 & 0\\ 3 & 2 & 0\\ 7 & -1 & 1} *\pmat{0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0}*\pmat{1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\\bruch{1}{2} & 0 & 1} = X*D*Y[/mm]
> X und Y sind dann gerade die Basiswechselmatrizen von der
> gesuchten Basis A zu [mm](1,x,x^2)[/mm] bzw. von der gesuchten Basis
> B zu [mm](1,x,x^2).[/mm] Daraus kannst du dann die Basen ablesen.
Wenn ich dann X und Y als Basiswechselmatrizen betrachte, dann bekomme ich [mm]A=(1+\bruch{1}{2}x^2,x,-x+x^2)[/mm] und [mm]B=(-\bruch{2}{3}+x+\bruch{17}{3}x^2,\bruch{1}{3}-\bruch{7}{3}x^2,x^2)[/mm] und das paßt dann auch, wenn man es nachrechnet.
Vielen Dank für die Hilfe,
LG Hanna
|
|
|
| |
|
Hallo Hannah,
> Wenn ich dann X und Y als Basiswechselmatrizen betrachte,
> dann bekomme ich [mm]A=(1+\bruch{1}{2}x^2,x,-x+x^2)[/mm] und
> [mm]B=(-\bruch{2}{3}+x+\bruch{17}{3}x^2,\bruch{1}{3}-\bruch{7}{3}x^2,x^2)[/mm]
> und das paßt dann auch, wenn man es nachrechnet.
Schön!
Ich finde es auch sehr gut, dass du deine Ergebnisse hier gepostet hast, das wird anderen Nutzern, die eine ähnliche Frage haben, sehr helfen!
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
|
