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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Sa 18.04.2009 | | Autor: | matzexn |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich muss ein Fachreferat über das "Newtonverfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen" halten und würde gerne wissen: Wie man den Startpunkt x0 der Iteration wählen muss?
Wäre super, wenn mir geholfen werden könnte!
Danke
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> Ich muss ein Fachreferat über das "Newtonverfahren zur
> näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen" halten und
> würde gerne wissen: Wie man den Startpunkt x0 der Iteration
> wählen muss?
hallo matzexn,
Es gibt kein eindeutiges "Rezept", wie man die Start-
stelle [mm] x_0 [/mm] wählen muss. Da bestehen meistens
grosse Freiheiten. Es lohnt sich jedenfalls, sich zuerst
einen groben Überblick über den Verlauf des Funktions-
graphen zu verschaffen:
a) theoretische Vorkenntnisse, z.B. : eine kubische
Funktion [mm] f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d [/mm] hat mindestens eine,
aber höchstens drei reelle Nullstellen.
b) mittels einer (relativ groben) Wertetabelle oder einer
kleinen Kurvendiskussion kann man sich eine Skizze
des Graphen erstellen. Daran kann man erkennen,
wo ungefähr die gesuchten Nullstellen liegen könnten.
Dann wählt man für jede der gesuchten Nullstellen
eine Startstelle in deren Nähe.
Die Methode "Blindflug" (Wahl irgendeiner beliebigen
Startstelle) ist eigentlich nur dann zu empfehlen, wenn
man im Voraus schon weiss, dass die Funktion durchwegs
ableitbar und monoton ist und auch sicher eine Nullstelle
besitzt.
Ich möchte dir empfehlen, dir das Funktionieren des
Verfahrens graphisch klar zu machen, indem du eine
Funktion nimmst, z.B. [mm] f(x)=x^3-4x^2+x+7,
[/mm]
mittels Kurvendiskussion ihren Graph zeichnest und
dann graphisch (mittels Geodreieck) untersuchst,
wo du landest, wenn du ausgehend von einer
Startstelle (z.B. 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2) nacheinander
die entsprechenden Tangenten einzeichnest und mit
der x-Achse schneidest.
Dazu sollte auch beim Googeln unter "Applet Newton-
verfahren" irgendwas Nützliches zu finden sein !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 So 19.04.2009 | | Autor: | matzexn |
Danke für deine rasche Antwort
Eine Frage hätte ich da noch: Wie darf ich den Startpunkt x0 nicht wählen?
Danke
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> Danke für deine rasche Antwort
> Eine Frage hätte ich da noch: Wie darf ich den Startpunkt
> x0 nicht wählen?
Aha, gut, auch ein wichtiger Punkt.
Besonders ungeschickt wäre es, den Startpunkt auf
einen Extrempunkt von f zu legen - denn was dann
passiert, kannst du dir leicht klar machen, grafisch
sowie rechnerisch !
Interessant wären allenfalls auch noch solche
Fragen wie: "Zu welcher Nullstelle einer Funktion
mit mehreren Nullstellen konvergiert das Verfahren
in Abhängigkeit von der Wahl der Startstelle?"
Eine kubische Funktion habe z.B. drei reelle Null-
stellen r, g und b. Nun könnte man theoretisch
jede beliebige Zahl [mm] x_0\in \IR [/mm] als Startstelle für einen
Newton-Lauf benützen und ermitteln, zu welcher
der drei Nullstellen das Verfahren konvergiert oder
ob es divergiert. Konvergiert es gegen r bzw. g bzw. b,
färbe man die Stelle [mm] x_0 [/mm] rot bzw. grün bzw. blau.
Divergiert es, so bleibt [mm] x_0 [/mm] schwarz. So erhält man
eine interessante Färbung der x-Achse, die man
auf ein Band mit einer gewissen Breite ausdehnen
kann. Was man dann vor sich hat, sieht ein bisschen
ähnlich aus wie ein ![[]](/images/popup.gif) Spektrum, und damit wären wir
bei einem ganz anderen Forschungsthema angelangt,
in welchem ebenfalls Newton Pionierarbeit leistete ...
LG Al-Chw.
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![[]](http://www.tgs-chemie.de/spektrum.jpg){kind=small}
Spektrum