De-Morgan Regeln < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 So 16.10.2011 | | Autor: | Mette84 |
| Aufgabe | | Seien A, B, C [mm] \subset [/mm] M Mengen. Zeige: (A [mm] \cap B)^{c} [/mm] = [mm] A^{c} \cup B^{c}, [/mm] wobei das Komplement bezüuglich M gebildet wird. |
Ich habe zwar die Regel verstanden, benötige aber einen kleinen Anstoß, wie ich das hier genau zeigen kann...habe gerade erst mit dem Mathestudium begonnen und irgendwie verstehe ich nicht, was der Dozent hier gerne sehen möchte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Stelle für beide Seiten Wahrheitstabellen auf und wenn diese übereinstimmen bist du fertig.
alternativ
i) Annahme: [mm] $(A\cap B)^{c} \not \subseteq A^{c}\cup B^{c} [/mm] $
Anfang: [mm] $\exists [/mm] x$ so dass $x [mm] \in (A\cap B)^{c}, [/mm] x [mm] \notin (A^{c}\cup B^{c})$…
[/mm]
ii) Annahme: [mm] $A^{c}\cup B^{c} \not \subseteq (A\cap B)^{c}$
[/mm]
Anfang: [mm] $\exists [/mm] x$ so dass $x [mm] \in (A^{c}\cup B^{c}), x\notin (A\cap B)^{c}$...
[/mm]
und führe diese beiden Annahmen zum Widerspruch.
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 So 16.10.2011 | | Autor: | Mette84 |
Okay, ich habe halt nur das Problem, dass ich Mathe auf Lehramt studiere. Ich habe bisher noch keinen Plan, wie ich weitermachen muss. Habe mir die Sachen zu den Regeln durchgelesen und verstehe sie soweit auch, aber wie so ein Beweis vonstatten geht...keinen Schimmer. Die Übung dazu findet leider auch erst nach der Abgabe der Übung statt, so dass ich keine Chance habe, die wissenschaftlichen Mitarbeiter zu fragen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 So 16.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
ich mach es dir vor:
Behauptung: [mm] $(A\cap B)^{c} [/mm] = [mm] (A^{c}\cup B^{c})$
[/mm]
Beweis:
(1): Sei $x [mm] \in (A\cap B)^{c}$. [/mm] Damit ist [mm] $x\notin (A\cap [/mm] B)$ und es ist [mm] $x\notin [/mm] A$ oder [mm] $x\notin [/mm] B$. Also ist [mm] $x\in A^{c}$ [/mm] oder [mm] $x\in B^{c}$. [/mm] Das heisst [mm] $x\in A^{c}\cup B^{c}$. [/mm] Es folgt also [mm] $(A\cap B)^{c} \subseteq (A^{c}\cup B^{c})$.
[/mm]
(2): Sei [mm] $x\in (A^{c}\cup B^{c})$. [/mm] Dann ist [mm] $x\in A^{c}$ [/mm] oder [mm] $x\in B^{c}$. [/mm] Also ist [mm] $x\notin [/mm] A$ oder [mm] $x\notin [/mm] B$. Das heisst [mm] $x\notin (A\cap [/mm] B)$ aber [mm] $x\in (A\cap B)^{c}$. [/mm] Es folgt also [mm] $(A\cap B)^{c} \subseteq (A^{c}\cup B^{c})$.
[/mm]
Mit (1) und (2) folgt die Behauptung.
Gruss
kushkush
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