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De l'Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:20 Sa 01.02.2014
Autor: gotoxy86

Aufgabe
Berechnen Sie mit den Regeln von de l’Hospital den folgenden Grenzwert:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left[\arctan\left(x\right)-\br{\pi}{2}\right]\ln\left(x\right) [/mm]


Die Lösung:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)g(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}\br{f(x)}{g(x)^{-1}}=\limes_{x\rightarrow\infty}\br{-x}{1+x^2}\ln^2(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}\br{-x^2}{1+x^2}\br{\ln^2(x)}{x}=0 [/mm]

Ich würde gerne wissen, was [mm] g(x)^{-1} [/mm] bedeutet (Kehrwert oder Umkehrfunktion?)

Und dann möchte ich gerne wissen, wie der Prof dann weiterrechnete.

        
Bezug
De l'Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:42 Sa 01.02.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

> Berechnen Sie mit den Regeln von de l’Hospital den
> folgenden Grenzwert:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left[\arctan\left(x\right)-\br{\pi}{2}\right]\ln\left(x\right)[/mm]
>  
> Die Lösung:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)g(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}\br{f(x)}{g(x)^{-1}}=\limes_{x\rightarrow\infty}\br{-x}{1+x^2}\ln^2(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}\br{-x^2}{1+x^2}\br{\ln^2(x)}{x}=0[/mm]
>  
> Ich würde gerne wissen, was [mm]g(x)^{-1}[/mm] bedeutet (Kehrwert
> oder Umkehrfunktion?)

Damit ist der Kehrwert gemeint,

er setzt: [mm] f(x)=\arctan\left(x\right)-\br{\pi}{2} [/mm] und [mm] g(x)=\ln(x) [/mm]

Daher [mm] (f*g)(x)=(f(g^{-1})^{-1})(x)=\frac{f(x)}{(g(x))^{-1}} [/mm]


>  
> Und dann möchte ich gerne wissen, wie der Prof dann
> weiterrechnete.

Ableitungen berechnen:

[mm] f'(x)=\frac{1}{1+x^2} [/mm] und [mm] \left(\frac{1}{g(x)}\right)'=-\frac{1}{x\ln^2x} [/mm]

Damit:

[mm] \frac{f'}{1/g'}=\frac{1}{1+x^2}*\left(-\frac{x\ln^2x}{1}\right) [/mm]

Jetzt erweitern mit x:

[mm] \frac{f'}{1/g'}=-\frac{x^2}{1+x^2}\frac{\ln^2x}{x} [/mm]

Nun Grenzwertbetrachtung vom ersten Faktor und vom zweiten Faktor. Beide sind konvergent, daher sind Grenzwertsätze anzuwenden.

[mm] \underbrace{-\frac{x^2}{1+x^2}}_{\to-1}\underbrace{\frac{\ln^2x}{x}}_{\to0}\to0 [/mm]

Bezug
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