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| Aufgabe | 1) Sei [mm] \pi:\overline{X}\to [/mm] X eine Überlagerung, [mm] \overline{X} [/mm] sei wegzusammenhängend und [mm] x\in [/mm] X beliebig.
Zeigen Sie, dass es zu zwei Punkten [mm] \overline{x_{1}}, \overline{x_{2}}\in \pi^{-1}(x) [/mm] höchstens eine Decktranformation f gibt mit [mm] f(\overline{x_{1}})=\overline{x_{2}}
[/mm]
2) Sei [mm] \pi:\overline{X}\to [/mm] X eine Überlagerung, [mm] \overline{X} [/mm] sei 1-zusammenhängend, [mm] x\in [/mm] X beliebig.
Zeigen Sie, dass es zu je zwei Punkten [mm] \overline{x_{1}}, \overline{x_{2}}\in \pi^{-1}(x) [/mm] mindestens eine Decktransformation f gibt mit [mm] f(\overline{x_{1}})=\overline{x_{2}} [/mm] |
Heyho!
1) Also ich kann da irgendwie noch nicht erkennen, was das damit zu tun hat, dass das wegzusammenhängend ist.
Seien f, [mm] g:\overline{X}\to\overline{X} [/mm] Homöomorphismen mit [mm] \pi\circ f=\pi=\pi\circ [/mm] g und [mm] f(\overline{x_{1}})=\overline{x_{2}}=g(\overline{x_{1}})
[/mm]
Z. z.: f=g
Sei also [mm] t\in\overline{X} [/mm] beliebig.
Wie forme ich jetzt f(t) zu g(t) um? Jetzt muss da doch irgendwie der Wegzusammenhang eingehen oder nicht?
2) Kann man diese eindeutige Decktransformation konkret angeben und einfach beweisen, dass es dann eine ist? Und was hat das mit dem 1-Zusammenhang zu tun? Das heißt doch nur, dass die Fundamentalgruppe trivial ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Sa 25.12.2010 | | Autor: | SEcki |
> 1) Also ich kann da irgendwie noch nicht erkennen, was das
> damit zu tun hat, dass das wegzusammenhängend ist.
> Seien f, [mm]g:\overline{X}\to\overline{X}[/mm] Homöomorphismen
> mit [mm]\pi\circ f=\pi=\pi\circ[/mm] g und
> [mm]f(\overline{x_{1}})=\overline{x_{2}}=g(\overline{x_{1}})[/mm]
> Z. z.: f=g
> Sei also [mm]t\in\overline{X}[/mm] beliebig.
> Wie forme ich jetzt f(t) zu g(t) um? Jetzt muss da doch
> irgendwie der Wegzusammenhang eingehen oder nicht?
Der Bereich, auf dem [m]f=g[/m] gilt muss offen sein - da musst du die Bedingung an eine Überlagerung mit eingehen lassen und dir Zusammenhangskomponentn von [m]x_1,x_2[/m] anschauen.
> 2) Kann man diese eindeutige Decktransformation konkret
> angeben und einfach beweisen, dass es dann eine ist?
Nicht wirklich ganz konkret. Du kannst aber sicher mit geschickt gewählten Umgebungen anfangen. Dann musst du die fortsetzten; dabei kannst du jeden Punkt von deinem Anfang aus mit einem Weg erreichen, auf dem Weg kannst du endliche viele Umgebungen finden die zur Überlagerung passen und somit eine eindeutige Fortsetzung ergeben - die auch funktioniert, da der 1-Zush. erzwingen wird, dass für unterschiedliche Wege die gleiche Fortsetzung herauskommt.
> Und
> was hat das mit dem 1-Zusammenhang zu tun? Das heißt doch
> nur, dass die Fundamentalgruppe trivial ist...
Ja, schon. Aber siehe oben.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Sa 08.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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