Definieren einer Funktion < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f(x) = [mm] \bruch{1}{(1-x)}.
[/mm]
Definiere die Funktion [mm] f^r [/mm] als
[mm] f^r(x) [/mm] = f(f(f(...f(f(x))))). |
Hallo,
nun versuche ich mich schon seit geraumer Zeit an dieser Aufgabe und befürchte, dass ich mal wieder Probleme mit dem Umformen habe.
Meine bisheriege Vorgehensweise war folgende:
Ich suche die Definitionsbereiche für a) f(x),b) f(f(x)) und c) f(f(f(x))).
Dabei versuche ich ein Muster in den Ergebnissen zu finden.
Um ehrlich zu sein bereitet mir dieser Vorgang große Probleme, v.a. bei c, bringt mich dies jedoch an meine Grenzen.
a) ist offensichtlich für [mm] \IR/1 [/mm] definiert
b) f(f(x)) = [mm] \bruch{1}{1- \bruch{1}{1-x}}
[/mm]
ich erweitere den Nenner mit (1-x)
= [mm] \bruch{1}{(1-x) (1- \bruch{1}{(1-x)})}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{(\bruch{1-x}{1-x}) - ( \bruch{1}{1-x})}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\bruch{1-x-1}{1-x}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1-x}{1-x-1}
[/mm]
Somit ist die Gleichung für [mm] \IR/0 [/mm] definiert.
c) f(f(f(x))) = [mm] \bruch{1 - \bruch{1}{1-x}}{1- (\bruch{1}{1-x}) - 1}
[/mm]
Hier liegt nun mein Problem, ich versuche mich nun schon ewig an einer Vereinfachung /Umformung, um den Definietionsbereich zu verdeutlichen, leider komme ich auf keinen grünen Zweig.
Es würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Vielen Dank im voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Sa 03.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Es sei f(x) = [mm]\bruch{1}{(1-x)}.[/mm]
> Definiere die Funktion [mm]f^r[/mm] als
>
> [mm]f^r(x)[/mm] = f(f(f(...f(f(x))))).
> Hallo,
> nun versuche ich mich schon seit geraumer Zeit an dieser
> Aufgabe und befürchte, dass ich mal wieder Probleme mit
> dem Umformen habe.
> Meine bisheriege Vorgehensweise war folgende:
> Ich suche die Definitionsbereiche für a) f(x),b) f(f(x))
> und c) f(f(f(x))).
> Dabei versuche ich ein Muster in den Ergebnissen zu
> finden.
>
> Um ehrlich zu sein bereitet mir dieser Vorgang große
> Probleme, v.a. bei c, bringt mich dies jedoch an meine
> Grenzen.
>
> a) ist offensichtlich für [mm]\IR/1[/mm] definiert
Richtig.
>
> b) f(f(x)) = [mm]\bruch{1}{1- \bruch{1}{1-x}}[/mm]
> ich erweitere
> den Nenner mit (1-x)
Richtig...
> = [mm]\bruch{1}{(1-x) (1- \bruch{1}{(1-x)})}[/mm]
... falsch aufgeschrieben...
> =
> [mm]\bruch{1}{(\bruch{1-x}{1-x}) - ( \bruch{1}{1-x})}[/mm]
... ab hier stimmt es wieder.
> =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1-x-1}{1-x}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1-x}{1-x-1}[/mm]
>
> Somit ist die Gleichung für [mm]\IR/0[/mm] definiert.
Richtig. Aber vereinfache den Term noch weiter: $1-x-1$ ist doch wohl $=-x$. In Hinsicht auf das Nachfolgende koennte auch die Gleichung [mm] $\bruch{1-x}{-x}= 1-\frac{1}{x}$ [/mm] hilfreich sein.
>
> c) f(f(f(x))) = [mm]\bruch{1 - \bruch{1}{1-x}}{1- (\bruch{1}{1-x}) - 1}[/mm]
>
> Hier liegt nun mein Problem, ich versuche mich nun schon
> ewig an einer Vereinfachung /Umformung, um den
> Definietionsbereich zu verdeutlichen, leider komme ich auf
> keinen grünen Zweig.
Ich hoffe mit obigem Tip schaffst Du es; sonst einfach nocheinmal fragen.
> Es würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen
> könnte.
>
>
> Vielen Dank im voraus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Mo 05.01.2015 | | Autor: | Windbeutel |
Danke dir sehr für deine Hilfestellung, jetzt bin ich zur Lösung gekommen.
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