Definitheit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | [mm] A=\pmat{ 0 & -3 \\ -3 & 0} [/mm] |
Was kann man über die Definitheit dieser Matrix sagen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Fr 05.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]A=\pmat{ 0 & -3 \\ -3 & 0}[/mm]
> Was kann man über die
> Definitheit dieser Matrix sagen?
A ist indefinit.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
Danke. Woran erkennt man das?
Es sind doch alle Eigenwerte 0. Ich dachte indefinit ist A nur dann, wenn es positive und negative EW gibt...
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> Danke. Woran erkennt man das?
Hallo,
vielleicht solltest Du zunächst mal nachschlagen, wie Definitheit definiert ist, und dann die Matrix anhand dieser Definition prüfen.
Weiter gibt es noch die diversen Kriterien, z.B. das Eigenwertkriterium:
> Es sind doch alle Eigenwerte 0.
Nein, die sind nicht 0.
Du solltest nochmal Deine Eigenwertberechnung überdenken...
Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen von p(x)=det(A-xE).
LG Angela
> Ich dachte indefinit ist A
> nur dann, wenn es positive und negative EW gibt...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ich dachte, es läge Semidefinitheit vor, weil der erste Hauptminor 0 ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Fr 05.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich dachte, es läge Semidefinitheit vor, weil der erste
> Hauptminor 0 ist.
Nun berechne doch endlich mal die Eigenwerte
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
Diese sind 3 und - 3 schon klar. Aber wie gesagt ich dachte halt man könnte es am ersten Hauptminor ablesen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Diese sind 3 und - 3 schon klar. Aber wie gesagt ich dachte
> halt man könnte es am ersten Hauptminor ablesen.
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit#Hauptminoren
Bei
$ [mm] A=\pmat{ 0 & -3 \\ -3 & 0} [/mm] $:
[mm] $\det(0)=0\,,$ [/mm]
[mm] $\det(A)=0*0-(-3)*(-3)=-9\,.$
[/mm]
Du weißt also nur: [mm] $A\,$ [/mm] ist weder positiv definit noch negativ definit. Es bleibt
also Semidefinitheit oder Indefinitheit (oder Du musst mal von der
Untersuchung nur der *führenden* Hauptminoren zur Untersuchung aller
Hauptminoren wechseln - siehe den Hinweis im Wiki-Link).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
Det (A) ist doch -9 oder?
Also kann ich mithilfe der Hauptminoren keine Aussage treffen, sondern muss die Eigenwerte bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Det (A) ist doch -9 oder?
ja, habe ich mal korrigiert.
> Also kann ich mithilfe der Hauptminoren keine Aussage
> treffen, sondern muss die Eigenwerte bestimmen?
Nur mithilfe der führenden Hauptminoren nicht.
Und von müssen kann keine Rede sein, es ist eine (gute) Möglichkeit. Eine
andere wäre, sich mal
[mm] $(x,y)*\pmat{0 & -3 \\ -3 & 0}*\vektor{x\\y}$
[/mm]
für alle oder geeignete $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] (bzw. [mm] $\IR^2 \setminus \{(0,0)^T\}$) [/mm] anzuschauen.
Also zunächst sollte man dazu einfach mal
[mm] $(x,y)*\pmat{0 & -3 \\ -3 & 0}*\vektor{x\\y}$
[/mm]
ausrechnen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
Das sind -3y-3x
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das sind -3y-3x
rechne es nochmal, da fehlt etwas:
[mm] $(x,y)*\pmat{0 & -3 \\ -3 & 0}*\vektor{x\\y}=(-3y,\;-3x)*\vektor{x\\y}=...$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
Das ergibt -6xy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das ergibt -6xy
richtig. Und was sagt Dir das *vorzeichenmäßig*?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
Wenn x und y gleiches Vorzeichen haben, ist der Term negativ und sonst positiv.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Marcel |
> Wenn x und y gleiches Vorzeichen haben, ist der Term
> negativ und sonst positiv.
Überzeuge mich mal von der Indefinitheit: Für [mm] $(x,y)^T=(1,1)^T$ [/mm] ist
[mm] $(x,y)*\pmat{0 & -3\\-3& 0}*\vektor{x\\y}\stackrel{\text{Rechn. s. o.}}{=}-6xy=-6*1*1 [/mm] < [mm] 0\,,$
[/mm]
aber für [mm] $(x,y)^T=(1,-1)^T$ [/mm] ist...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
... ist das Ergebnis 6, also groesser 0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Fr 05.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ... ist das Ergebnis 6, also groesser 0.
also: Für unsere symmetrische Matrix [mm] $A=\pmat{0 & -3\\-3 & 0} \in \IR^{2 \times 2}$ [/mm] gilt:
Es gibt einen Vektor [mm] $(x,y)^T \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $(x,y)*A*\vektor{x\\y} [/mm] < [mm] 0\,,$ [/mm] denn:
[mm] $(1,1)*\pmat{0 & -3\\-3 & 0}*\vektor{1\\1}=-6 [/mm] < [mm] 0\,.$
[/mm]
Die Matrix kann folglich nicht positiv semidefinit sein.
Es gibt einen Vektor [mm] $(x,y)^T \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $(x,y)*A*\vektor{x\\y} [/mm] < [mm] 0\,,$ [/mm] denn:
[mm] $(1,-1)*\pmat{0 & -3\\-3 & 0}*\vektor{1\\-1}=6 [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Die Matrix kann also auch nicht negativ semidefinit sein.
Ergo ist sie indefinit. (Vgl. auch die Definition).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Sa 06.12.2014 | | Autor: | Trikolon |
Dankeschön!
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