Definitheit? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Fr 04.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, wie untersuche ich die Matrix [mm] \bruch{1}{3}*\pmat{ 7 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 5 } [/mm] auf Definitheit? Außerdem ist die Hessematrix der Abbildung f: [mm] \IR^{3}\to\IR [/mm] : x [mm] \mapsto x^{T} [/mm] Ax sowie die Jacobimatrix der Abbildung g: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] Ax ?
Wie muss ich hier vorgehen?
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Sa 05.07.2008 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen,
> wie untersuche ich die Matrix [mm]\bruch{1}{3}*\pmat{ 7 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 5 }[/mm]
> auf Definitheit?
am einfachsten untersuche die Hauptminoren.
> Außerdem ist die Hessematrix der Abbildung
> f: [mm]\IR^{3}\to\IR[/mm] : x [mm]\mapsto x^{T}[/mm] Ax sowie die
> Jacobimatrix der Abbildung g: [mm]\IR^{3} \to \IR^{3}[/mm] : x
> [mm]\mapsto[/mm] Ax ?
> Wie muss ich hier vorgehen?
Was soll denn die Aufgabe sein?
Bitte alles etwas ausführlicher.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Das heißt was ist für Teil1 Berechnung der Definitheit zuerst zu tun?
lg Surfer
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> Das heißt was ist für Teil1 Berechnung der Definitheit
> zuerst zu tun?
Hallo,
das hat Dir koepper doch gesagt: untersuche die Hauptminoren.
Deiner Frage entnehme ich, daß es sinnvoll sein könnte, würdest Du mal ein bißchen ![[]](/images/popup.gif) hier lesen.
Alternativ kannst Du natürlich auch die Eigenwerte der Matrix berechnen, das ist allerdings etwas mühsamer.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Ich komm irgendwie nicht ganz mit, hab jetzt einiges gelesen, aber doch nicht recght verstanden! Wo sehe ich in den Matrix die Minoren bzw. Hauptminoren?
und was sind die kriterie!
lg Surfer
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> Ich komm irgendwie nicht ganz mit, hab jetzt einiges
> gelesen, aber doch nicht recght verstanden! Wo sehe ich in
> den Matrix die Minoren bzw. Hauptminoren?
Hallo,
die Hauptminoren sind die Determinanten der linken oberen Untermatrizen, also die Det. von $ [mm] \bruch{1}{3}\cdot{}\pmat{ 7 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 5 } [/mm] $ , $ [mm] \bruch{1}{3}\cdot{}\pmat{ 7 & 2 \\ 2 & 6 } [/mm] $ und [mm] \bruch{1}{3}( [/mm] 7).
>
> und was sind die kriterie!
Das steht doch in dem Wiki-Artikel! Hast Du Dir diesen Abschnitt denn überhaupt durchgelesen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok dann bekomm ich für die eine determinanten ja [mm] \bruch{38}{3} [/mm] und [mm] \bruch{7}{3} [/mm] heraus was ja beides positiv ist und somit wohl positiv definit oder?
Wie kann ich jetzt aber daraus die Hessemtarix der Abbildung f: [mm] \IR^{3}\to \IR [/mm] :x [mm] \mapsto x^{T} [/mm] Ax sowie die Jacobimatrix der Abbildung g: [mm] \IR^{3} \to \IR [/mm] ^{3} [mm] :x\mapsto [/mm] Ax berechnen?
lg Surfer
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> Ok dann bekomm ich für die eine determinanten ja
> [mm]\bruch{38}{3}[/mm] und [mm]\bruch{7}{3}[/mm] heraus was ja beides positiv
> ist und somit wohl positiv definit oder?
Hallo,
leider ist in meiner Antwort verlorengegengen, daß man die Det. der Matrix selbst auch noch ausrechnen muß, ich hab's inzwischen korrigiert.
Aber auch die ist pos. und somit ist die gegebene Matrix pos. definit.
>
> Wie kann ich jetzt aber daraus die Hessemtarix der
> Abbildung f: [mm]\IR^{3}\to \IR[/mm] :x [mm]\mapsto x^{T}[/mm] Ax sowie die
> Jacobimatrix der Abbildung g: [mm]\IR^{3} \to \IR[/mm] ^{3}
> [mm]:x\mapsto[/mm] Ax berechnen?
Hierzu hatte ich Dir ereits etwas geschrieben.
Wie hast Du das umgesetzt?
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:55 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Klar, also was die Hessematrix und die Jacobi matrix ist weiss ich schon und wie sie aufgebaut sind, aber wie ich von dieser matrix hier A jetzt auf diese beiden Matrix komme weiss ich nicht und hab auch leider kein Beispiel dazu gefunden! Deshalb wäre ich um Hilfe sehr dankbar, da ich noch mehr so Aufgaben zu lösen habe!
lg und danke Surfer
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> Klar, also was die Hessematrix und die Jacobi matrix ist
> weiss ich schon und wie sie aufgebaut sind, aber wie ich
> von dieser matrix hier A jetzt auf diese beiden Matrix
> komme weiss ich nicht und hab auch leider kein Beispiel
> dazu gefunden! Deshalb wäre ich um Hilfe sehr dankbar, da
> ich noch mehr so Aufgaben zu lösen habe!
>
Hallo,
in meiner Antwort v. heute, 8.23 Uhr bin ich davon ausgegangen, daß die Matrix A, welche in den Funktionen f, g vorkommt, die angegebene Matrix ist, deren Definitheit Du gerade untersucht hast.
Für diesen Fall habe ich Dir eine Möglichkeit genannt, wie Du zu Hess- bzw. Jacobimatrix kommen kannst, und ich verstehe nicht, warum Du nicht mal anfängst, das zu machen.
Falls die Aufgabenstellung irgendwie anders ist, als die, die ich erraten habe, so kann ich mich nur meinem Vorredner koepper anschließen, welcher heute morgen schrieb:
"Was soll denn die Aufgabe sein?
Bitte alles etwas ausführlicher."
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Gut hab das jetzt nach deiner oberen Beschreibung gemacht und komme bei f [mm] auf:\bruch{1}{3} \pmat{ 7x_{1}x_{1} & 2x_{1}x_{2} & 0x_{1}x_{3} \\ 2x_{1}x_{2} & 6x_{2}x_{2} & 2x_{2}x_{3} \\ 0x_{1}x_{3} & 2x_{2}x{3} & 5x_{3}x_{3} }
[/mm]
und bei g auf: [mm] \bruch{1}{3} \pmat{ 7x_{1} & 2x_{2} & 0x_{3} \\ 2x_{1} & 6x_{2} & 2x_{3} \\ 0x_{1} & 2x_{2} & 5x_{3} }
[/mm]
stimmt das oder was muss jetzt noch abgeleitet werden?
lg Surfer
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> Gut hab das jetzt nach deiner oberen Beschreibung gemacht
> und komme bei f [mm]auf:\bruch{1}{3} \pmat{ 7x_{1}x_{1} & 2x_{1}x_{2} & 0x_{1}x_{3} \\ 2x_{1}x_{2} & 6x_{2}x_{2} & 2x_{2}x_{3} \\ 0x_{1}x_{3} & 2x_{2}x{3} & 5x_{3}x_{3} }[/mm]
>
> und bei g auf: [mm]\bruch{1}{3} \pmat{ 7x_{1} & 2x_{2} & 0x_{3} \\ 2x_{1} & 6x_{2} & 2x_{3} \\ 0x_{1} & 2x_{2} & 5x_{3} }[/mm]
>
> stimmt das oder was muss jetzt noch abgeleitet werden?
Hallo,
Du mußt die Sachen vernünftig aufschreiben.
Was soll das da oben denn jetzt sein? Die Abbildungsvorschriften von f bzw. g, Hessematrix, Jacobimatrix?
So kann man sich kaum einen Reim drauf machen.
Ich befürchte, Du meinst, daß
[mm] f(\vektor{x_1 \\x_2\\x_3})=\vektor{x_1 \\x_2\\x_3}^{T}A\vektor{x_1 \\x_2\\x_3}=bruch{1}{3} \pmat{ 7x_{1}x_{1} & 2x_{1}x_{2} & 0x_{1}x_{3} \\ 2x_{1}x_{2} & 6x_{2}x_{2} & 2x_{2}x_{3} \\ 0x_{1}x_{3} & 2x_{2}x{3} & 5x_{3}x_{3} } [/mm] ist.
Das kann doch nicht sein! f bildet doch nach [mm] \IR [/mm] ab, da kann ja keine Matrix herauskommen.
Wenn Du beim zweiten Versuch dasselbe bekommst, rechne vor.
Ebenso bei der Abbildung g, die geht doch in den [mm] \IR³, [/mm] also kommt ein Spaltenvektor heraus und nicht eine 3x3-Matrix.
Wenn Du die Funktionsvorschriften sthen hast, kannst Du Dich über die Hessematrix und Jacobimatrix hermachen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Also nochmals durchgegangen, dann komm ich auf:
f: [mm] \bruch{1}{3} \pmat{ 7x_{1}x_{1} + 2x_{1}x_{2} \\ 2x_{1}x_{2} + 6x_{2}x_{2} + 2x_{2}x_{3} \\ 2x_{2}x_{3} + 5x_{3}x_{3}}
[/mm]
und g: [mm] \bruch{1}{3} \pmat{ 7x_{1} + 2x_{2} \\ 2x_{1} + 6x_{2} + 2x_{3} \\ 2x_{2} + 5x_{3}}
[/mm]
und was genau muss jetzt noch abgeleitet werden? um bei f auf die Hessematrix und bei g auf die Jacobimatrix zu kommen?
lg Surfer
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> Also nochmals durchgegangen, dann komm ich auf:
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> f: [mm]\bruch{1}{3} \pmat{ 7x_{1}x_{1} + 2x_{1}x_{2} \\ 2x_{1}x_{2} + 6x_{2}x_{2} + 2x_{2}x_{3} \\ 2x_{2}x_{3} + 5x_{3}x_{3}}[/mm]
>
> und g: [mm]\bruch{1}{3} \pmat{ 7x_{1} + 2x_{2} \\ 2x_{1} + 6x_{2} + 2x_{3} \\ 2x_{2} + 5x_{3}}[/mm]
>
> und was genau muss jetzt noch abgeleitet werden? um bei f
> auf die Hessematrix und bei g auf die Jacobimatrix zu
> kommen?
Hallo,
g ist jetzt richtig, aber schreib es doch ruhig vernünftig hin: g( [mm] \vektor{ x_{1} \\x_{2}\\ x_{3}})= [/mm] ...
f ist nicht richtig, da darf doch kein Vektor rauskommen.
Es ist doch [mm] f(x):=x^{T}Ax= \vektor{ x_{1} \\x_{2}\\ x_{3}}^{T}A \vektor{ x_{1} \\x_{2}\\ x_{3}}= \pmat{x_{1} &x_{2}&x_{3}}A \vektor{ x_{1} \\x_{2}\\ x_{3}}= \pmat{x_{1} &x_{2}&x_{3}}*$ \bruch{1}{3} \pmat{ 7x_{1} + 2x_{2} \\ 2x_{1} + 6x_{2} + 2x_{3} \\ 2x_{2} + 5x_{3}} [/mm] $.
Was nun die Jacobi- und Hessematrix einer Abbildung sind, lieshier und da.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo erstmal danke für deine Hilfe!
aber hier verstehe ich nicht ganz ich habe doch schon die Berechnung von [mm] x^{T}*Ax [/mm] durchgeführt aber auf was muss ich denn da kommen, wenn kein Vektor herauskommen soll?
Bin hier echt am verzweifeln!
> f ist nicht richtig, da darf doch kein Vektor rauskommen.
>
> Es ist doch [mm]f(x):=x^{T}Ax= \vektor{ x_{1} \\x_{2}\\ x_{3}}^{T}A \vektor{ x_{1} \\x_{2}\\ x_{3}}= \pmat{x_{1} &x_{2}&x_{3}}A \vektor{ x_{1} \\x_{2}\\ x_{3}}= \pmat{x_{1} &x_{2}&x_{3}}*\bruch{1}{3} \pmat{ 7x_{1}x_{1} + 2x_{1}x_{2} \\ 2x_{1}x_{2} + 6x_{2}x_{2} + 2x_{2}x_{3} \\ 2x_{2}x_{3} + 5x_{3}x_{3}}.[/mm]
>
Bitte nochmals um genaue Klärung!
lg Surfer
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> Hallo erstmal danke für deine Hilfe!
>
> aber hier verstehe ich nicht ganz ich habe doch schon die
> Berechnung von [mm]x^{T}*Ax[/mm] durchgeführt aber auf was muss ich
> denn da kommen, wenn kein Vektor herauskommen soll?
> Bin hier echt am verzweifeln!
>
> > f ist nicht richtig, da darf doch kein Vektor rauskommen.
> >
> > Es ist doch [mm]f(x):=x^{T}Ax= \vektor{ x_{1} \\x_{2}\\ x_{3}}^{T}A \vektor{ x_{1} \\x_{2}\\ x_{3}}= \pmat{x_{1} &x_{2}&x_{3}}A \vektor{ x_{1} \\x_{2}\\ x_{3}}= \pmat{x_{1} &x_{2}&x_{3}}*\bruch{1}{3} \pmat{ 7x_{1}x_{1} + 2x_{1}x_{2} \\ 2x_{1}x_{2} + 6x_{2}x_{2} + 2x_{2}x_{3} \\ 2x_{2}x_{3} + 5x_{3}x_{3}}.[/mm]
>
> >
>
> Bitte nochmals um genaue Klärung!
Hallo,
ich werd' verrückt: ich hatte in meiner Antwort die falsche Matrix reinkopiert!
Richtig muß da stehen
[mm] f(x):=x^{T}Ax= \vektor{ x_{1} \\x_{2}\\ x_{3}}^{T}A \vektor{ x_{1} \\x_{2}\\ x_{3}}= \pmat{x_{1} &x_{2}&x_{3}}A \vektor{ x_{1} \\x_{2}\\ x_{3}}= \pmat{x_{1} &x_{2}&x_{3}}*\bruch{1}{3} \pmat{ 7x_{1} + 2x_{2} \\ 2x_{1} + 6x_{2} + 2x_{3} \\ 2x_{2} + 5x_{3}} [/mm]
Hinten haben wir eine 1x3Matrix mit einer 3x1-Matrix zu multiplizieren, also "Zeile mal Spalte".
Rechne doch mal (1 [mm] 2)*\vektor{3\\4}. [/mm] Genauso geht das da oben auch.
Tut mir leid wegen der falschen Matrix. Sowas trägt natürlich nicht gerade zur Klärung bei...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok dann bekomme ich:
f: [mm] \bruch{7}{3}x_{1}x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3}x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{2}x_{2} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3}x_{2}x_{3} [/mm] + [mm] \bruch{5}{3}x_{3}x_{3}
[/mm]
oder?
Oha und das heißt jetzt ich darf hier einige male in fast allen Varianten ableiten?
aber maximal bis zur zweiten Ableitung!
lg Surfer
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> Ok dann bekomme ich:
>
> f: [mm]\bruch{7}{3}x_{1}x_{1}[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}x_{1}x_{2}[/mm] +
> [mm]2x_{2}x_{2}[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}x_{2}x_{3}[/mm] +
> [mm]\bruch{5}{3}x_{3}x_{3}[/mm]
>
> oder?
>
> Oha und das heißt jetzt ich darf hier einige male in fast
> allen Varianten ableiten?
> aber maximal bis zur zweiten Ableitung!
Hallo,
genau.
Jetzt erstelle den Gradienten (erste part. Ableitungen) und dann die Hessematrix (2. partielle Ableitungen).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Dann mal bitte um Kontrolle!
Also bekomme folgende Ergebnisse:
Hessematrix:
H(f) = [mm] \pmat{\bruch{14}{3} & \bruch{4}{3} & 0\\ \bruch{4}{3} & 4 & \bruch{4}{3} \\ 0 & \bruch{4}{3} & \bruch{10}{3}}
[/mm]
Jacobimatrix:
D(g) = [mm] \pmat{\bruch{7}{3} & \bruch{2}{3} & 0\\ \bruch{2}{3} & 2 & \bruch{2}{3} \\ 0 & \bruch{2}{3} & \bruch{5}{3}}
[/mm]
stimmt das?
bitte um kontrolle ist sehr wichtig
lg und danke Surfer
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Hallo Surfer,
> Dann mal bitte um Kontrolle!
> Also bekomme folgende Ergebnisse:
>
> Hessematrix:
> H(f) = [mm]\pmat{\bruch{14}{3} & \bruch{4}{3} & 0\\ \bruch{4}{3} & 4 & \bruch{4}{3} \\ 0 & \bruch{4}{3} & \bruch{10}{3}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jacobimatrix:
> D(g) = [mm]\pmat{\bruch{7}{3} & \bruch{2}{3} & 0\\ \bruch{2}{3} & 2 & \bruch{2}{3} \\ 0 & \bruch{2}{3} & \bruch{5}{3}}[/mm]
>
> stimmt das?
Ja, beides stimmt!
> bitte um kontrolle ist sehr wichtig
>
> lg und danke Surfer
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Wie ist es denn du bezeichnen wenn ich für die äußere Determinante etwas positives, für die mittlere Determinante etwas negatives und für die innerste etwas positives wieder?
Außerdem bei einem weiteren fall wenn die äußere Determinante der gesamten Matrix gleich 0 ist, die mittlere Determinante positiv und die innerste auch positiv?
Wie bezeichnet man dann diese Fälle?
lg Surfer
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Hallo,
pos. definit: alle Hauptminoren positiv
neg.definit: alle geraden Hauptminoren positiv, die ungeraden negativ.
indefinit: det. der Matrix [mm] \not=0 [/mm] und keiner der oberen beiden Fälle
Wenn die Determinante der Matrix =0 ist, kann sie pos. semidefinit, neg. semidefinit oder nichts von beiden sein.
Für die üblichen Extremwertuntersuchungen mit der Hessematrix sind diese Fälle dann "wertlos".
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 So 06.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Aha,
d.h. mein eines Beispiel müste negativ definit sein oder welches sind die geraden und welches die ungeraden Hauptminoren?
und bei meinem zweiten Beispiel muss ich dann noch nach semidefinit untersuchen oder wie? und wie mach ich das?
> pos. definit: alle Hauptminoren positiv
>
> neg.definit: alle geraden Hauptminoren positiv, die
> ungeraden negativ.
>
> indefinit: det. der Matrix [mm]\not=0[/mm] und keiner der oberen
> beiden Fälle
>
> Wenn die Determinante der Matrix =0 ist, kann sie pos.
> semidefinit, neg. semidefinit oder nichts von beiden sein.
> Für die üblichen Extremwertuntersuchungen mit der
> Hessematrix sind diese Fälle dann "wertlos".
lg Surfer
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> d.h. mein eines Beispiel müste negativ definit sein oder
> welches sind die geraden und welches die ungeraden
> Hauptminoren?
Hallo,
die 1x1-Matrix ist ungerade, die 2x2-Matrix gerade, die 3x3-Matrix ungerade usw.
> und bei meinem zweiten Beispiel muss ich dann noch nach
> semidefinit untersuchen oder wie? und wie mach ich das?
Ich weiß jetzt gerade nciht, was Du mit "einem" und "anderen" meinst.
Außerdem habe ich den Verdacht, daß Du die Det. nicht richtig berechnet hast.
(Hast Du eigentlich schon bemerkt, was die Jacobimatrix und die Hessematrix mit Deiner Startmatrix A zu tun haben?)
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:02 So 06.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok also wie heißen dann die beiden Fälle oder was ist daran noch zu tun um beurteilen zu können um definit oder...?
1Fall) 3x3Matrix >0 2x2 Matrix <0 1x1 Matrix >0
2 Fall) 3x3Matrix =0 2x2 Matrix >0 1x1 Matrix >0
die Hessematrix ist die Ausgangsmatrix nur mit jeweils der zweiten Ablaitung dran und die Jacobimatrix auch fast die gleich nur ohne Nullstellen!
Was soll nicht stimmen?
lg Surfer
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Hallo,
welches sind die beiden Matrizen, über die Du gerade redest?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Also die erste Matrize heißt:
[mm] \bruch{1}{3}\pmat{ 2 & -2 & -6 \\ -2 & -3 & 4 \\ -6 & 4 & 1 }
[/mm]
und die zweite:
[mm] \bruch{1}{3}\pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 3 }
[/mm]
wie sind die denn zu definieren? bzw wie ist deren definitheit?
lg Surfer
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> Also die erste Matrize heißt:
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> [mm]\bruch{1}{3}\pmat{ 2 & -2 & -6 \\ -2 & -3 & 4 \\ -6 & 4 & 1 }[/mm]
>
> und die zweite:
>
> [mm]\bruch{1}{3}\pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 3 }[/mm]
>
> wie sind die denn zu definieren? bzw wie ist deren
> definitheit?
Hallo,
achso, Du redest also nicht über die beiden zuvor errechneten Matrizen, sondern über völlig neue.
Die erste ist indefinit: ihre Determinante ist [mm] \not=0, [/mm] und sie ist weder pos. noch negativ definit.
Die zweite ist pos. semidefinit. Anhand ihrer Determinante habe ich gesehen, daß ein Eigenwert 0 ist, daraufin habe ich die beiden anderen Eigenwerte berechnet, sie sind pos.
Zwar sind auch die 1x1 und die 2x2- Det. positiv, aber ich bin mir gerade nicht sicher, ob man daraus auf pos. semidefinit schließen kann - ich wäre vorsichtig. Das mit den Eigenwerten jedenfalls ist eine gesicherte Erkenntnnis.
Achtung: sowohl Hauptminoren als auch Eigenwerte funktionieren nur bei symmetrischen Matrizen, also immer vorher gucken, ob man auch wirklich solche vorliegen hat.
Und nochwas: die von Dir errechneten Matrizen (Hesse und Jacoi) sind Vielfache der Startmatrix A.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 09:23 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo
die 2Fälle im oberen thread die ich gemacht habe mit den 3x3 und 2x2 und 1x1 Determinanten gehören zu diesen beiden Matrizen! Und deshalb wollte ich ja fragen, wie ich bei diesen beiden Matrizen hier vorgehen muss, um die definitheit zu bestimmen?
D.h. ich kann wenn ich von diesen beiden Matrizen hier die Hesse und Jacobi aufstellen möchte nur das Vielfache wie bei der ersten Matrix anhängen oder?
lg Surfer
> > [mm]\bruch{1}{3}\pmat{ 2 & -2 & -6 \\ -2 & -3 & 4 \\ -6 & 4 & 1 }[/mm]
>
> >
> > und die zweite:
> >
> > [mm]\bruch{1}{3}\pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 3 }[/mm]
>
> >
> > wie sind die denn zu definieren? bzw wie ist deren
> > definitheit?
>
> Hallo,
>
> achso, Du redest also nicht über die beiden zuvor
> errechneten Determinanten, sondern über völlig neue.
>
> Die erste ist indefinit: ihre Determinante ist [mm]\not=0,[/mm] und
> sie ist weder pos. noch negativ definit.
>
> Die zweite ist pos. semidefinit. Anhand ihrer Determinante
> habe ich gesehen, daß ein Eigenwert 0 ist, daraufin habe
> ich die beiden anderen Eigenwerte berechnet, sie sind pos.
> Zwar sind auch die 1x1 und die 2x2- Det. positiv, aber ich
> bin mir gerade nicht sicher, ob man daraus auf pos.
> semidefinit schließen kann - ich wäre vorsichtig. Das mit
> den Eigenwerten jedenfalls ist eine gesicherte
> Erkenntnnis.
>
> Achtung: sowohl Hauptminoren als auch Eigenwerte
> funktionieren nur bei symmetrischen Matrizen, also immer
> vorher gucken, ob man auch wirklich solche vorliegen hat.
>
> Und nochwas: die von Dir errechneten Matrizen (Hesse und
> Jacoi) sind Vielfache der Startmatrix A.
>
> Gruß v. Angela
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> D.h. ich kann wenn ich von diesen beiden Matrizen hier die
> Hesse und Jacobi aufstellen möchte nur das Vielfache wie
> bei der ersten Matrix anhängen oder?
Hallo,
ich kann hier nicht ja oder nein sagen, weil ich nicht genau weiß, was Du planst.
Schreib doch einfach die Funktionen, mit denen Du etwas machen möchtest, sag' was Du jeweils errechnen möchtest und schreib das Ergebnis auf.
Dann kann man entscheiden, ob es richtig oder falsch ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Also wenn ich von diesen beiden Matrizen hier die Definitheit bestimmen möchte und gehe genauso vor wie bei der ersten Matrix, dannerhalte ich:
> > > [mm]\bruch{1}{3}\pmat{ 2 & -2 & -6 \\ -2 & -3 & 4 \\ -6 & 4 & 1 }[/mm]
det(3x3) >0 und det(2x2) <0 und det(1x1) >0
aber wie bezeichne ich das nun indefinit oder was?
> > > und die zweite:
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{3}\pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 3 }[/mm]
da bekomme ich det(3x3) =0 und det(2x2) >0 und det(1x1) >0
wie kann ich dann dies beurteilen welche definitheit vorliegt?
lg Surfer
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> Also wenn ich von diesen beiden Matrizen hier die
> Definitheit bestimmen möchte und gehe genauso vor wie bei
> der ersten Matrix, dannerhalte ich:
>
> > > > [mm]\bruch{1}{3}\pmat{ 2 & -2 & -6 \\ -2 & -3 & 4 \\ -6 & 4 & 1 }[/mm]
>
> det(3x3) >0 und det(2x2) <0 und det(1x1) >0
> aber wie bezeichne ich das nun indefinit oder was?
Hallo,
hab' ich doch schon gesagt ja, indefinit.
>
> > > > und die zweite:
> > > >
> > > > [mm]\bruch{1}{3}\pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 3 }[/mm]
>
> da bekomme ich det(3x3) =0 und det(2x2) >0 und det(1x1) >0
> wie kann ich dann dies beurteilen welche definitheit
> vorliegt?
Hatte ich auch ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Dateianhang Nr. 425817 (fehlt/gelöscht)]: positiv semidefinit.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Ja das weiss ich dass du das schon gesagt hast, aber mit welchen untersuchungskriterien bist du darauf gekommen?
lg Surfer
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> Ja das weiss ich dass du das schon gesagt hast, aber mit
> welchen untersuchungskriterien bist du darauf gekommen?
Hallo,
so, wie ich dort geschrieben habe:
Bei der einen ist die Determinante [mm] \not=0, [/mm] deshalb müssen die Eigenwerte positiv oder negativ sein.
Es trifft weder das Hauptminorenkriterium für pos. noch für negativ definit zu, also ist sie indefinit.
(0, +,+) berechnet und so festgestellt, daß die Matrix positiv semidefinit ist.
Wie bereits erwähnt, kann ich aus dem Stand nicht sagen, ob und ggf. wie ie man dies bereits an den Hauptminoren von 3x3-Matrizen sehen kann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Mo 07.07.2008 | | Autor: | JMW |
Hi Surfer,
also ich habe die Aufgabe über die Definitheit mittels der quadratischen Form gelöst. Die quadratische Form ist dieselbe Abbildung aus der du die Hessematrix ausrechen sollst: $ \ [mm] x^{T} [/mm] $ Ax
Die Definitheit findest du raus indem du dir anguckst ob x-Werte negativ oder positiv sind. Bei A ist alles positiv -> positiv definit
Bei B und C gibt es positive und negative werte, also indefinit.
Das habe ich aus Seite 189 im Skript. Bin mir allerdings nicht 100% sicher.
LG
JMW
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Surfer |
D.h ich schau mir nur die Ausgangsmatrix an? und beurteile das? und sowas wie semidefinit würde hier dann gar nicht vorkommen!
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mo 07.07.2008 | | Autor: | JMW |
Zur ersten Matrix hast du ja dafür das rausbekommen:
f: $ [mm] \bruch{7}{3}x_{1}x_{1} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{4}{3}x_{1}x_{2} [/mm] $ + $ [mm] 2x_{2}x_{2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{4}{3}x_{2}x_{3} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{5}{3}x_{3}x_{3} [/mm] $
Da ist jeder x wert positiv, deshalb positiv definit. So hab ich das gemacht. Hoffe das es richtig ist 
Auf s. 189 steht nichts von semi definit und in der Nähe davon scheinbar auch nicht. Deshalb nehme ich nicht an, daß wir semidefinit wissen müssen. Kanns aber nicht garantieren.
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> Hallo, wie untersuche ich die Matrix [mm]\bruch{1}{3}*\pmat{ 7 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 5 }[/mm]
> auf Definitheit? Außerdem ist die Hessematrix der Abbildung
> f: [mm]\IR^{3}\to\IR[/mm] : x [mm]\mapsto x^{T}[/mm] Ax sowie die
> Jacobimatrix der Abbildung g: [mm]\IR^{3} \to \IR^{3}[/mm] : x
> [mm]\mapsto[/mm] Ax ?
Hallo,
ich vermute mal, daß die Hessematrix v. f und die Jaobimatrix von g zu berechnen sind.
Weißt Du denn, was Hesse- bzw. Jacobimatrix sind? Das ist natürlich die Vorraussetzung für ein sinnvolles Tun.
Wenn Du das weißt, kannst Du Dich doch über die Lösung der Aufgabe hermachen:
schreibe x als [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}, [/mm] berechne [mm]f(x)=x^{T}Ax[/mm] und [mm]g(x)=Ax[/mm] und leite fleißig ab.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Blech |
> Hallo, wie untersuche ich die Matrix [mm]\bruch{1}{3}*\pmat{ 7 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 5 }[/mm]
> auf Definitheit? Außerdem ist die Hessematrix der Abbildung
Hier kann man auch noch sofort sehen, daß die Matrix pos. definit (da strikt diagonaldominant mit positiven Diagonaleinträgen) ist.
Das kommt gerne als Aufgabe in Numerik I. =)
ciao
Stefan
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