Definition Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Definition.
Seien a [mm] \in [/mm] D [mm] \subset \IR [/mm] und f : D [mm] \to \IR [/mm] gegeben.
f heißt differenzierbar in a : [mm] \gdw [/mm] a ist Häufungspunkt von D und es existiert ein [mm] \beta \in \IR [/mm] derart, sodass die "Restfunktion"
r : D [mm] \to \IR [/mm] , r(x) := f(x) - f(a) - [mm] \beta [/mm] (x - a)
die Bedingung [mm] \limes_{x \to a}\bruch{r(x)}{x - a} [/mm] =0
erfüllt.
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Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Definition weiterhelfen? Also, ich kann damit leider nicht allzu viel anfangen.
Ich weiß zwar ganz allgemein, dass eine Funktion nicht differenzierbar ist an Stellen, an denen entweder eine Unstetigkeit, ein Kehrpunkt oder eine vertikale Tangente vorliegt.
Oder anders ausgerückt, dass eine Funktion f : I [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar in [mm] x_0 \in [/mm] I ist falls folgender Grenzwert existiert:
[mm] f'(x_0) [/mm] := [mm] \limes_{h \to 0}\bruch{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
[/mm]
Das verstehe ich auch alles.
Aber mit der Definition aus meinem Skript kann ich so garnichts anfangen. Kann mir da vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
Viele Grüße und schon mal vielen Dank,
das schlumpfinchen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Def. der Differenzierbarkeit aus Deimem Skript und die Def. , die Du schon lange kennst sind völlig gleichwertig:
1. Nimm an, es existiert ein $ [mm] \beta \in \IR [/mm] $ derart, sodass die "Restfunktion"
r : D $ [mm] \to \IR [/mm] $ , r(x) := f(x) - f(a) - $ [mm] \beta [/mm] $ (x - a)
die Bedingung $ [mm] \limes_{x \to a}\bruch{r(x)}{x - a} [/mm] $ =0
erfüllt.
Wegen [mm] \bruch{r(x)}{x - a} [/mm] = [mm] \bruch{f(x)-f(a)}{x-a} -\beta [/mm] folgt:
$ [mm] \limes_{x \to a}\bruch{f(x)-f(a)}{x - a} [/mm] = [mm] \beta [/mm] $
Also ist f im Sinne der Dir bekannten Def. differenzierbar in a
2. Jetzt nimm an, dass f im Sinne der Dir bekannten Def. differenzierbar in a ist.
Sei [mm] \beta [/mm] := [mm] \limes_{x \to a}\bruch{f(x)-f(a)}{x - a}
[/mm]
Für $r(x) := f(x) - f(a) - [mm] \beta [/mm] (x - a) $ gilt dann:
$ [mm] \limes_{x \to a}\bruch{r(x)}{x - a} [/mm] $ =0
FRED
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hallo fred,
vielen Dank. Das hat mir schon mal geholfen.
Nur eine Frage habe ich noch. Warum ist es eigentlich wichtig, dass a ein Häufungspunkt von D sein muss? Ist das vielleicht so, weil wenn a kein Häufungspunkt von D wäre, x nicht gegen a konvergieren könnte und deshalb der Grenzwert auch nicht existieren würde???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> hallo fred,
>
> vielen Dank. Das hat mir schon mal geholfen.
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> Nur eine Frage habe ich noch. Warum ist es eigentlich
> wichtig, dass a ein Häufungspunkt von D sein muss? Ist das
> vielleicht so, weil wenn a kein Häufungspunkt von D wäre, x
> nicht gegen a konvergieren könnte und deshalb der Grenzwert
> auch nicht existieren würde???
So ist es. Der Punkt a muß "aus der Menge D heraus erreichbar sein"
FRED
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Super, vielen Dank nochmal und viele Grüße!
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