Definition Grenzwert v. Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mi 19.11.2008 | | Autor: | newday |
| Aufgabe | | Die Zahl [mm] a\in\IR [/mm] heißt Grenzwert der Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN}, [/mm] falls es für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 eine natürliche Zahl N gibt, so dass [mm] \left|a_n-a \right|< \varepsilon, [/mm] falls [mm] n\geq [/mm] N. |
Hab mal wieder hier ein paar Verständnisprobleme zur Definition eines Grenzwertes einer Folge. Verstehe nicht ganz wie diese Definition zu deuten ist, man ließt sich den Satz hundertmal durch und kann dem Ganzen etwas folgen jedoch macht es einfach nicht Klick, es ergibt einfach keinen Sinn.
Also es gibt einen Grenzwert a gegen den eben unbeschränkt konvergiert wird. Dann gibt es um a noch ein möglichst kleines (?) bliebig großes theoretisches Intervall [mm] (-\varepsilon;a)(a;\varepsilon). [/mm] Un in diesem liegt die Zahl N die kleiner gleich dem Index der Folge sein soll?
Kann mal wer ein kurze Erläuterung abgeben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Mi 19.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Die Zahl [mm]a\in\IR[/mm] heißt Grenzwert der Folge [mm](a_n)_{n\in\IN},[/mm]
> falls es für alle [mm]\varepsilon[/mm] >0 eine natürliche Zahl N
> gibt, so dass [mm]\left|a_n-a \right|< \varepsilon,[/mm] falls [mm]n\geq[/mm]
> N.
> Hab mal wieder hier ein paar Verständnisprobleme zur
> Definition eines Grenzwertes einer Folge. Verstehe nicht
> ganz wie diese Definition zu deuten ist, man ließt sich den
> Satz hundertmal durch und kann dem Ganzen etwas folgen
> jedoch macht es einfach nicht Klick, es ergibt einfach
> keinen Sinn.
>
> Also es gibt einen Grenzwert a gegen den eben unbeschränkt
> konvergiert wird. Dann gibt es um a noch ein möglichst
> kleines (?) bliebig großes theoretisches Intervall
> [mm](-\varepsilon;a)(a;\varepsilon).[/mm] Un in diesem liegt die
> Zahl N die kleiner gleich dem Index der Folge sein soll?
>
> Kann mal wer ein kurze Erläuterung abgeben?
Hallo,
[mm] a_n [/mm] ist eine Folge, die gegen a konvergieren soll. Du legst dir irgendeine [mm] \epsilon [/mm] -Umgebung fest.
Die ersten Folgenglieder liegen vielleicht außerhalb dieser Umgebung, aber das 274. Glied und alle weiteren liegen drin.
Jetzt bist du fies und verkleinerst dein [mm] \epsilon. [/mm] Da ist das 274. Glied nicht mehr drin, sondern erst das 976 583. Glied.
Du willst nochmal fies sein? Verkleinere [mm] \epsilon [/mm] weiter! Na und? es wird immer irgendeine erste Nummer N geben, ab der alle Folgengleder in der (noch so kleinen) [mm] \epsilon [/mm] -Umgebung liegen.
Für dein erstes [mm] \epsilon [/mm] war N=274, für dein viel kleineres zweites [mm] \epsilon [/mm] war N=976 583 und für ein noch kleineres [mm] \epsilon [/mm] muss N eben noch etwas größer werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mi 19.11.2008 | | Autor: | newday |
Also ist N das N-te Folgeglied (bzw. die Zahl) das gerade noch in [mm] \varepsilon [/mm] drinnenliegt.
Aber was bedeuten nun [mm] \left|a_n-a \right|< \varepsilon [/mm] ?
Der Betrag eines beliebigen Folgegliedes [mm] (a_n) [/mm] weniger dem Grenzwert a muss keiner als [mm] \varepsilon [/mm] sein? ist [mm] a_n=N?
[/mm]
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Hallo newday,
> Also ist N das N-te Folgeglied (bzw. die Zahl) das gerade
> noch in [mm]\varepsilon[/mm] drinnenliegt.
>
> Aber was bedeuten nun [mm]\left|a_n-a \right|< \varepsilon[/mm] ?
Das bedeutet geometrisch,dass ein Folgenglied [mm] $a_n$ [/mm] näher an dem GW $a$ liegt als [mm] $\varepsilon$ [/mm] (als Abstand in y-Richtung (im Koordinatensystem) gesehen)
> Der Betrag eines beliebigen Folgegliedes [mm](a_n)[/mm] weniger dem
> Grenzwert a muss keiner als [mm]\varepsilon[/mm] sein? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja genau!
> ist [mm]a_n=N?[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das $N$ ist - wieder im Koordinatensystem gesehen - diejenige Stelle auf der x-Achse, ab dem alle weiteren Folgenglieder [mm] $a_{N+1},a_{N+2},....$ [/mm] einen Abstand vom GW $a$ haben, der kleiner ist als das vorgegebene [mm] $\varepsilon$
[/mm]
>
Zeichne dir eine konvergente Folge mal in ein Koordinatensystem, zB. [mm] $(a_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$
[/mm]
Die konvergiert ja gegen 0.
Zeichne dir im Weiteren eine beliebige [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um a=0 ein, das ist ein Intervall auf der y-Achse !!!
Das gibt dir zeichnerisch sozusagen einen [mm] $\varepsilon$-Streifen [/mm] um 0, von [mm] $-\varepsilon$ [/mm] bis [mm] $\varepsilon$, [/mm] symmetrisch um 0, also einen Streifen der Breite [mm] $2\varepsilon$
[/mm]
Nimm als Bsp. mal [mm] $\varepsilon=\frac{1}{2}$
[/mm]
Dann findest du irgendwo auf der x-Achse !!! ein [mm] $N(\varepsilon)$, [/mm] ab dem alle weiteren Folgenglieder innerhalb dieses [mm] $\varepsilon$-Streifens (=$\frac{1}{2}$-Streifens) [/mm] um 0 liegen.
Verkleinerst du den Streifen, also [mm] $\varepsilon$, [/mm] so wird das [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] auf der x-Achse weiter nach rechts rutschen ...
Wenn eine Folge konvergent ist, besagt das, dass du - egal wie schmal du den [mm] $\varepsilon$-Streifen [/mm] (auf der y-Achse) um den Grenzwert legst, du IMMER, möglicherweise seeeeeeehr weit weg auf der x-Achse ein entsprechendes [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] findest, ab dem alle weiteren Folgenglieder innerhalb dieses [mm] $\varepsilon$-Streifens [/mm] liegen ...
Zeichne dir das wirklich mal an dem o.a. Bsp. ein, verkleine [mm] $\varepsilon$ [/mm] von [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] auf [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] auf [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] und schaue es dir an ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mi 19.11.2008 | | Autor: | newday |
Ist N also ein "besonderer" Index der im [mm] \varepsilon-Intervall [/mm] liegt. Wobei n wertungsfrei überall liegen kann?
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Hallo nochmal,
> Ist N also ein "besonderer" Index der im
> [mm]\varepsilon-Intervall[/mm] liegt.
Nein!
Was ist denn eine Folge? Eine Abbildung von [mm] $\IN\to\IR$ [/mm] (oder [mm] $\IC$)
[/mm]
Das N liegt NICHT im [mm] $\varepsilon$-Streifen [/mm] um den GW, sondern auf der "x-Achse" ...
> Wobei n wertungsfrei überall liegen kann?
$n$ oder $N$ sind aus dem Definitionsbereich der Folge, also [mm] $\in\IN$, [/mm] dh. natürliche Zahlen und liegen somit als ganzzahlige Punkte auf der positiven x-Achse
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mi 19.11.2008 | | Autor: | newday |
ok das war jetzt ungeschickt formuliert:
N oder n geben ja nur die "Nummer" des Folgegliedes an und dieses Folgeglied bzw dessen Wert liegt dann bei N im [mm] \varepsilon-Bereich [/mm] und bei n ist das nicht genauer erläutert ob es im [mm] \varepsilon-Bereich [/mm] ist oder nicht. (?)
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Hallo nochmal,
> ok das war jetzt ungeschickt formuliert:
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> N oder n geben ja nur die "Nummer" des Folgegliedes an und
> dieses Folgeglied bzw dessen Wert liegt dann bei N im
> [mm]\varepsilon-Bereich[/mm] und bei n ist das nicht genauer
> erläutert ob es im [mm]\varepsilon-Bereich[/mm] ist oder nicht. (?)
Je nachdem, ob man in der [mm] $\varepsilon$-Definiton $n\ge [/mm] N$ oder $n>N$ nimmt, sind entweder alle Folgenglieder ab [mm] $a_N$ [/mm] einschließlich oder ausschließlich [mm] $a_N$, [/mm] also ab [mm] $a_{N+1}$ [/mm] im [mm] $\varepsilon$-Streifen.
[/mm]
Darsuf kommt's aber nicht an ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Do 20.11.2008 | | Autor: | newday |
Auf was kommt es denn dann eigentlich an?
Mein Hauptproblem war das "N" was das überhaupt sein soll... denke mal ich bin jetz ein bisschen hinter den Sinn gekommen ;)
Das traurig ist, dass ich Mathe fürs Studium brauche und auch gewillt wäre es zu lernen nur versteh ich einfach vieles nicht so leicht. Vl. ist das Dummheit vl. auch nur zu wenig Vorwissen aus der Schule, aufjedenfall ist es zum Verzweifeln :(
btw.: vorneweg schon mal ein Danke an alle die mir weitergeholfen haben :)
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> Auf was kommt es denn dann eigentlich an?
Hallo,
es kommt darauf an, daß Du, egal wie winzig klein Du Dir das [mm] \varepsilon [/mm] vorgibst, immer einen dazu passenden "Schwellenwert" [mm] N_\varepsilon [/mm] findest, so daß die Folgenglieder
[mm] (a_N, [/mm] ) [mm] a_{N+1}, a_{N+2},a_{N+3}, a_{N+4},a_{N+5}, [/mm] ... niemals weiter als [mm] \varepsilon [/mm] von dem Grenzwert entfernt sind.
> Mein Hauptproblem war das "N" was das überhaupt sein
> soll... denke mal ich bin jetz ein bisschen hinter den Sinn
> gekommen ;)
>
> Das traurig ist, dass ich Mathe fürs Studium brauche und
> auch gewillt wäre es zu lernen
Dann ist schonmal viel gewonnen.
> nur versteh ich einfach
> vieles nicht so leicht.
> Vl. ist das Dummheit vl. auch nur
> zu wenig Vorwissen aus der Schule, aufjedenfall ist es zum
> Verzweifeln :(
Es ist halt so, daß Mathe nicht ganz leicht ist, die Denk- und Vorgehensweise ist vielfach fremd.
Daß es einem leichter fällt, wenn man in der Schule guten Mathematikunterricht hatte, ist ja klar.
Zur Beruhigung: die Klausuren werden wahrscheinlich leichter sein als die Hausübungen.
Wenn Du nicht jeden Beweis verstehst, ist das erstmal nicht sooooooo schlimm.
Wichtig ist vor allem, daß Dir die Begriffe und Sätze klar sind, und daß Du die benötigten Rechenverfahren kannst.
(Dies ist jetzt gesprochen im Sinne des Zieles: Klausur bestehen.)
Gruß v. Angela
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