Definition Wertebreich < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Paivren |
Hallo Leute, zu meiner ersten Physik-Vorkurs-Stunde direkt mal eine Frage.
Unser Dozent hat Surjektivität so definiert:
f heißt surjektiv, wenn alle Elemente aus dem Wertebereich Funktionswerte sind.
Der Wertebereich setzt sich doch aber sowieso nur aus den Werten zusammen, die Funktionswerte sein können.
Demzufolge wäre doch jede Funktion surjektiv.
Verwendet er vllt eine andere Definition von Wertebereich?
Gruß
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Hallo Paivren,
hier gibt es womöglich ein sprachliches Dilemma.
Man spricht teilweise von einer Zielmenge und einer Wertemenge.
Betrachten wir die Funktion: [mm] f:\IR \rightarrow \IR, x\rightarrow{}sin(x)
[/mm]
Die Zielmenge ist ganz [mm] \IR. [/mm] Aber die angenommenen Werte sind im Intervall [-1,1] (Wertemenge).
In diesem Fall ist die Funktion f also nicht surjektiv, denn, wie dein Prof es sagte nicht "alle Elemente aus dem Wertebereich Funktionswerte sind."
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Paivren |
Hey, danke für die schnelle Antwort!
Das würde doch aber dann bedeuten, dass Funktionen nur dann nicht surjektiv sind, wenn ein Intervall gegeben ist, durch das nur manche Werte des Wertebereichs einen x-Wert haben.
Und wenn kein Intervall gegeben ist?
[mm] f:\IR \rightarrow \IR, x\rightarrow{}sin(x)
[/mm]
Kann man dann sagen, die Funktion ist surjektiv?
Oder bedeutet das zweite [mm] \IR [/mm] bei [mm] f:\IR \rightarrow \IR [/mm] nur,
dass alle Funktionswerte INNERHALB [mm] \IR [/mm] liegen, nicht aber jedes Element aus [mm] \IR [/mm] auch ein Funktionswert ist?
leicht verwirrten Gruß
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Hi,
> Hey, danke für die schnelle Antwort!
>
> Das würde doch aber dann bedeuten, dass Funktionen nur
> dann nicht surjektiv sind, wenn ein Intervall gegeben ist,
> durch das nur manche Werte des Wertebereichs einen x-Wert
> haben.
Hier habe ich gerade einen Hänger und weiß nicht so recht, wie du es meinst.
>
> Und wenn kein Intervall gegeben ist?
> [mm]f:\IR \rightarrow \IR, x\rightarrow{}sin(x)[/mm]
> Kann man dann
> sagen, die Funktion ist surjektiv?
Obige Funktion ist nicht surjektiv.
Du kannst aber die Zielmenge einschränken:
[mm] g:\IR \rightarrow [/mm] [-1,1], [mm] x\rightarrow{}sin(x)
[/mm]
g ist damit surjektiv.
>
> Oder bedeutet das zweite [mm]\IR[/mm] bei [mm]f:\IR \rightarrow \IR[/mm]
> nur,
> dass alle Funktionswerte INNERHALB [mm]\IR[/mm] liegen, nicht aber
> jedes Element aus [mm]\IR[/mm] auch ein Funktionswert ist?
Richtig.
Man bildet von einer Menge X in die Menge Y ab. Dabei muss aber nicht jedes Element der Menge Y "benutzt" werden.
Hier mal etwas für dich zum Überlegen:
f: [mm] \IN \to \IN, [/mm] f(n)=2n
Ist f surjektiv?
g: [mm] \IN \to [/mm] {m: m gerade und positiv}, f(n)=2n
Ist g surjektiv?
>
>
> leicht verwirrten Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Paivren |
> Richtig.
> Man bildet von einer Menge X in die Menge Y ab. Dabei muss
> aber nicht jedes Element der Menge Y "benutzt" werden.
>
> Hier mal etwas für dich zum Überlegen:
> f: [mm]\IN \to \IN,[/mm] f(n)=2n
> Ist f surjektiv?
>
> g: [mm]\IN \to[/mm] {m: m gerade und positiv}, f(n)=2n
> Ist g surjektiv?
Der hintere Part war eh wichtiger :D
Ok...
Ich würde sagen, die erste Funktion ist nicht surjektiv.
Weil ich bei der Definitionsmenge kein y=1 herausbekomme, der Wertebereich aber aus ganz [mm] \IN [/mm] besteht.
Bei der zweiten würde ich "ja" sagen.
Wenn die Wertemenge aus geraden, positiven Zahlen besteht, kann jedwedes Element zustandekommen, da das doppelte einer positiven natürlichen Zahl stets positiv und gerade ist.
Richtig?
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> > Richtig.
> > Man bildet von einer Menge X in die Menge Y ab. Dabei
> muss
> > aber nicht jedes Element der Menge Y "benutzt" werden.
> >
> > Hier mal etwas für dich zum Überlegen:
> > f: [mm]\IN \to \IN,[/mm] f(n)=2n
> > Ist f surjektiv?
> >
> > g: [mm]\IN \to[/mm] {m: m gerade und positiv}, f(n)=2n
> > Ist g surjektiv?
>
> Der hintere Part war eh wichtiger :D
>
> Ok...
> Ich würde sagen, die erste Funktion ist nicht surjektiv.
> Weil ich bei der Definitionsmenge kein y=1 herausbekomme,
> der Wertebereich aber aus ganz [mm]\IN[/mm] besteht.
>
> Bei der zweiten würde ich "ja" sagen.
> Wenn die Wertemenge aus geraden, positiven Zahlen besteht,
> kann jedwedes Element zustandekommen, da das doppelte einer
> positiven natürlichen Zahl stets positiv und gerade ist.
>
> Richtig?
Richtig.
Bei der ersten noch: jede ungerade Zahl kann man nicht erreichen. Es existiert also kein n sodass f(n)=2k+1, [mm] k\in\IN [/mm] ist.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > > Richtig.
> > > Man bildet von einer Menge X in die Menge Y ab.
> Dabei
> > muss
> > > aber nicht jedes Element der Menge Y "benutzt" werden.
> > >
> > > Hier mal etwas für dich zum Überlegen:
> > > f: [mm]\IN \to \IN,[/mm] f(n)=2n
> > > Ist f surjektiv?
> > >
> > > g: [mm]\IN \to[/mm] {m: m gerade und positiv}, f(n)=2n
> > > Ist g surjektiv?
> >
> > Der hintere Part war eh wichtiger :D
> >
> > Ok...
> > Ich würde sagen, die erste Funktion ist nicht
> surjektiv.
> > Weil ich bei der Definitionsmenge kein y=1
> herausbekomme,
> > der Wertebereich aber aus ganz [mm]\IN[/mm] besteht.
> >
> > Bei der zweiten würde ich "ja" sagen.
> > Wenn die Wertemenge aus geraden, positiven Zahlen
> besteht,
> > kann jedwedes Element zustandekommen, da das doppelte einer
> > positiven natürlichen Zahl stets positiv und gerade ist.
> >
> > Richtig?
> Richtig.
> Bei der ersten noch: jede ungerade Zahl kann man nicht
> erreichen. Es existiert also kein n sodass f(n)=2k+1,
> [mm]k\in\IN[/mm] ist.
das letztere ist zwar schön und gut und auch interessant, aber für die
Nichtsurjektivität hat er es eigentlich tatsächlich schon absolut korrekt
begründet:
Er hat EIN Element des Wertebereichs (besser: Zielbereich) gefunden, für
das er sagen kann, dass es kein Element im Definitionsbereich mit der
Eigenschaft gibt, dass die Abbildung dieses auf das genannte Element
des Zielbereichs abbildet.
Nur mal rein formal (für den Fragesteller!):
Sei $f: A [mm] \to [/mm] B$ eine Abbildung, dabei seien [mm] $A,B\,$ [/mm] Mengen.
[mm] $A\,$ [/mm] heißt dann der Definitionsbereich von [mm] $f\,,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] heißt der Zielbereich von [mm] $f\,.$ [/mm]
(Hier wurde [mm] $B\,$ [/mm] auch Wertebereich genannt - das ist dann in dem Sinne
wohl gemeint, dass die Abbildung [mm] $f\,$ [/mm] nur Werte aus [mm] $B\,$ [/mm] annehmen
DARF, es heißt eben nicht, dass sie ALLE ELEMENTE AUS [mm] $B\,$ [/mm] auch
annimmt)!
Man sagt, dass [mm] $f\,$ [/mm] heißen möge, wenn es für jedes Element $b [mm] \in [/mm] B$
(MINDESTENS!) ein $a [mm] \in [/mm] A$ gibt mit [mm] $f(a)=b\,.$
[/mm]
Setzt man für $X [mm] \subseteq [/mm] A$ nun [mm] $f(X):=\{f(x): x \in X\}\,,$ [/mm] so ist [mm] $f\,$
[/mm]
genau dann surjektiv, wenn [mm] $f(A)=B\,,$ [/mm] oder auch, wenn $B [mm] \setminus f(A)=\emptyset\,.$
[/mm]
Ferner erkennt man, dass [mm] $f\,$ [/mm] genau dann nicht surjektiv ist, wenn es
(MINDESTENS!) ein [mm] $b_0 \in [/mm] B$ so gibt, dass für alle $a [mm] \in [/mm] A$ sicher
$f(a) [mm] \not=b_0$ [/mm] ist.
Analog könnte man (für die NICHT-Surjektivität) sagen: Es gibt ein
$B [mm] \ni b_0 \notin f(A)\,,$ [/mm] oder aber man sagt $B [mm] \setminus [/mm] f(A) [mm] \not=\emptyset\,.$
[/mm]
Und dass $f(n)=2n$ als Abbildung [mm] $\IN \to \IN$ [/mm] natürlich nicht surjektiv ist,
weil [mm] $f(\IN)$ [/mm] natürlich nur genau alle geraden natürlichen Zahlen enthält,
ist schön. Aber er hat schon recht: Er gibt eine natürliche Zahl an, nämlich
die (ungerade) Zahl [mm] $1\,,$ [/mm] die nicht in [mm] $f(\IN)$ [/mm] enthalten ist. Dass es derer
logischerweise natürlich noch viel mehr gibt, ist bzgl. der Frage, ob [mm] $f\,$
[/mm]
surjektiv ist, dann nicht wirklich interessant!
P.S.
Man siehe auch ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung und Definition 1.7 hier (klick!),
allerdings unter der Kenntnisnahme, dass dort das Wert "Wertebereich"
auch wirklich in dem Sinne von "angenommenen Werten" verwendet wird.
Mit diesen dort stehenden Begrifflichkeiten ist eine Abbildung $f: A [mm] \to [/mm] B$
genau dann surjektiv, wenn das Bild des Definitionsbereichs [mm] $A\,$ [/mm] unter
[mm] $f\,$ [/mm] der (ganze) Zielbereich ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Marcel,
schöne mathematische Erläuterung.
Ich bestätigte ja seine Aussage. Meine weiterer Kommentar war nur Add-on. Mir ist durchaus bewusst, dass es reicht, nur ein Element zu finden.
Da will man als Physiker mal was raushauen und dann ist es wieder zu viel ;) - lach.
Sei lieb gegrüßt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Richie,
> Hallo Marcel,
>
> schöne mathematische Erläuterung.
>
> Ich bestätigte ja seine Aussage. Meine weiterer Kommentar
> war nur Add-on. Mir ist durchaus bewusst, dass es reicht,
> nur ein Element zu finden.
mir war bewußt, dass Dir das bewußt ist, aber Paivren könnte sonst
evtl. auf den Gedanken kommen: "Hmmm, muss ich alle Elemente
benennen können, um Nichtsurjektivität zu zeigen?"
Ich kenne solche Reaktionen gerade auf solche Add-Ons... deswegen
kommentiere ich da auch immer ganz stark, dass das nur ein
Zusatz ist!
> Da will man als Physiker mal was raushauen und dann ist es
> wieder zu viel ;) - lach.
Na, zuviel würde ich nicht sagen. Ich wollte nur direkt eine Entwicklung
verhindern, die stattfinden könnte. 
> Sei lieb gegrüßt.
Du auch, danke!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Dazu ist wohl das Forum da. Dass andere auf andere aufpassen, Marcel.
In deinen Beweggründen kann ich dich dadurch gut verstehen und unterstützen.
Damit sollte die Frage gut und sicher beantwortet sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Paivren,
> >
> > g: [mm]\IN \to[/mm] {m: m gerade und positiv}, f(n)=2n
> > Ist g surjektiv?
>
>
> Bei der zweiten würde ich "ja" sagen.
> Wenn die Wertemenge aus geraden, positiven Zahlen besteht,
> kann jedwedes Element zustandekommen, da das doppelte einer
> positiven natürlichen Zahl stets positiv und gerade ist.
>
> Richtig?
Das "ja" ist richtig, die Begündung nicht. Eine richtige Begründung wäre:
Liegt $n$ im Wertebereich, so liegt $n/2$ im Definitionsbereich und wird auf $n$ abgebildet.
Du hast dagegen gezeigt, daß jeder Funktionswert im Wertebereich liegt. Dies ist bei jeder Funktion so, das heißt, anderenfalls wäre $g$ gar keine Funktion.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 19:29 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Danke Wolfgang für nochmaliges kritische Nachlesen!
Liebe Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Paivren,
der Wertebereich ist nicht, wie man meinen könnte, die Menge aller Funktionswerte, sondern die Menge rechts vom Pfeil in der folgenden Definition einer Funktion $f$:
[mm] $f\colon A\to [/mm] B$
Die Menge $A$ ist der Definitionsbereich, die Menge $B$ der Wertebereich. Die Funktion
[mm] $g:\IR\to\IR, x\mapsto x^2$
[/mm]
ist nicht surjektiv, aber die Funktion
[mm] $h:\IR\to [0;\infty), x\mapsto x^2$
[/mm]
ist surjektiv. (Hierbei ist $[0; [mm] \infty)$ [/mm] die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen.)
Verständlicher ist der Begriff Zielmenge, der gleichbedeutend mit Wertebereich ist (jedenfalls bei vielen Autoren). Die Funktion zielt auf die Zielmenge und ist surjektiv, wenn sie dort jedes Element trifft.
Grüße
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Paivren |
Vielen Dank für das Beispiel Richie,
und deine erweiternden Ausführungen Wolfgang.
Jetzt habe ich es verstanden... mein Fehler lag in meiner Definition von Wertebereich.
Im Matheunterricht wurde immer gesagt, der Wertebereich sei die Menge aller Funktionswerte, was ja nicht zwingend korrekt ist.
Schönen Abend noch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Paivren,
> Vielen Dank für das Beispiel Richie,
> und deine erweiternden Ausführungen Wolfgang.
>
> Jetzt habe ich es verstanden... mein Fehler lag in meiner
> Definition von Wertebereich.
> Im Matheunterricht wurde immer gesagt, der Wertebereich
> sei die Menge aller Funktionswerte, was ja nicht zwingend
> korrekt ist.
das ist dann korrekt, wenn man es so definiert. Achte immer drauf, wie
die Begriffe in Eurer Vorlesung definiert werden - das kann auch schon
mal von "Schulmathe" abweichen - zudem sogar von anderen Vorlesungen
und selbst in den gängigsten Mathebüchern findet man Unterschiede bei
Definitionen!
Insbesondere sind nämlich nicht alle Funktionen, die man nur zeichnen
kann, wenn man den Stift absetzt, unstetig. Folgen sind etwa etwas
ziemlich stetiges!! (Und da gibt's auch noch einige andere Funktionen, wo
man's vielleicht nicht glauben würde...) Insbesondere gibt's auch eine
Funktion, gar nicht mal schwer hinzuschreiben, die etwa genau in [mm] $0\,$ [/mm]
stetig ist - aber: wie "zeichnet man die denn Nullnahe, ohne den Stift
abzusetzen" - ist die dann doch zeichnerisch unstetig? Oder wie würden
da Mathelehrer "mit Stiftabsetzen-Argumenten" argumentieren wollen?
Gruß,
Marcel
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