Definition: Wohlordnung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 So 13.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Was bedeutet es, dass eine Menge fundiert ist? |
Hi, ich habe eine Frage zur Definition einer Wohlordnung.
Laut unserer Definition ist eine Wohlordnung eine fundierte, lineare Ordnung.
Und die Definition von fundiert verstehe ich leider nicht so recht:
Sei A eine Menge und sei R eine zweistellige Relation auf A. Dann heißt R fundiert genau dann wenn für alle [mm] $B\subset [/mm] A, [mm] B\neq\emptyset$, [/mm] ein [mm] $x\in [/mm] B$ existiert so, dass für kein [mm] $y\in B\quad (y,x)\in [/mm] R$ gilt.
Für mich heißt diese Definition, dass es eben keine Elemente gibt, die innerhalb einer Teilmenge in Relation zu einander stehen.
Orientiere ich mich hierbei zu stark an dem Fundierungsaxiom? Das besagt ja, dass es keine unendlich absteigenden Folgen gibt, und irgendwie ist das für mich nicht das selbe.
Könnte mir jemand erklären was die Definition für "fundiert" aussagt?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 So 13.07.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo YuSul!
> Was bedeutet es, dass eine Menge fundiert ist?
> Hi, ich habe eine Frage zur Definition einer Wohlordnung.
>
> Laut unserer Definition ist eine Wohlordnung eine
> fundierte, lineare Ordnung.
>
> Und die Definition von fundiert verstehe ich leider nicht
> so recht:
>
> Sei A eine Menge und sei R eine zweistellige Relation auf
> A. Dann heißt R fundiert genau dann wenn für alle
> [mm]B\subset A, B\neq\emptyset[/mm], ein [mm]x\in B[/mm] existiert so, dass
> für kein [mm]y\in B\quad (y,x)\in R[/mm] gilt.
>
> Für mich heißt diese Definition, dass es eben keine
> Elemente gibt, die innerhalb einer Teilmenge in Relation zu
> einander stehen.
Nein, die Definition besagt, dass (mindestens) ein Element gibt, dass zu keinem anderen in Relation steht.
> Orientiere ich mich hierbei zu stark an dem
> Fundierungsaxiom? Das besagt ja, dass es keine unendlich
> absteigenden Folgen gibt, und irgendwie ist das für mich
> nicht das selbe.
> Könnte mir jemand erklären was die Definition für
> "fundiert" aussagt?
Ich lese diese Definition so: Eine Menge A mit einer Relation R heißt fundiert, wenn es für jede nichtleere Teilmenge [mm]B\subset A[/mm] ein "kleinstes" Element bzgl. R gibt, d.h. es gibt ein Element, das mit keinem Anderen in Relation steht.
Beispiel: Die natürlichen Zahlen mit der Relation >: .... 6>5>4>3>2>1
Such dir eine beliebige Teilmenge aus - z.B. [mm]\{5,8,13,19,27,28,99,1002\}[/mm] - diese Menge ist nicht leer und zum Element 5 gibt es kein anderes Element x, für das 5>x gilt.
(Mit der Relation < wird aus dem "kleinsten" Element ein "größtes" Element... Ich würde es vielleicht eher als "Randelement" bezeichnen.)
Gegenbeispiel: [mm]\mathbb F_5=\{0,1,2,3,4\}[/mm] mit der Relation >: ...>4>3>2>1>0>4>....
Lieben Gruß,
Fulla
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> Gegenbeispiel: [mm]\mathbb F_5=\{0,1,2,3,4\}[/mm] mit der Relation
> >: ...>4>3>2>1>0>4>....
Das ist keine Relation. Wenn man aber davon ausgeht, dass in dieser Zeichenkette jedes Element, das links von einem anderen mit diesem in Relation steht, erhält man trotzdem keine Ordnung, weil $4>4$ nicht gleichzeitig mit $4=4$ gelten kann.
Außerdem finde ich die Erklärung einer fundierten Ordnung nicht gut, weil wenn eine solche nicht linear ist, es eben genau nicht richtig sein muss, dass nichtleere Teilmengen ein kleinstes Element zu haben brauchen. Sonst bräuchte man zwischen fundiert- und wohlgeordneten Mengen ja nicht zu unterscheiden.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:56 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Fulla |
Danke, UniversellesObjekt, für die Korrektur!
Mein "Gegenbeispiel" hab ich wohl zu unüberlegt hingeklatscht.
Und ich muss zugeben, ich habe mir nicht den Unterschied zwischen "wohlgeordnet" und "fundiert" angeschaut.
Vielleicht weiß ja jemand anderer besser bescheid, daher stell ich die ursprüngliche Frage mal auf halbbeantwortet.
Lieben Gruß,
Fulla
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Eine Ordnung ist genau dann fundiert, wenn es keine unendlich ansteigenden Ketten gibt. Das hat mit dem Fundierungsaxiom nichts zu tun, man braucht lediglich Auswahlen. Das beweist man genau wie das Resultat, welches man erhält, wenn man "Ordnung" durch "lineare Ordnung" und "fundiert geordnet" durch "wohlgeordnet" ersetzt.
Bei euch scheint man auch nicht-Ordnungen fundiert nennen zu können. Das ist allerdings sehr unüblich. Ich denke es reicht, wenn du die fundierten Ordnungen im Hinterkopf hast. Für wohlfundierte Ordnungen, die nicht wohlgeordnet sind, gibt es eine Reihe von Beispiele auf Wikipedia. Ansonsten findest du im ![[]](/images/popup.gif) nLab noch sehr viele Informationen. Dort sind übrigens fundierte Relationen nicht notwendig Ordnungen. Dies macht jede Menge mit der Elementrelation fundiert, so will es das Fundierungsaxiom.
Liebe Grüße,
Universelles Objekt
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