Definition der Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich studiere Wirtschaftsinformatik und wir behandeln gerade das Thema Folgen und Reihen. Leider ist mir der Begriff der Konvergenz ein Rätsel. Daher meine Frage: " Kann mir vielleicht jemand erklären was die Konvergenz genau aussagt und wie ich beweisen kann, dass z.B. 2 Folgen konvergent sind."
Da dies mein erster Artikel in diesem Forum ist hoffe ich dass ich die Frage korrekt und verständlich formuliert habe, sonst sagt mir bitte Bescheid.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Julinchen,
also: vereinfacht gesagt, untersucht man bei der "Konvergenz" das, was eine Folge macht, wenn man immer größere Werte für n einsetzt, also n gegen Unendlich gehen lässt.
Wenn eine Folge "konvergent" ist, dann hat sie für n [mm] \to \infty [/mm] einen Grenzwert (endliche Zahl!).
Bei einer Funktion würdest Du sagen: Der Graph dieser Funktion hat eine waagrechte Asymptode.
(Beispiel : Die Normalhyperbel mit der Gleichung y= [mm] \bruch{1}{x}. [/mm]
Die nähert sich für [mm] x\to \infty [/mm] der Geraden mit der Gleichung y=0, also der x-Achse)
Zwischenfrage: Hilft Dir das, oder erklär' ich auf zu niedrigem Niveau?
Antwort erwartend
aber viele Grüße sendend:
Zwerglein
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@ Zwerglein: Nein du erklärst das wirklich gut, das hilft mir viel besser, als eine rein mathematische Definition. Vielleicht kannst du mir das ja sonst auch nochmal an einem kleinen Beispiel näher bringen, wenn du Zeit hast.
@ Loddar: Danke für den Tipp, das ist wirklich toll hier mit den vielen Funktionen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Di 08.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julinchen,
hast Du vielleicht ein eigenes Beispiel, an dem wir Dir das erklären können.
Dann hast du gleich eine eigene Aufgabe gelöst und wir wissen, mit welchen Funktionen oder Folgen Ihr gerade arbeitet.
Gruß
Loddar
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Hallo,
also wir haben 4 verschiedene Wege gehabt in der Vorlesung, die ich eigentlich alle gerne wiederholen würde. Das ist jetzt vielleicht etwas viel verlangt, aber ich stell die 4 Aufgabentypen mal hier rein und dann können wir das ja vielleicht gemeinsam an ein oder zwei Beispielen machen.
Verwenden Sie das Majorantenkriterium um die Konvergenz/Divergenz von folgender Reihe zu zeigen: [mm] \sum_ [/mm][mm]\bruch{1}{k+k^2+k^3}[/mm]
Verwenden Sie das Wurzelkriterium um die Konvergenz/Divergenz von folgender Reihe zu zeigen: [mm]\sum_[/mm][mm]\left( 1+\bruch{1}{k} \right)^{-k*k} [/mm]
Verwenden Sie das Quotientenkriterium um die Konvergenz/Divergenz von folgender Reihe zu zeigen:[mm]\sum_[/mm][mm]\left( \bruch{2^k}{k!} \right)[/mm]
Verwenden Sie das Leibniz Kriterium um die Konvergenz/Divergenz von folgender Reihe zu zeigen:[mm]\sum_[/mm][mm](-1)^{k+1}*x^{2k}[/mm]
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Hallo Loddar,
das ist ja super, ich glaube ich beginne so langsam zu verstehen, was bei diesen Aufgaben passiert. Vielen Dank schonmal soweit.
Ich habe nun versucht noch eine andere Aufgabe selbst zu lösen und komme jetzt kurz vor Schluss nicht weiter, vielleicht bekommst du meinen Fehler ja raus?
Wir haben folgende Reihe:
[mm]\sum_[/mm][mm]\left( \bruch{(-1)^k*k^{\bruch{1}{2}}}{k!} \right)[/mm]
[mm]a_k[/mm] = [mm]\left( \bruch{(-1)^k*k^{\bruch{1}{2}}}{k!} \right)[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm] \left| \ \bruch{\bruch{(-1)^{k+1}*(k+1)^{\bruch{1}{2}}}{(k+1)!}}{\bruch{(-1)^k*k^{\bruch{1}{2}}}{k!}} \ \right|
[/mm]
= [mm] \left| \ \bruch{(-1)^{k+1}*(k+1)^{\bruch{1}{2}}*k!}{(-1)^k *k^{\bruch{1}{2}}*(k+1)!} \ \right| [/mm]
so meine weiteren Überlegungen enden da, dass sich ja 2 Wurzeln ergeben, aber sich dann nichts weiter kürzen lässt?? Habe ich den falschen Ansatz gewählt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Di 08.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julinchen,
folgende Umformungen kannst Du noch vornehmen:
[mm] $(-1)^{k+1} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] (-1)^1$
[/mm]
$(k+1)! \ = k! * (k+1)$
Zudem gilt ja:
[mm] $\bruch{a^{\bruch{1}{2}}}{a} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a^{\bruch{1}{2}}}{a^1} [/mm] \ = \ [mm] a^{\bruch{1}{2}} [/mm] * [mm] a^{-1} [/mm] \ = \ [mm] a^{\bruch{1}{2}-1} [/mm] \ = \ [mm] a^{- \bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a^{\bruch{1}{2}}}$
[/mm]
Sowie:
[mm] $a^m [/mm] * [mm] b^m [/mm] \ = \ [mm] (a*b)^m$
[/mm]
Also nun noch kürzen und zusammenfassen...
Kommst Du nun weiter mit diesen Hinweisen?
Wie lautet dann Dein Ergebnis?
Loddar
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Hallo Loddar,
diese Umformung kannte ich nicht.
> Zudem gilt ja:
> [mm]\bruch{a^{\bruch{1}{2}}}{a} \ = \ \bruch{a^{\bruch{1}{2}}}{a^1} \ = \ a^{\bruch{1}{2}} * a^{-1} \ = \ a^{\bruch{1}{2}-1} \ = \ a^{- \bruch{1}{2}} \ = \ \bruch{1}{a^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
Daraus folgt für mich dann:
[mm]\bruch{(-1)^k*(-1)^1*(k+1)^{\bruch{1}{2}}*k!}{(-1)^k*k^{\bruch{1}{2}}*k!*(k+1)}[/mm]
Nach kürzen und Anwendung der Regel von dir folgt:
[mm]\bruch{(-1)^1*(k+1)^{-\bruch{1}{2}}}{k^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
Und dann:
[mm]\bruch{(k-1)^{-\bruch{1}{2}}}{k^{\bruch{1}{2}}}[/mm]
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Hallo,
die Reihe ist konvergent, da ab k=2 gilt: [mm] \left| \bruch{1}{\wurzel{k \cdot{} (k+1)}} \ \right| [/mm] < [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
Ich hoffe ich bekomme jetzt diesen ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Smiley, denn dann habe ich dieses Kriterium zumindest schonmal verstanden!!
LG
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Di 08.02.2005 | | Autor: | Loddar |
> Verwenden Sie das Leibniz Kriterium um die
> Konvergenz/Divergenz von folgender Reihe zu
> zeigen:[mm]\sum_[/mm][mm](-1)^{k+1}*x^{2k}[/mm]
Für das Leibniz-Kriterium sind zwei Punkte einzuhalten (notwendige Kriterien):
[1] Es muss eine alternierende Folge vorliegen (d.h. die Vorzeichen der einzelnen Folgenglieder wechseln sich immer ab).
Das Kriterium ist bei unserer Aufgabe erfüllt, wegen [mm] "$(-1)^{k+1}$".
[/mm]
[2] Die vorliegende Folge [mm] $a_k$ [/mm] muss eine Nullfolge sein (d.h. der Grenzwert der Folge muss 0 sein: [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} a_k [/mm] \ = \ 0$ ).
[3] Die vorliegende Folge [mm] $\blue{a_k}$ [/mm] muss monoton fallend sein: [mm] $\blue{a_{k+1} \ \le \ a_k}$ [/mm] .
Dies' ist für unsere Aufgabe noch zu überprüfen.
Wann bzw. für welche $x$ gilt also: [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} a_k [/mm] \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \left( x^{2k} \right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \left( x^{2} \right)^k [/mm] \ = \ 0$ ??
Loddar
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Hallo,
Das ist doch z.B. für x=0 der Fall oder?
LG
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Di 08.02.2005 | | Autor: | Loddar |
> Das ist doch z.B. für x=0 der Fall oder?
Da hast Du recht, aber das ist doch etwas trivial, oder?
Da ergibt sich ja: [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \left[ (-1)^{k+1} * 0^{2k} \right] [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] 0 \ = \ 0$
Es gibt aber noch mehr Werte für $x$, für die [mm] $a_k$ [/mm] eine Nullfolge wird.
Denk' mal Richtung geometrische Folge ...
Loddar
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Hallo Loddar,
die Definition der geometrischen Reihe sagt ja aus, dass 2 aufeinanderfolgende Glieder dasselbe Verhältnis haben.
Eine Nullfolge ist genau dann eine Nullfolge, wenn der Grenzwert der Folge gegen 0 konvergiert.
In unserem Beispiel konvergiert die Folge dann für alle x >1 gegen 0, oder?
So habe ich die geometrische Reihe verstanden, nur leider wäre es so sicherlich kein Beweis.
LG und vielen Dank für deine Geduld mit mir
Julia
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Puh,
ich hab das Zeichen vertüddelt, ich meinte eigentlich auch x<1!! Aber trotzdem super, dass du das nochmal durchgegangen bist, vielen Dank.
Nun sind die beiden Bedingungen also erfüllt. Das heißt meine Reihe ist konvergent, richtig??
LG
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Di 08.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
> Nun sind die beiden Bedingungen also erfüllt. Das heißt
> meine Reihe ist konvergent, richtig??
Da in unserer Aufgabe lediglich ein "$x$" angegeben ist, mußt Du eine Fallunterscheidung machen für:
[1] [mm] $\left| x \right| [/mm] < 1$
und
[2] [mm] $\left| x \right| \ge [/mm] 1$
Klar?
Loddar
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Hallo Loddar,
zusammenfassend lässt sich also sagen, dass unsere Reihe für:
[1] [mm] \left| x \right| [/mm] < 1 konvergiert
und für :
[2] [mm] \left| x \right| \ge [/mm] 1 divergiert, da wir für alle x<1 keine Nullfolge erhalten und somit eines der Leibniz Kriterien nicht erfüllt ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Di 08.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Für das Wurzelkriterium mußt Du untersuchen:
[mm] $\wurzel[k]{\left| \ a_k \ \right| }$
[/mm]
Auch hier wieder:
- "$< 1$" [mm] $\Rightarrow$ [/mm] konvergent
- "$> 1$" [mm] $\Rightarrow$ [/mm] divergent
- "$= 1$" [mm] $\Rightarrow$ [/mm] keine Aussage möglich
> Verwenden Sie das Wurzelkriterium um die
> Konvergenz/Divergenz von folgender Reihe zu zeigen:
> [mm]\sum_[/mm][mm]\left( 1+\bruch{1}{k} \right)^{-k*k}[/mm]
Für unsere Aufgabe mußt Du untersuchen:
[mm] $\wurzel[k]{\left| \ \left( 1+\bruch{1}{k} \right)^{-k*k} \ \right| }$
[/mm]
$= \ [mm] \left| \ \left( 1+\bruch{1}{k} \right)^{-k} \ \right|$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{\left| \ \left( 1+\bruch{1}{k} \right)^{k} \ \right|}$
[/mm]
usw.
Loddar
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Hallo Loddar,
daraus lässt sich ja dann wiederum schließen, dass die Reihe konvergent ist. Wow das Thema ist ja gar nicht soooooooooooooo schwer wie ich dachte.
Auch hier nochmal vielen Dank für deine Mühe, du hast mir sehr weiter geholfen.
LG
julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Di 08.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
> daraus lässt sich ja dann wiederum schließen, dass die
> Reihe konvergent ist.
> Wow das Thema ist ja gar nicht soooooooooooooo schwer
> wie ich dachte.
Man muß halt lediglich wissen, mit welchem Kriterium man arbeiten muß.
Grüße
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Di 08.02.2005 | | Autor: | Julinchen |
Hallo,
stimmt, nur da hoffe ich, dass das in der Klausur vorgegeben wird, denn an der Reihe an sich werde ich es wohl nicht erkennen können, welches Kriterium ich nutzen sollte.
LG
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Di 08.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Sieh' Dir mal Deine einzelnen Aufgaben an. Dann wirst Du vielleicht erkennen, für welchen Typ der Folgen [mm] $a_k$ [/mm] Du welches Kriterium anwenden mußt.
Alternierende Folgen schreien ja fast nach dem Leibniz-Kriterium.
Wenn Du Folgen hast, die nur aus Produkten und/oder Divisionen (Brüche in faktorisierter Form) bestehen, ist das ein Hinweis auf das Quotientenkriterium.
Bei Folgen mit der Zählervariable ($k$ oder $n$) im Exponenten bietet sich natürlich das Wurzelkriterium an.
All' diese sind natürlich keine Verpflichtungen, aber man erhält dadurch schon einen Hinweis auf das anzuwendende Kriterium.
Zudem gibt es auch Folgen, bei dem man mit mehreren Kriterien zum Ziel kommt.
Grüße
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Di 08.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julia!
Für das Majorantenkriterium mußt Du gegen Folge(n) [mm] $b_k$ [/mm] abschätzen, bei denen bekannt ist, ob die entsprechende Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} b_k$ [/mm] konvergent ist.
In unserem Falle bietet sich da vielleicht [mm] $b_k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k^2}$ [/mm] an.
Loddar
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Hallo nochmal,
ich habe jetzt mal ein bisschen probiert, aber komme zu keiner gescheiten Lösung. Wenn man sagt abschätzen gegen eine Reihe von der man weiss, dass sie konvergiert sieht man ja so, dass in unserem Fall die Reihe konvergent ist. Somit strebt der Grenzwert gegen 0?
Aber wie soll man das nun genau beweisen, denn groß was rechnen kann man da ja nicht, oder mache ich dort jetzt einen Denkfehler??
LG
Julia
PS: So langsam finde ich das Thema spannend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Do 10.02.2005 | | Autor: | Julinchen |
Hallo Loddar,
viele Dank, fürs Erklären und deine Geduld mit mir. Bin leider nicht unbedingt ein Mathe Genie, aber jetzt hab ich diesen Teil der Klausur schonmal verstanden.
![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]") Fehlen mir nur noch so Sachen wie Cauchyfolgen, Folgen allgemein und vor allem Integrale etc...
Naja schaun wir mal.
Lieben Gruss
Julia
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Konvergenz
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Majoranten-Kriterium![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Einen konkreten Grenzwert kann man mit diesen beiden Konvergenz-Kriterien nicht ermitteln.
