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Forum "Folgen und Reihen" - Definition des Granzwerts
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Definition des Granzwerts: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Fr 17.11.2006
Autor: Leni-H

Aufgabe
Zeigen Sie mit der Definition des Grenzwerts, dass die Folge [mm] a_{n}=(1-1/n^{2})^n [/mm] gegen a=1 konvergiert.

Hallo!

Ich weiß, dass die Definition des Grenzwerts folgendermaßen lautet: Für alle ε>0 existiert ein N, so dass für alle n>N gilt: |an-a|<ε.
Aber ich weiß nicht genau, wie ich N bestimmen soll, so dass dies gilt. Könnt ihr mir vielleicht helfen? Wäre echt super!

LG Leni

        
Bezug
Definition des Granzwerts: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:41 Fr 17.11.2006
Autor: angela.h.b.


> Zeigen Sie mit der Definition des Grenzwerts, dass die
> Folge [mm]a_{n}=(1-1/n^{2})^n[/mm] gegen a=1 konvergiert.
>  Hallo!
>  
> Ich weiß, dass die Definition des Grenzwerts folgendermaßen
> lautet: Für alle ε>0 existiert ein N, so dass für alle
> n>N gilt: |an-a|<ε.
>  Aber ich weiß nicht genau, wie ich N bestimmen soll, so
> dass dies gilt.

Hallo,

daß Du die Definition aufschreiben kannst, ist ja schonmal Gold wert.

Starte so:

Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0,   sei N>...        (Das läßt Du zunächst offen. Die Lücke kannst Du später füllen.)

Es ist | [mm] a_n-a [/mm] | =| [mm] (1-1/n^{2})^n-1| [/mm] =....<....

Nun schätzt Du munter ab.
Dazu ist es sinnvoll, zu wissen, daß [mm] (1-1/n^{2})^n<1 [/mm] ist, und die bernoulli-Ungleichung zu kennen.

Wenn Du genügend abgeschätzt hast, wirst Du sehen, welches N paßt, das schreibst Du dann oben hin.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Definition des Granzwerts: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:57 Sa 18.11.2006
Autor: Leni-H

Hallo Angela!

Danke mal für deinen Tipp. Mit der Bernoulli-Ungleichung hab ich es auch schon versucht, komm aber nicht richtig weiter.

Es ist ja [mm] |(1-(1/n^2))^n-1| [/mm] > |1-(1/n)-1|, also
              [mm] |(1-(1/n^2))^n-1| [/mm] > |-(1/n)|

Aber ich brauch ja eigentlich nach |an-a| ein "Kleinerzeichen", damit ich nachher sagen kann, dass es kleiner als E ist, oder?

LG Leni

Bezug
                        
Bezug
Definition des Granzwerts: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Sa 18.11.2006
Autor: angela.h.b.


>  
> Es ist ja [mm]|(1-(1/n^2))^n-1|[/mm] > |1-(1/n)-1|, also
>                [mm]|(1-(1/n^2))^n-1|[/mm] > |-(1/n)|



Mit irgendwelchen Abschätzereien in Beträgen wäre ich immer sehr, sehr vorsichtig.  (Die oben ist falsch. Du behauptest so etwas wie |5-7|>|3-7| was offensichtlich nicht stimmt.)

Aaaaaaber: wenn Du $ [mm] (1-1/n^{2})^n<1 [/mm] $ berücksichtigst, kannst Du die Betragsstriche in [mm] |(1-(1/n^2))^n-1| [/mm]  ja ganz einfach loswerden.

[mm] |(1-(1/n^2))^n-1|=... [/mm] ?

Wenn Dir das gelungen ist, macht Dir Bernoulli keine Scherereinen mehr mit der Richtung der Abschätzung.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Definition des Granzwerts: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 Sa 18.11.2006
Autor: Leni-H

Hi Angela!

Ist es dann richtig wenn ich sag, dass der Betrag dann als [mm] -(1-(1/n^2)^n)+1 [/mm] geschrieben werden kann, da [mm] 1-(1/n^2)-1 [/mm] ja negativ wird!?!?

Dann hätt ich gesagt:

[mm] -(1-(1/n^2)^n+1 [/mm] < (1/n) < (1/N) < E

Also müsste N> oder = (1/E) sein....

Strimmt das???

Bezug
                                        
Bezug
Definition des Granzwerts: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Sa 18.11.2006
Autor: angela.h.b.


>
> Also müsste N> oder = (1/E) sein....
>  
> Strimmt das???  

Genauso hatte ich das für Dich geplant!

Gruß v. Angela

Bezug
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