Definition einer Richtung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] a\in \mathbb [/mm] R. Definieren sie auf einer geeignet gewählten Menge X [mm] \subset \mathbb [/mm] R eine Richtung [mm] \succ, [/mm] so dass für alle [mm] x,y\in [/mm] X gilt: x [mm] \succ [/mm] y genau dann, wenn x liegt näher an a als y. |
Sei [mm] X:=\mathbb R^{+} [/mm] und (X,>) eine Menge mit Richtung.
x > y [mm] \Leftrightarrow [/mm] f(x)-a < f(y)-a
Sei f(x)=1/x+a
für a=0 sieht das ganze ja so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
und würde ja damit alles erfüllen und zwar für jedes a.
Ist dem so?
Wäre ich dann schon fertig? Oder verstehe ich vielleicht die Aufgabe sogar vollkommen falsch?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Es sei [mm]a\in \mathbb R[/mm]. Definieren sie auf einer geeignet
> gewählten Menge X [mm]\subset \mathbb R[/mm] eine Richtung [mm]\succ,[/mm]
> so dass für alle [mm]x,y\in[/mm] X gilt: x [mm]\succ[/mm] y genau dann, wenn
> x liegt näher an a als y.
> Sei [mm]X:=\mathbb R^{+}[/mm] und (X,>) eine Menge mit Richtung.
> x > y [mm]\Leftrightarrow[/mm] f(x)-a < f(y)-a
> Sei f(x)=1/x+a
>
> für a=0 sieht das ganze ja so aus:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> und würde ja damit alles erfüllen und zwar für jedes a.
> Ist dem so?
> Wäre ich dann schon fertig? Oder verstehe ich vielleicht
> die Aufgabe sogar vollkommen falsch?
Hallo Nadelspitze,
ich sehe nicht, was du hier mit der Funktion f anstellen willst.
Die Definition der "Richtung" bzw. "Relation" [mm] \succ [/mm] ist von a
abhängig. Man kann sie also nicht so definieren, dass die
Definition für alle a passt.
Um das "x liegt näher an a als y" zu beschreiben, brauchst
du die Beträge |x-a| und |y-a| . Die entstehende Ungleichung
lässt sich aber auch auf eine betragsfreie Form bringen.
Als Menge X kann man meiner Ansicht nach ganz [mm] \IR [/mm] nehmen.
Sollen beide Abstände |x-a| und |y-a| noch positiv bleiben,
dann nimm [mm] X:=\IR\smallsetminus\{a\}
[/mm]
LG Al-Chw.
Bemerkung: Damit die Menge X wirklich zu einer gerichteten
Menge im Sinne von ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia: Gerichtete Menge wird,
müsste man das "liegt näher an a" wohl von einer starken zu
einer schwachen Ungleichung (also mit "<=" anstelle von "<")
abändern. Andernfalls gilt die Reflexivität nicht.
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> Hallo Nadelspitze,
>
> ich sehe nicht, was du hier mit der Funktion f anstellen
> willst.
>
> Die Definition der "Richtung" bzw. "Relation" [mm]\succ[/mm] ist
> von a
> abhängig. Man kann sie also nicht so definieren, dass
> die
> Definition für alle a passt.
>
> Um das "x liegt näher an a als y" zu beschreiben,
> brauchst
> du die Beträge |x-a| und |y-a| . Die entstehende
> Ungleichung
> lässt sich aber auch auf eine betragsfreie Form bringen.
also um x [mm] \succ [/mm] y muss gelten |x-a| [mm] \le [/mm] |y-a| richtig? (da ja x-a die differenz von x und a ist, die ja kleiner sein soll.
um die Betragsstriche verschwinden zu lassen, könnte ich das ganze ja quatrieren:
[mm] (x-a)^2\le(y-a) [/mm] -> [mm] x^2-ax+a^2\le y^2-ya+a^2 [/mm] -> [mm] x^2-ax\le y^2-ya
[/mm]
aber irgendwie bringt mich das nicht wirklich weiter
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> > Um das "x liegt näher an a als y" zu beschreiben,
> > brauchst
> > du die Beträge |x-a| und |y-a| . Die entstehende
> > Ungleichung
> > lässt sich aber auch auf eine betragsfreie Form
> bringen.
>
> also um x [mm]\succ[/mm] y muss gelten |x-a| [mm]\le[/mm] |y-a| richtig? (da
> ja x-a die differenz von x und a ist, die ja kleiner sein
> soll.
Ja.
> um die Betragsstriche verschwinden zu lassen, könnte ich
> das ganze ja quadrieren: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm](x-a)^2\le(y-a)[/mm] -> [mm]x^2-ax+a^2\le y^2-ya+a^2[/mm] -> [mm]x^2-ax\le y^2-ya[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Binomische Formeln ? (da war doch irgendwo noch so ein Faktor 2 ...)
> aber irgendwie bringt mich das nicht wirklich weiter
Was ist denn noch verlangt ?
Es ist wohl einfach noch zu bestätigen, dass durch diese
Festlegung jetzt eine "Richtung" definiert ist (Verifizieren
der Axiome).
LG Al-Chw.
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> > > Um das "x liegt näher an a als y" zu beschreiben,
> > > brauchst
> > > du die Beträge |x-a| und |y-a| . Die entstehende
> > > Ungleichung
> > > lässt sich aber auch auf eine betragsfreie Form
> > bringen.
> >
> > also um x [mm]\succ[/mm] y muss gelten |x-a| [mm]\le[/mm] |y-a| richtig? (da
> > ja x-a die differenz von x und a ist, die ja kleiner sein
> > soll.
>
> Ja.
>
> > um die Betragsstriche verschwinden zu lassen, könnte ich
> > das ganze ja quadrieren:
>
> > [mm](x-a)^2\le(y-a)[/mm] -> [mm]x^2-ax+a^2\le y^2-ya+a^2[/mm] -> [mm]x^2-ax\le y^2-ya[/mm]
>
ups...
[mm](x-a)^2\le(y-a)[/mm] -> [mm]x^2-2ax+a^2\le y^2-2ya+a^2[/mm] -> [mm]x^2-2ax\le y^2-2ay[/mm]
> Was ist denn noch verlangt ?
> Es ist wohl einfach noch zu bestätigen, dass durch diese
> Festlegung jetzt eine "Richtung" definiert ist
> (Verifizieren
> der Axiome).
Also Trasitivität und Reichhaltigkeit richtig?
Transitivität:
Sei x,y,z [mm] \in [/mm] X
und es gilt x [mm] \succ [/mm] y und y [mm] \succ [/mm] z
dann folgt auch oben genannten
[mm] x^2-2ax\le y^2-2ay
[/mm]
und
[mm] y^2-2ay\le z^2-2az
[/mm]
also auch
[mm] x^2-2ax\le z^2-2az [/mm] da [mm] x^2-2ax
[/mm]
-> x [mm] \succ [/mm] z
Reichhaltigkeit:
Zu y,x [mm] \in [/mm] X gibt es ein z [mm] \in [/mm] X mit z [mm] \succ [/mm] x und z [mm] \succ [/mm] y
Damit hab ich immer ein wenig meine Probleme... wie definiere ich hier denn am besten mein z? laut des wikipediaartikels wäre ja x [mm] \succ [/mm] x eine wahre aussage. wenn ich nun z=x sage, dann hätte ich ja bereits ein z was nachfolger von x und y ist (aber das sagt ja nicht viel)
das es in reelen zahlenbereich etwas gibt, was immer noch ein stück näher an a ist, ist ja auch vollkommen klar aber wie sag ich das am besten? z=x/2? Oder könnte ich vielleicht einfach sagen, aufgrund der reichhaltigkeit von R exisiteirt ein
[mm] z^2-2az\le x^2-2ax [/mm]
und demnach wäre z [mm] \succ [/mm] x und z [mm] \succ [/mm] y (da x [mm] \succ [/mm] y )
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> Transitivität:
> Sei x,y,z [mm]\in[/mm] X
> und es gilt x [mm]\succ[/mm] y und y [mm]\succ[/mm] z
>
> dann folgt auch oben genannten
> [mm]x^2-2ax\le y^2-2ay[/mm]
> und
> [mm]y^2-2ay\le z^2-2az[/mm]
>
> also auch
> [mm]x^2-2ax\le z^2-2az[/mm] da [mm]x^2-2ax[/mm]
> -> x [mm]\succ[/mm] z
>
>
> Reichhaltigkeit:
> Zu y,x [mm]\in[/mm] X gibt es ein z [mm]\in[/mm] X mit z [mm]\succ[/mm] x und z [mm]\succ[/mm] y
>
> Damit hab ich immer ein wenig meine Probleme... wie
> definiere ich hier denn am besten mein z? laut des
> wikipediaartikels wäre ja x [mm]\succ[/mm] x eine wahre aussage.
> wenn ich nun z=x sage, dann hätte ich ja bereits ein z was
> nachfolger von x und y ist (aber das sagt ja nicht viel)
>
> das es in reelen zahlenbereich etwas gibt, was immer noch
> ein stück näher an a ist, ist ja auch vollkommen klar
> aber wie sag ich das am besten? z=x/2? Oder könnte ich
> vielleicht einfach sagen, aufgrund der reichhaltigkeit von
> R exisiteirt ein
> [mm]z^2-2az\le x^2-2ax[/mm]
> und demnach wäre z [mm]\succ[/mm] x und z [mm]\succ[/mm] y (da x [mm]\succ[/mm] y )
Hallo Nadelspitze,
bei dem Axiom 3 verstehe ich noch nicht ganz:
1.) weshalb man da von "Reichhaltigkeit" spricht
2.) Die Richtung der Ungleichungen:
du verwendest die Schreibweise " [mm] \succ [/mm] " für die
Relation. Nun weiß ich nicht, ob ich das mit dem
" [mm] \triangleright [/mm] " oder mit dem " [mm] \triangleleft [/mm] " aus dem Wiki-Artikel
identifizieren soll.
LG Al-Chw.
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> 2.) Die Richtung der Ungleichungen:
> du verwendest die Schreibweise " [mm]\succ[/mm] " für die
> Relation. Nun weiß ich nicht, ob ich das mit dem
> " [mm]\triangleright[/mm] " oder mit dem " [mm]\triangleleft[/mm] "
> aus dem Wiki-Artikel
> identifizieren soll.
>
> LG Al-Chw.
>
x [mm]\succ[/mm] y heißt (bei uns) gesprochen "x ist Nachfolger von y" entspricht also demnach [mm]\triangleleft[/mm] aus dem Artikel.
"Reichhaltigkeit" ist der Name, denn unser Prof dafür verwendet und meint wohl, dass es für jedes x und y einen Nachfolger gibt (dabei ist unrelevant, ob x und y untereinander vergleichbar sind... aber letzteres spielt hier ja keine große rolle, da ohnehin alle Elemente vergleichbar sind)
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> > 2.) Die Richtung der Ungleichungen:
> > du verwendest die Schreibweise " [mm]\succ[/mm] " für die
> > Relation. Nun weiß ich nicht, ob ich das mit dem
> > " [mm]\triangleright[/mm] " oder mit dem " [mm]\triangleleft[/mm] "
>
> > aus dem Wiki-Artikel
> > identifizieren soll.
> >
> > LG Al-Chw.
> >
> x [mm]\succ[/mm] y heißt (bei uns) gesprochen "x ist Nachfolger von
> y" entspricht also demnach [mm]\triangleleft[/mm] aus dem Artikel.
Nein, dann doch eben gerade umgekehrt:
Im Artikel steht [mm] x\triangleleft{y} [/mm] für "x vor y" bzw. "y nach x"
Also müssen wir x [mm]\succ[/mm] y identifizieren mit x [mm]\triangleright[/mm] y
(das ist dann wenigstens optisch kompatibel).
Das Axiom 3 sagt dann also: zu [mm] x,y\in{X} [/mm] gibt es ein z mit
z [mm]\succ[/mm] x und z [mm]\succ[/mm] y
also ein z, das näher an a liegt als x und auch als y
Falls a selbst zu X gehört, ist dies dann trivial, denn
man kann ja stets einfach z=a nehmen ...
(ich bin jetzt aber doch nicht ganz überzeugt, dass
das wirklich so gemeint war)
LG
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> Das Axiom 3 sagt dann also: zu [mm]x,y\in{X}[/mm] gibt es ein z
> mit
> z [mm]\succ[/mm] x und z [mm]\succ[/mm] y
> also ein z, das näher an a liegt als x und auch als y
> Falls a selbst zu X gehört, ist dies dann trivial, denn
> man kann ja stets einfach z=a nehmen ...
Und wenn a nicht zu X gehört zeigt man es wie?
Ich hab schon verstanden, was zu zeigen ist, weiß jedoch noch nicht, wie ich mein z definieren soll.
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> > Das Axiom 3 sagt dann also: zu [mm]x,y\in{X}[/mm] gibt es ein z
> > mit
> > z [mm]\succ[/mm] x und z [mm]\succ[/mm] y
> > also ein z, das näher an a liegt als x und auch als y
> > Falls a selbst zu X gehört, ist dies dann trivial,
> denn
> > man kann ja stets einfach z=a nehmen ...
> Und wenn a nicht zu X gehört zeigt man es wie?
> Ich hab schon verstanden, was zu zeigen ist, weiß jedoch
> noch nicht, wie ich mein z definieren soll.
Kommt auf die Definition von X an. Falls X einfach
die Menge [mm] X=\IR\smallsetminus\{a\} [/mm] ist, so setze zum Beispiel
$\ [mm] z:=a+\frac{1}{2}*min\{|x-a|,|y-a|\}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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