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Hallo!
Die Definition von konvergenten Folgen lautet ja folgendermaßen:
Es gibt ein k > k0 und
|a(n) - a| < [mm] \varepsilon, [/mm] so ist a lim a(n).
Nur: Was hat es mit diesem k>k0 aufsich?
Wird auch oft bei etlichen Beweisen verwendet. Man sagt dann: Es gibt ein m>n>n0... Aber was heißt denn das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo!
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> Die Definition von konvergenten Folgen lautet ja
> folgendermaßen:
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> Es gibt ein k > k0 und
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> |a(n) - a| < [mm]\varepsilon,[/mm] so ist a lim a(n).
Hallo,
es ist ganz wichtig, daß Du die Definitionen genau wiedergeben kannst, sonst geht leicht Wesentliches verloren!
Also: 1. korrekt nachplappern
2. sich um die Inhalte bemühen und die Sache verstehen.
3. Aus einem Verständnis der Angelegenheit heraus korrekt wiedergeben.
Die Folge a(n) konvergiert gegen a (in Zeichen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a(n)=a) [/mm] ) genau dann, wenn gilt:
Zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] findet man ein [mm] k_0 \in \IN, [/mm] so daß für jedes k, welches größer als [mm] k_0 [/mm] ist, gilt
|a(n) - a| [mm] <\varepsilon [/mm] .
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> Nur: Was hat es mit diesem k>k0 aufsich?
|a(n) - a| ist der Abstand, den das Folgenglied a(n) von a hat.
Mit dem [mm] \varepsilon [/mm] gibst Du Dir einen (beliebig kleinen) Abstand vor.
Die Definition sagt: egal, wie winzig klein ich den Abstand [mm] \varepsilon [/mm] vorgebe, ab einem bestimmten Folgenglied rücken alle Folgenglieder mindestens so dicht an a heran, daß sie nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] von a entfernt sind. Keines tanzt mehr aus der Reihe, Und dieses Folgenglied, ab welchem alle Folgenglieder genügend dicht an a liegen, ist das [mm] k_0.
[/mm]
Nun, da das [mm] \varepsilon [/mm] beliebig klein sein darf, nähert sich die Folge beliebig dicht dem a.
>
> Wird auch oft bei etlichen Beweisen verwendet.
Wenn du mit dem [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] Konvergenz zeigen willst - bzw. mußt - brauchst Du zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] ein passendes [mm] k_0, [/mm] ab welchem die Folgenglieder dann genügend dicht an den zu beweisenden Grenzwert heranrücken. Dieses [mm] k_0 [/mm] hängt in der Regel vom [mm] \varepsilon [/mm] ab.
Das kann man sich ja auch vorstellen: wenn ich den erlaubten Abstand verkleinere, wird es etwas länger dauern, bis ich zu den Folgegliedern komme, die in der entsprechenden Umgebung liegen.
Man sagt
> dann: Es gibt ein m>n>n0... Aber was heißt denn das?
Daß es ein m mit eben der Eigenschaft gibt.
Ohne Zusammenhang kann ich da jetzt nicht mehr sagen.
Falls du einen bestimmten Beweis aus der Vorlesung oder so nicht verstehst, kannst du ihn ja mal aufschreiben und an den entsprechenden Stellen deine Fragen und Bedenken.
Gruß v. Angela
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