Definitionen der "Reihe" < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe mal gelernt (und das sagt auch Wiki), dass eine Reihe
selbst wieder eine Folge ist, nämlich die Folge der Partialsummen
(Partialsummenfolge).
Nun lese ich in diversen Büchern, dass sie das NICHT sein soll,
sondern sie ist dort die unendliche Summe (oder auch der Grenzwert dieser Summe):
a1+a2+a3+...
Aber eine Folge ist doch was anderes als ein Grenzwert!
Frage:
Ist das so ein Streitthema in der Mathematik, oder hab ich da irgendwas
mißverstanden?
Eine Bitte:
Bitte keine Kommentare wie "die hängen aber zusammen".
Ich weiß schon, was eine Folge, Reihe oder ein Grenzwert ist,
aber mir geht es darum zu erfahren, welche "Meinung" richtig ist.
|
|
| |
|
> Ich habe mal gelernt (und das sagt auch Wiki), dass eine
> Reihe
> selbst wieder eine Folge ist, nämlich die Folge der
> Partialsummen
> (Partialsummenfolge).
>
> Nun lese ich in diversen Büchern, dass sie das NICHT sein
> soll,
> sondern sie ist dort die unendliche Summe (oder auch der
> Grenzwert dieser Summe):
>
> a1+a2+a3+...
>
> Aber eine Folge ist doch was anderes als ein Grenzwert!
>
> Frage:
> Ist das so ein Streitthema in der Mathematik, oder hab ich
> da irgendwas
> mißverstanden?
>
> Eine Bitte:
> Bitte keine Kommentare wie "die hängen aber zusammen".
> Ich weiß schon, was eine Folge, Reihe oder ein Grenzwert
> ist,
> aber mir geht es darum zu erfahren, welche "Meinung"
> richtig ist.
Hallo,
ich denke, dass dies nicht gerade ein Streitthema ist,
aber dennoch gibt es je nach Zugang und Definitionen
gewisse unterschiedliche Auffassungen. Eine absolut
"richtige Meinung" gibt es auch in der Mathematik
nicht immer.
Ich gebe hier also auch nur meine eigene Meinung
wieder:
Wenn man eine unendliche Zahlenfolge [mm] _{n\in\IN} [/mm] hat
und zwischen die Glieder statt Kommas Pluszeichen
setzt, so erhält man eine (unendliche) Reihe. Dies
ist zunächst rein formal, und man muss sich noch
nicht darum kümmern, ob diese Summenbildung
mit unendlich vielen Summanden wirklich "Sinn"
macht. Also, meine naive Ansicht:
Reihe = (formale) Summe mit unendlich vielen, durch
natürliche Zahlen nummerierten Summanden (Gliedern)
Falls die einzelnen Summanden wirklich definierte
Zahlenwerte haben, kann man dann Partialsummen
bilden:
[mm] s_n=\summe_{k=1}^{n}a_k
[/mm]
Diese Partialsummen sind dann Glieder einer
neuen Zahlenfolge [mm] _{n\in\IN} [/mm] .
In einem nächsten Schritt kann man sich um die
Eigenschaften und insbesondere um die
Konvergenz- bzw. Divergenzeigenschaften
dieser Partialsummenfolge kümmern.
Existiert der Grenzwert [mm] \limes_{n\to\infty}s_n,
[/mm]
so sagt man auch, die zugrundegelegte Reihe
sei konvergent. Der Wert des Limes ist dann
die "Summe" der Reihe. Ich würde also empfehlen,
strikt zwischen der Reihe an sich und ihrem Wert
oder ihrer Summe zu unterscheiden.
Dass in gewissen Büchern und auch in Wikipedia
gesagt wird, die Reihe "sei" die Folge ihrer Partial-
summen, halte ich nicht unbedingt für glücklich.
Dann müsste man nämlich, wenn z.B. die
Reihe $\ [mm] \ [/mm] =\ [mm] <\frac{1}{6}\,n(n+1)(2\,n+1)>$ [/mm] gegeben ist,
z.B. das 19. Glied der Reihe mühsam als [mm] s_{19}-s_{18}
[/mm]
ausrechnen ...
LG Al-Chwarizmi
Bemerkung: ich habe den Begriff "Reihe" hier im
Sinne "unendliche Reihe" aufgefasst, wie du dies
wohl auch beabsichtigt hast.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 So 04.10.2009 | | Autor: | Psychopath |
Hallo, erstmal danke für die Antwort.
Ich sehe, dass du mein Problem richtig erkannt hast.
Es beruhigt mich zu hören, dass es unterschiedliche Ansichten gibt,
und es nicht daran liegt, dass ich die Definitionen falsch verstanden habe.
Ich möchte aber nochmal (an einer endlichen Reihe) die Problematik präzisieren,
so wie sie mir von meinen Nachhilfeschülern vorgetragen wird.
Jeder von uns würde den folgenden Ausdruck doch als (endliche) Reihe bezeichnen:
[mm]\summe_{k=1}^{5}a_k[/mm] = [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3} [/mm] + [mm] a_{4}+ a_{5}
[/mm]
Meine Nachhilfeschüler antworten mir dann immer: Das ist doch aber eine SUMME.
Die Reihe (Partialsummenfolge) kann ich doch nur aus dem Summenausdruck ablesen,
indem ich die Teilsummen (von Hand) bilde. Eine Reihe wäre für mich dagegen folgender Ausdruck:
[mm] a_{1} [/mm] , [mm] (a_{1} [/mm] + [mm] a_{2}) [/mm] , ( [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3}) [/mm] ,( [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + [mm] a_{3} [/mm] + [mm] a_{4})
[/mm]
Ich habe übrigens gerade noch folgende Definition gefunden:
Eine Folge [mm] (s_{n}) [/mm] , deren Glieder [mm] s_{n} [/mm] durch Summen der Form
[mm]\summe_{k=1}^{n}a_k[/mm] gegeben sind, nennt sich Reihe.
Demzufolge hätten meine Nachhilfeschüler recht. Das übliche Summenzeichen
bezeichnet keine Reihe, sondern die Glieder der Reihe.
Ich habe übrigens gerade noch etwas gefunden: Dort macht der Autor einfach
eine Klammer um das Summenzeichen, und bezeichnet dies als Reihe:
([mm]\summe_{k=1}^{n}a_k[/mm])
Mir scheinen hier alle Lehrbücher (wohl aus Platzgründen) unpräzise zu sein.
|
|
|
| |
|
> Ich möchte aber nochmal (an einer endlichen Reihe) die
> Problematik präzisieren,
> so wie sie mir von meinen Nachhilfeschülern vorgetragen
> wird.
> Jeder von uns würde den folgenden Ausdruck doch als
> (endliche) Reihe bezeichnen:
>
> [mm] $\summe_{k=1}^{5}a_k=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+ a_{5}$
[/mm]
>
> Meine Nachhilfeschüler antworten mir dann immer: Das ist
> doch aber eine SUMME.
Damit kann ich mich einverstanden erklären. Bei Summen
mit endlich vielen Summanden spreche ich auch lieber von
einer Summe als von einer Reihe. Wenn jemand aber explizit
auch von "endlichen Reihen" sprechen will, meinetwegen.
> Die Reihe (Partialsummenfolge) kann ich doch nur aus dem
> Summenausdruck ablesen,
> indem ich die Teilsummen (von Hand) bilde. Eine Reihe wäre
> für mich dagegen folgender Ausdruck:
>
> [mm]a_{1}[/mm] , [mm](a_{1}[/mm] + [mm]a_{2})[/mm] , ( [mm]a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] + [mm]a_{3})[/mm] ,(
> [mm]a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm] + [mm]a_{3}[/mm] + [mm]a_{4})[/mm]
Nun, das entspricht der "Definition" nach Wikipedia, die
ich wie gesagt nicht so glücklich finde. Ich würde da eher
sagen: die Reihe ist
$\ [mm] a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+.......$
[/mm]
> Ich habe übrigens gerade noch folgende Definition
> gefunden:
>
> Eine Folge [mm](s_{n})[/mm] , deren Glieder [mm]s_{n}[/mm] durch Summen der
> Form
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_k[/mm] gegeben sind, nennt sich Reihe.
das ist auch wieder die "Wikipedia-Definition"
> Demzufolge hätten meine Nachhilfeschüler recht. Das
> übliche Summenzeichen bezeichnet keine Reihe, sondern
> die Glieder der Reihe.
Das Summenzeichen steht nicht für die Glieder, sondern
nur dafür, dass hier Summanden bzw. Glieder addiert
werden sollen
> Ich habe übrigens gerade noch etwas gefunden: Dort macht
> der Autor einfach eine Klammer um das Summenzeichen,
> und bezeichnet dies als Reihe:
>
> ([mm]\summe_{k=1}^{n}a_k[/mm])
Naja, damit meint er auch wieder die Wikipedia-Definition.
Um wirklich klar zu machen, was er mit der Klammer meint,
sollte er z.B. schreiben:
[mm] $\left(\summe_{k=1}^{n}a_k\right)_{n\in\IN}
[/mm]
>
> Mir scheinen hier alle Lehrbücher (wohl aus Platzgründen)
> unpräzise zu sein.
Mangelnder Platz wäre hier nur eine schlechte Ausrede,
um Unklarheiten entschuldigen zu wollen !
LG
NB: In deinen Formeln verwendest du viele überflüssige
[mm] und [ /mm] !
|
|
|
|
