Definitionsbereich < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mi 11.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Guten Tag liebes Forum.
Ich gebe Nachhilfe und bei einer Aufgabe eines Ingenieur-
Studenten ist mir selbst eine Frage aufgekommen, die ich
mir selbst nicht beantworten kann.
Das ist meine erste Frage hier im Forum, also:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabenstellung:
Gegeben sei die Funktion [mm] f(x):=x^x.
[/mm]
1) Begründen Sie, dass [mm] $f\$ [/mm] differenzierbar und bilden Sie die Ableitung.
2) Berechnen Sie den unteren Grenzwert. Was folgt daraus?
[mm] \lim_{x\to 0}f(x).
[/mm]
Es gab natürlich während der Nachhilfe ein paar Fragen und
durch eine Frage bin ich selber auf eine Frage gekommen.
Ich werde im Folgenden nur auf meine Frage eingehen, denn
die Aufgabe an sich hat damit nicht viel zu tun. Die Fragen
am Anfang lasse ich natürlich weg.
Es gilt:
[mm] f(x)=x^x=e^{x*\ln(x)} [/mm] für alle [mm] $x>0\$
[/mm]
und damit ist [mm] $f\$ [/mm] als Komposition differenzierbarer Funk-
tionen wieder differenzierbar für alle $x>0$ und für die
Ableitung gilt:
[mm] f'(x)=f(x)(\ln(x)+1) [/mm] für alle [mm] $x>0\$.
[/mm]
Jetzt kam die Frage:
Was passiert für [mm] $x\le [/mm] 0$?
Antwort:
Eine Funktion heißt genau dann differenzier, wenn sie an
jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist.
Dann die Frage:
Aber es gilt doch auch [mm] $0^0=1$, [/mm] wieso gehört die Null nicht
zum Definitionsbereich?
Die Antwort auf diese Frage war durch den zweiten Aufgaben-
teil sofort geklärt.
Dann kam die dritte Frage:
Was ist mit negativen Zahlen?
Antwort:
Analog zur ersten Frage, aber mit der zusätzlichen Gegen-
frage: Was ist dann zum Beispiel mit [mm] f(-\frac{1}{2})? [/mm]
Fertig.
Jetzt kam mir selbst die Frage auf:
Mit
[mm] f(-\frac{1}{n})
[/mm]
und $n$ ungerade müsste es doch trotzdem klappen, denn wir
ziehen eine ungerade Wurzel, wenn wir [mm] $x^x$ [/mm] betrachten.
Wo liegt mein Denkfehler?  Ich finde es auch komisch,
dass nicht von Anfang an der Definitionsbereich vorge-
schrieben wird.
Vielen Dank für eure Hilfe und möge bei euch mit dem Wetter
alles in Ordnung sein.
Liebe Grüße
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mi 11.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Guten Tag liebes Forum.
>
>
> Ich gebe Nachhilfe und bei einer Aufgabe eines Ingenieur-
> Studenten ist mir selbst eine Frage aufgekommen, die ich
> mir selbst nicht beantworten kann.
>
> Das ist meine erste Frage hier im Forum, also:
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Aufgabenstellung:
>
> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x):=x^x.[/mm]
>
> 1) Begründen Sie, dass [mm]f\[/mm] differenzierbar und bilden Sie
> die Ableitung.
>
> 2) Berechnen Sie den unteren Grenzwert. Was folgt daraus?
>
> [mm]\lim_{x\to 0}f(x).[/mm]
>
> Es gab natürlich während der Nachhilfe ein paar Fragen
> und
> durch eine Frage bin ich selber auf eine Frage gekommen.
> Ich werde im Folgenden nur auf meine Frage eingehen, denn
> die Aufgabe an sich hat damit nicht viel zu tun. Die
> Fragen
> am Anfang lasse ich natürlich weg.
>
> Es gilt:
>
> [mm]f(x)=x^x=e^{x*\ln(x)}[/mm] für alle [mm]x>0\[/mm]
>
> und damit ist [mm]f\[/mm] als Komposition differenzierbarer Funk-
> tionen wieder differenzierbar für alle [mm]x>0[/mm] und für die
> Ableitung gilt:
>
> [mm]f'(x)=f(x)(\ln(x)+1)[/mm] für alle [mm]x>0\[/mm].
>
> Jetzt kam die Frage:
>
> Was passiert für [mm]x\le 0[/mm]?
>
> Antwort:
>
> Eine Funktion heißt genau dann differenzier, wenn sie an
> jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar
> ist.
>
> Dann die Frage:
>
> Aber es gilt doch auch [mm]0^0=1[/mm], wieso gehört die Null nicht
> zum Definitionsbereich?
>
> Die Antwort auf diese Frage war durch den zweiten
> Aufgaben-
> teil sofort geklärt.
>
> Dann kam die dritte Frage:
>
> Was ist mit negativen Zahlen?
>
> Antwort:
>
> Analog zur ersten Frage, aber mit der zusätzlichen Gegen-
> frage: Was ist dann zum Beispiel mit [mm]f(-\frac{1}{2})?[/mm]
>
> Fertig.
>
> Jetzt kam mir selbst die Frage auf:
>
> Mit
>
> [mm]f(-\frac{1}{n})[/mm]
>
> und [mm]n[/mm] ungerade müsste es doch trotzdem klappen, denn wir
> ziehen eine ungerade Wurzel, wenn wir [mm]x^x[/mm] betrachten.
>
Hallo Acht,
In [mm] \IR [/mm] ist [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] nur für a [mm] \ge [/mm] 0 definiert und [mm] \wurzel[n]{a} \ge [/mm] 0.
>
> Wo liegt mein Denkfehler? Ich finde es auch komisch,
> dass nicht von Anfang an der Definitionsbereich vorge-
> schrieben wird.
Bedenke: die allgemeine Potenz [mm] a^b [/mm] ist definiert(!) durch
[mm] a^b:=e^{b*ln(a)}
[/mm]
Nach dieser Definition ist dann [mm] x^x=e^{x*ln(x)},
[/mm]
und das ist eben nur für x>0 definiert.
>
Gruß FRED
>
> Vielen Dank für eure Hilfe und möge bei euch mit dem
> Wetter
> alles in Ordnung sein.
>
>
> Liebe Grüße
> DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 11.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred,
Danke Dir für deine präzise Antwort!
> In [mm]\IR[/mm] ist [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] nur für a [mm]\ge[/mm] 0 definiert und
> [mm]\wurzel[n]{a} \ge[/mm] 0.
Ja, das folgt direkt aus der Definition der Abbildung
[mm] f\colon\IR^{+}_{0}\to\IR^{+}_{0}\colon x\mapsto\sqrt[n]{x},
[/mm]
denn schon der Definitionsbereich lässt keine negativen $x$-
Werte zu, aber ich meine, dass man für ungerades [mm] $n\$ [/mm] und ne-
gatives [mm] $a\$
[/mm]
[mm] \sqrt[n]{a}:=-(-a)^{\frac{1}{n}}
[/mm]
definieren kann. Das größte Problem liefert die Rechenregel
[mm] \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}} [/mm] für alle [mm] m,n\in\IZ [/mm] und [mm] n\not=0 [/mm] bzw. [mm] $a\ge [/mm] 0$,
aber ich denke, dass man damit "arbeiten" kann, obwohl es
mir auf Anhieb ziemlich "gefährlich" vorkommt. Wird das
nicht "definiert", weil es "unsauber" ist oder woran liegt
das? Die Gleichung
[mm] $x^3=-8$
[/mm]
ist ja auch "lösbar", obwohl der Ausdruck
[mm] \sqrt[3]{-8}
[/mm]
undefiniert ist.
![[]](/images/popup.gif) Wolfram|Alpha gibt übrigens für alle [mm] x\in[-1,0) [/mm] reelle Zahlen aus.
Das ist eigentlich kein Wunder, aber trotzdem bin ich weiterhin
ein wenig verwirrt.
> Bedenke: die allgemeine Potenz [mm]a^b[/mm] ist definiert(!) durch
>
> [mm]a^b:=e^{a*ln(b)}[/mm]
Hier ist übrigens noch ein kleiner Tippfehler.
> Nach dieser Definition ist dann [mm]x^x=e^{x*ln(x)},[/mm]
>
> und das ist eben nur für x>0 definiert.
Ich habe immer gedacht, dass das eine Folgerung ist:
Es gilt:
[mm] x=e^{\ln(x)} [/mm] für alle [mm] $x>0\$.
[/mm]
Wir setzen
[mm] x:=a^b>0
[/mm]
und erhalten
[mm] a^b=e^{\ln(a^b)}=e^{b*\ln(a)} [/mm] für alle [mm] $a>0\$.
[/mm]
Ich erinnere mich an folgende "Definition":
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine rationale Folge, die gegen [mm] a\in\IR [/mm] konvergiert, dann gilt:
[mm] b^{a}:=\lim_{n\to\infty}b^{a_n}.
[/mm]
An die Voraussetzungen von [mm] $b\$ [/mm] erinnere ich mich nicht mehr,
sodass ich gerne alle Fälle durchgehen will.
Für [mm] $b>0\$ [/mm] kann man das sicher zeigen.
Für [mm] $b<0\$ [/mm] müsste es ein Gegenbeispiel geben.
Für [mm] $b=0\$ [/mm] gibt es zwei Fälle:
1) [mm] $a_n\to [/mm] 0$, [mm] n\to\infty
[/mm]
2) [mm] $a_n\to a\not=0$, n\to\infty
[/mm]
Ich denke nochmal morgen dafür nach. Bis dahin freue ich
mich natürlich trotzdem auf Hinweise darüber. Vielleicht
liege ich auch komplett falsch. Danke nochmal.
Gruß
DieAcht
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Hallo DieAcht,
> ... ich meine, dass man für ungerades [mm]n\[/mm] und
> negatives [mm]a\[/mm]
>
> [mm]\sqrt[n]{a}:=-(-a)^{\frac{1}{n}}[/mm]
>
> definieren kann. Das größte Problem liefert die
> Rechenregel
>
> [mm]\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}[/mm] für alle [mm]m,n\in\IZ[/mm] und
> [mm]n\not=0[/mm] bzw. [mm]a\ge 0[/mm]
> aber ich denke, dass man damit "arbeiten" kann, obwohl es
> mir auf Anhieb ziemlich "gefährlich" vorkommt. Wird das
> nicht "definiert", weil es "unsauber" ist oder woran
> liegt das?
Nun ja, die Verletzung der angegebenen Rechenregel zeigt
doch schon immerhin ziemlich klar und drastisch, dass eine
derartige Definition wenigstens ziemlich problematisch ist !
Wenn es in einem Ausdruck der Form [mm] a^b [/mm] mit a<0 nicht mehr
erlaubt sein soll, etwa den Exponenten [mm] b=\frac{1}{3} [/mm] mit 2
zu erweitern zu [mm] b=\frac{2}{6} [/mm] , dann verlässt man offensichtlich
den Bereich des festen algebraischen Terrains.
Genau aus diesem Grund ist man zur Vereinbarung
gekommen, Potenzen [mm] a^b [/mm] mit negativem a und [mm] b\in\IQ\smallsetminus \IZ
[/mm]
grundsätzlich nicht zu definieren.
Wer da ein Extrazüglein fahren will, muss für ein dafür
gefahrlos befahrbares Geleisnetz selber sorgen ...
Die Gleichung
>
> [mm]x^3=-8[/mm]
>
> ist ja auch "lösbar", obwohl der Ausdruck
>
> [mm]\sqrt[3]{-8}[/mm]
>
> undefiniert ist.
>
> Wolfram|Alpha
> gibt übrigens für alle [mm]x\in[-1,0)[/mm] reelle Zahlen aus. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Könntest du genau angeben, was du damit genau meinst ?
(Eingabe, Ausgabe bei Wolfram)
- und übrigens ist Wolfram (trotz großer Verdienste) kein
universeller Schiedsrichter für mathematische Fragen (!)
> Das ist eigentlich kein Wunder, aber trotzdem bin ich
> weiterhin
> ein wenig verwirrt.
>
> > Bedenke: die allgemeine Potenz [mm]a^b[/mm] ist definiert(!) durch
> >
> > [mm]a^b:=e^{a*ln(b)}[/mm]
> >
> > Nach dieser Definition ist dann [mm]x^x=e^{x*ln(x)},[/mm]
> >
> > und das ist eben nur für x>0 definiert.
>
> Ich habe immer gedacht, dass das eine Folgerung ist:
>
> Es gilt:
>
> [mm]x=e^{\ln(x)}[/mm] für alle [mm]x>0\[/mm].
>
> Wir setzen
>
> [mm]x:=a^b>0[/mm]
>
> und erhalten
>
> [mm]a^b=e^{\ln(a^b)}=e^{b*\ln(a)}[/mm] für alle [mm]a>0\[/mm].
>
> Ich erinnere mich an folgende "Definition":
>
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine rationale Folge, die gegen [mm]a\in\IR[/mm]
> konvergiert, dann gilt:
>
> [mm]b^{a}:=\lim_{n\to\infty}b^{a_n}.[/mm]
>
> An die Voraussetzungen von [mm]b\[/mm] erinnere ich mich nicht
> mehr,
> aber da lässt sich bestimmt ein Gegenbeispiel für [mm]b<0\[/mm]
> finden.
> Für [mm]b=0\[/mm] scheint es noch den Spezialfall
>
> [mm]a_n\to 0[/mm], [mm]n\to\infty[/mm]
>
> zu geben. Darüber denke ich dann nochmal später nach.
> Viel-
> leicht sieht jemand direkt ein Gegenbeispiel?
>
> Danke nochmal.
>
>
> Gruß
> DieAcht
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Mi 11.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Al,
Danke für deine Hilfe!
> Nun ja, die Verletzung der angegebenen Rechenregel zeigt
> doch schon immerhin ziemlich klar und drastisch, dass eine
> derartige Definition wenigstens ziemlich problematisch ist
> !
>
> Wenn es in einem Ausdruck der Form [mm]a^b[/mm] mit a<0 nicht mehr
> erlaubt sein soll, etwa den Exponenten [mm]b=\frac{1}{3}[/mm] mit
> 2
> zu erweitern zu [mm]b=\frac{2}{6}[/mm] , dann verlässt man
> offensichtlich
> den Bereich des festen algebraischen Terrains.
Genau. Aus diesem Grund betrachte ich rationale Exponenten,
deren gekürzte Bruchdarstellung ungerade Nenner haben, wo-
bei natürlich weiterhin alles mit negativen Basen.
> Genau aus diesem Grund ist man zur Vereinbarung
> gekommen, Potenzen [mm]a^b[/mm] mit negativem a und
> [mm]b\in\IQ\smallsetminus \IZ[/mm]
> grundsätzlich nicht zu
> definieren.
> Wer da ein Extrazüglein fahren will, muss für ein dafür
> gefahrlos befahrbares Geleisnetz selber sorgen ...
Das heißt, dass der Definitionsbereich der Funktion
[mm] f(x):=x^x
[/mm]
streng genommen auch negative reelle Zahlen enthalten kann,
aber man es nach "Konvention" dabei belässt? Damit kann ich
eigentlich leben. Aufwendig ist es und unschön auch, aber
ist das überhaupt der Fall? Beispiel: Wäre es denn (streng
genommen) falsch die Abbildung als
[mm] $f\colon\IR^{+}_{0}\cup\{-1\}\to\IR\colon x\mapsto x^x$
[/mm]
zu definieren? Immerhin können wir [mm] $f(0)\$ [/mm] und [mm] $f(-1)\$ [/mm] ohne große
Probleme auswerten.
> Die Gleichung
> >
> > [mm]x^3=-8[/mm]
> >
> > ist ja auch "lösbar", obwohl der Ausdruck
> >
> > [mm]\sqrt[3]{-8}[/mm]
> >
> > undefiniert ist.
> >
> > Wolfram|Alpha
> > gibt übrigens für alle [mm]x\in[-1,0)[/mm] reelle Zahlen aus.
>
>
>
> Könntest du genau angeben, was du damit genau meinst ?
> (Eingabe, Ausgabe bei Wolfram)
>
> - und übrigens ist Wolfram (trotz großer Verdienste)
> kein
> universeller Schiedsrichter für mathematische Fragen (!)
Ich habe Wolfram nur zum Spaß angemacht, damit ich sehe
was der Plotter als "reelle" Ausgabe angeben wird. Eingabe:
x^x from x=-1 to 0
Der Plot kann so ehe ganz stimmen. Betrachte dafür zum
Beispiel die Auswertung an der Stelle [mm] x:=-\frac{1}{2},
[/mm]
aber um diese Stellen geht es mir ehe nicht.
Gruß
DieAcht
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> Hallo Al,
>
>
> Danke für deine Hilfe!
>
> > Nun ja, die Verletzung der angegebenen Rechenregel zeigt
> > doch schon immerhin ziemlich klar und drastisch, dass eine
> > derartige Definition wenigstens ziemlich problematisch ist !
> >
> > Wenn es in einem Ausdruck der Form [mm]a^b[/mm] mit a<0 nicht mehr
> > erlaubt sein soll, etwa den Exponenten [mm]b=\frac{1}{3}[/mm]
> > mit 2 zu erweitern zu [mm]b=\frac{2}{6}[/mm] , dann verlässt man
> > offensichtlich den Bereich des festen algebraischen Terrains.
>
> Genau. Aus diesem Grund betrachte ich rationale
> Exponenten,
> deren gekürzte Bruchdarstellung ungerade Nenner haben,
> wobei natürlich weiterhin alles mit negativen Basen.
Dann wären also als gebrochene Exponenten grundsätzlich nur
gekürzte Brüche zugelassen ?
Ziemlich sonderbar - und nach meinem Geschmack
nicht wirklich tragbar !
> > Genau aus diesem Grund ist man zur Vereinbarung
> > gekommen, Potenzen [mm]a^b[/mm] mit negativem a und
> > [mm]b\in\IQ\smallsetminus \IZ[/mm] grundsätzlich nicht zu definieren.
> > Wer da ein Extrazüglein fahren will, muss für ein dafür
> > gefahrlos befahrbares Geleisnetz selber sorgen ...
>
> Das heißt, dass der Definitionsbereich der Funktion
>
> [mm]f(x):=x^x[/mm]
>
> streng genommen auch negative reelle Zahlen enthalten
> kann,
> aber man es nach "Konvention" dabei belässt? Damit kann
> ich
> eigentlich leben. Aufwendig ist es und unschön auch,
> aber
> ist das überhaupt der Fall? Beispiel: Wäre es denn
> (streng
> genommen) falsch die Abbildung als
>
> [mm]f\colon\IR^{+}_{0}\cup\{-1\}\to\IR\colon x\mapsto x^x[/mm]
>
> zu definieren? Immerhin können wir [mm]f(0)\[/mm] und [mm]f(-1)\[/mm] ohne
> große
> Probleme auswerten.
f(0) ohne Probleme ?
Da würden nicht alle Mathematiker zustimmen. In manchen
Büchern wird der Ausdruck [mm] 0^0 [/mm] als undefinierter Term
aufgefasst. Siehe dazu Wikipedia
Dagegen kannst du anstatt nur die -1 ebensogut alle
negativen ganzen Zahlen dazunehmen. Natürlich reicht
diese Art der Erweiterung des Definitionsbereiches niemals
aus, um zu einer auch für negative Zahlen differenzierbaren
Funktion zu kommen. Und um Ableitbarkeit ging es doch
gerade in der Aufgabe, von der du ausgegangen bist.
> > Die Gleichung
> > >
> > > [mm]x^3=-8[/mm]
> > >
> > > ist ja auch "lösbar", obwohl der Ausdruck
> > >
> > > [mm]\sqrt[3]{-8}[/mm]
> > >
> > > undefiniert ist.
> > >
> > > Wolfram|Alpha
> > > gibt übrigens für alle [mm]x\in[-1,0)[/mm] reelle Zahlen aus.
> >
> >
> > Könntest du genau angeben, was du damit genau meinst ?
> > (Eingabe, Ausgabe bei Wolfram)
> >
> > - und übrigens ist Wolfram (trotz großer Verdienste)
> > kein
> > universeller Schiedsrichter für mathematische Fragen
> (!)
>
> Ich habe Wolfram nur zum Spaß angemacht, damit ich sehe
> was der Plotter als "reelle" Ausgabe angeben wird.
> Eingabe:
>
> [mm][code]x^x[/mm] from x=-1 to 0[/code]
Leider kann ich das im Moment nicht überprüfen, da offenbar
gewisse Skripte abgeblockt werden. Bist du sicher, dass da
wirklich ein reeller Plot ausgegeben wird ?
LG , Al-Chw.
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Hallo nochmal,
ich habe jetzt mein Add-on, das Wolfram-Alpha behindert hat,
momentan deaktiviert, um den Plot doch selber auszuprobieren,
und jetzt klappt es auch. Dabei habe ich aber x von -1 bis +1
(und nicht nur bis 0) laufen lassen:
Plot
Dargestellt werden Realteil (blau) und Imaginärteil (orange),
und es wird klar, dass die Werte für negative x-Werte echt
komplex und erst ab x=0 reell werden (mit Imaginärteil
Null) !
LG , Al
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Do 12.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Es geht mir halt wirklich nicht um die Differenzierbarkeit
direkt, sondern meine Frage hat sich ergeben als ich ein
scharfes Auge auf die Aufgabestellung gesetzt habe und mir
ein [mm] $x>0\$ [/mm] gefehlt hat.
In der Aufgabenstellung steht: Begründen Sie, dass [mm] $f\$ [/mm] dif-
ferenzierbar ist und bilden Sie die Ableitung.
Wir wissen: Eine Funktion heißt genau dann differenzier,
wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs dif-
ferenzierbar ist.
Mit anderen Worten: Wir benötigen zunächst den Definitions-
bereich [mm] $D_f\$ [/mm] der Funktion um dann die Differenzierbarkeit
auf [mm] $D_f\$ [/mm] zu begründen.
Wenn wir es also schaffen, den Definitionsbereich der Funk-
tion zu "erweitern", zum Beispiel mit denen von dir ange-
sprochenen negativen ganzen Zahlen, etc., dann müssten wir
streng genommen auch antworten:
Die Funktion ist nur für [mm] $x>0\$ [/mm] differenzierbar.
Dann müsste man dazuschreiben, dass die Funktion auf [mm] $D_f\setminus\IR_{>0}$
[/mm]
nicht differenzierbar ist.
Den Graphen von Wolfram habe ich falsch interpretiert. Das
tut mir leid. Allerdings besteht weiterhin meine Frage ob
man [mm] $D_f\$ [/mm] "erweitern" kann.
edit: Sorry, das hast du bereits beantwortet und damit hat
sich das auch erledigt. Stimmen denn trotzdem meine Über-
legungen?
Aus welchem Grund Wolfram die negativen Zahlen nicht reell
auswertet erschließt sich mir auch nicht wirklich. Wahr-
scheinlich wird sofort mit der von Fred zitierten Defini-
tion bzw. den Reihen gearbeitet.
Übrigens: Null hoch Null ist halt hier "zwecksmäßig" Eins. 
Liebe Grüße
DieAcht
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> Hallo,
>
> Es geht mir halt wirklich nicht um die Differenzierbarkeit
> direkt, sondern meine Frage hat sich ergeben als ich ein
> scharfes Auge auf die Aufgabestellung gesetzt habe und
> mir
> ein [mm]x>0\[/mm] gefehlt hat.
>
> In der Aufgabenstellung steht: Begründen Sie, dass [mm]f\[/mm]
> dif-
> ferenzierbar ist und bilden Sie die Ableitung.
>
> Wir wissen: Eine Funktion heißt genau dann differenzier,
> wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs dif-
> ferenzierbar ist.
>
> Mit anderen Worten: Wir benötigen zunächst den
> Definitions-
> bereich [mm]D_f\[/mm] der Funktion um dann die Differenzierbarkeit
> auf [mm]D_f\[/mm] zu begründen.
Ja natürlich, da hast du recht: in der Aufgabenstellung
wurde der Definitionsbereich der Funktion gar nicht
angegeben, was dem Aufgabensteller anzukreiden ist !
> Wenn wir es also schaffen, den Definitionsbereich der
> Funk-
> tion zu "erweitern", zum Beispiel mit denen von dir ange-
> sprochenen negativen ganzen Zahlen, etc., dann müssten
> wir
> streng genommen auch antworten:
>
> Die Funktion ist nur für [mm]x>0\[/mm] differenzierbar.
> Dann müsste man dazuschreiben, dass die Funktion auf
> [mm]D_f\setminus\IR_{>0}[/mm]
> nicht differenzierbar ist.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig !
> Den Graphen von Wolfram habe ich falsch interpretiert. Das
> tut mir leid. Allerdings besteht weiterhin meine Frage ob
> man [mm]D_f\[/mm] "erweitern" kann.
>
> edit: Sorry, das hast du bereits beantwortet und damit hat
> sich das auch erledigt. Stimmen denn trotzdem meine
> Über-
> legungen?
>
> Aus welchem Grund Wolfram die negativen Zahlen nicht reell
> auswertet erschließt sich mir auch nicht wirklich. Wahr-
> scheinlich wird sofort mit der von Fred zitierten Defini-
> tion bzw. den Reihen gearbeitet.
Nun, eine rein reelle Auswertung ist eben gar nicht möglich,
also macht WolframAlpha das unter den vorliegenden Umständen
Bestmögliche: es wird mit der sogenannten komplexen "Haupt-" Wurzel
gerechnet.
> Übrigens: Null hoch Null ist halt hier "zwecksmäßig"
> Eins.
Ja, man könnte den Graph sogar als ein zusätzliches
Argument für die Festsetzung [mm] 0^0:=1 [/mm] benutzen.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Do 12.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Gut.
Vielen Dank für eure Hilfe!
edit: Die obige Frage kann auch als beantwortet gekenn-
zeichnet werden, denn das hat sich auch ergeben.
Liebe Grüße
DieAcht
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