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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mi 28.04.2004 | | Autor: | Ute |
Wie berechnet man die "Kanten" des Definitionsbereiches?
D= (hR | 0 <h < ? )
Welche Zahl müsste an der Stelle von dem Fragenzeichen stehen?
Die dazugehörige Aufgabe war diese: Ermittle die Form/Größe einer oben geöffneten Dose mit dem geringsten Materialverbrauch und dem Fassungsvermögen 1 Liter!
Diese Aufgabe haben wir gemeinsam in der Schule berechnet:
r= 3. Wurzel aus 1/ [mm] \pi [/mm] -> 0,68 dm
h= 1/ [mm] \pi [/mm] * r² -> 0,68 dm
O= 4,39 dm²
Eine weitere Frage war, warum die Höhe und Radius gleich groß ist?
Hat das was mit dem geringsten Materialverbrauch zu tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mi 28.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Ute
> Wie berechnet man die "Kanten" des Definitionsbereiches?
> D= (hR | 0 <h < ? )
>
Ich glaube fast, das ist eine Fangfrage deines Lehrers!
Aber trotzdem: die untere Grenze ist klar, oder ( h > 0) ?
(h muss grösser als 0 sein, damit das Volumen 1 Liter werden kann; bei h = 0 wäre das nicht möglich, und weil h eine Strecke ist, kanns auch nicht negativ, also kleiner als 0 sein)
> Welche Zahl müsste an der Stelle von dem Fragenzeichen
> stehen?
>
Hier kannst du deine Beziehung zwischen der Höhe und dem Radius zu Rate ziehen:
[mm]h = \bruch{1}{\pi r^2}[/mm]
Und daran erkennst du sofort, dass das [mm]h[/mm] immer grösser wird, je kleiner das [mm]r[/mm] wird!
Weil [mm]r[/mm] beliebig klein werden kann, aber doch noch grösser als Null sein muss, gibt es für [mm]h[/mm] nach oben keine Grenze!
Man wäre also leicht dazu verführt, folgendes zu schreiben:
[mm]0 < h < \infty[/mm]
Aber das ist falsch, da der Lehrer (oder du?) ausdrücklich gefordert hat, für das "?" eine Zahl hinzuschreiben.
Aber merke: [mm]\infty[/mm] ist keine Zahl!!
(Also Fangfrage!  )
Man kann das also korrekt nur so angeben:
[mm] D = \{h \in \mathbb{R} \mid h > 0 \}[/mm]
> Die dazugehörige Aufgabe war diese: Ermittle die Form/Größe
> einer oben geöffneten Dose mit dem geringsten
> Materialverbrauch und dem Fassungsvermögen 1 Liter!
>
> Diese Aufgabe haben wir gemeinsam in der Schule
> berechnet:
> r= 3. Wurzel aus 1/ [mm] \pi [/mm] -> 0,68 dm
> h= 1/ [mm] \pi [/mm] * r² -> 0,68 dm
Hier musst du unbedingt das [mm] \pi [/mm] * r² in Klammern setzen! (Weil man die Berechnungen ja von links nach rechts macht also 1 / [mm] \pi, [/mm] und dann noch mit [mm] r^2 [/mm] multipliziert.
> O= 4,39 dm²
>
> Eine weitere Frage war, warum die Höhe und Radius gleich
> groß ist?
> Hat das was mit dem geringsten Materialverbrauch zu tun?
>
Nein, ich glaube, das hat er so gemeint:
Ihr habt ja herausgefunden, dass
(*) [mm]h = 1 / (\pi r^2)[/mm]
und auch:
(**) [mm]r = \wurzel[3]{1 / \pi}[/mm]
ist.
Wenn man nun in (*) den Ausdruck für [mm]r[/mm] aus (**) einsetzt und den entstehenden Ausdruck vereinfacht (versuchst du das mal selbständig? ) Wenns dir nicht gelingt, dann helfe ich gerne dabei! 
dann kommt man endlich auf das Resultat:
[mm]h = \wurzel[3]{1 / \pi}[/mm]
Wenn du das nun mit (**) vergleichst, dann erkennst du unschwer, dass h und r dasselbe ist!
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