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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Do 23.04.2009 | | Autor: | aleskos |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den maximalen Def-bereich.
[mm] f(x)=3\wurzel{1-2cosx} [/mm] |
Hallo erstmal,
ich komme bei dieser fkt nicht weiter.
Ich weiß wie sie graphisch aussieht aber wie kommt man auf [mm] D_{max}?
[/mm]
Klar ist, dass unter der Wurzel nicht negatives stehen soll, d.h. 2cosx soll auf jeden fall kleiner 1 sein. Sehe ich es richtig?
Bitte um kurzen Ansatz.
Danke schon mal schön im Voraus
aleskos
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> Bestimmen Sie den maximalen Def-bereich.
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> [mm]f(x)=3\wurzel{1-2cosx}[/mm]
> Hallo erstmal,
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> ich komme bei dieser fkt nicht weiter.
> Ich weiß wie sie graphisch aussieht aber wie kommt man auf
> [mm]D_{max}?[/mm]
> Klar ist, dass unter der Wurzel nicht negatives stehen
> soll, d.h. 2cosx soll auf jeden fall kleiner 1 sein. Sehe
> ich es richtig?
Hallo!
Den Ansatz hast du selbst schon geliefert: Unter der Wurzel darf nichts negatives stehen, d.h. der Wurzelinhalt muss [mm] \ge [/mm] 0 sein. Das kannst du als Gleichung formulieren:
[mm] $1-2*\cos(x) \ge [/mm] 0$
Alle x, welche diese Gleichung erfüllen, sind Element des Definitionsbereichs.
Du musst nun nach x umformen:
[mm] $\gdw [/mm] 1 [mm] \ge 2*\cos(x)$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{1}{2} \ge \cos(x)$
[/mm]
Da der Kosinus periodisch ist, wird der Definitionsbereich in bestimmte Intervalle aufgeteilt werden müssen, die du mit obiger Gleichung nun angeben kannst.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Do 23.04.2009 | | Autor: | aleskos |
Danke Stef,
aber wie kommt man auf [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] , [mm] \bruch{5\pi}{3}?
[/mm]
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Hallo!
Nach obiger Gleichung wissen wir doch, dass alle x, für die
[mm] $\bruch{1}{2} \ge \cos(x)$
[/mm]
gilt, im Definitionsbereich der Funktion f sind. Machen wir uns das mal graphisch deutlich:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Bereich, in welchem die "erlaubten x" liegen, wird abgegrenzt durch die Schnittpunkte der Funktion [mm] \cos(x) [/mm] mit der Geraden y = [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] d.h. praktisch durch die Lösungen der Gleichung
[mm] $\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \cos(x)$
[/mm]
(Das ist die Ungleichung von oben, nur mit = ).
Wenn du nun auf beiden Seiten der Gleichung [mm] \cos^{-1} [/mm] anwendest, erhältst du
[mm] $\cos^{-1}\left(\bruch{1}{2}\right) [/mm] = x$,
also x = [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] bzw. x = [mm] \bruch{5*\pi}{3} [/mm] als Lösungen. (Siehe Tafelwerk). Das Intervall
[mm] \left[\bruch{\pi}{3},\bruch{5*\pi}{3}\right]
[/mm]
ist deswegen Definitionsbereich deiner Funktion. Jetzt müsste man exakterweise aber eigentlich noch die Periodizität des Kosinus betrachten, d.h. der gesamte Definitionsbereich ist eigentlich
[mm] \left[\bruch{\pi}{3} + 2*k*\pi,\bruch{5*\pi}{3} + 2*k*\pi\right]
[/mm]
mit [mm] k\in\IZ.
[/mm]
Viele Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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