Definitionslücke < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Fr 05.09.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Prüfen Sie ob die Definitionslücke der folgenden Funktion stetig behhebar ist, und erweitern Sie ggf. den Definitonsbereich:
[mm] f(x)=\bruch{1}{ln(|x|)} [/mm] |
Also f(0) ist nicht definiert, dort ist meine Definitionslücke.
Kann ich jetzt für den links- und rechtsseitigen Grenzwert schreiben:
$ [mm] \text{linksseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\bruch{1}{ln(|x|)} [/mm] \ = \ [mm] -\infty [/mm] $
$ [mm] \text{rechtsseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{1}{ln(|x|)} [/mm] \ = [mm] -\infty [/mm] $
Aber das wäre ja ein unbestimmter Ausdruck oder?
Oder habe ich den Grenzwert falsch berechnet?
Sonst könnte ich ja schreiben:
Die fkt f ist bei x=0 nicht definiert.
Man kann diese Funktion aber stetig ergaenzen, und hat dann g(x) mit
$ [mm] g(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \ne 0 \\ -\infty, & \mbox{für } x = 0 \end{cases} [/mm] $
Aber [mm] -\infty [/mm] ist ja wie gesagt kein "richtiger" Funktionswert...
Ist die die Defintionslücke stetig behhebar?
Danke und besten Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Fr 05.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Links- und rechtsseitiger Grenzwert ist $0$, da [mm] $\ln(x)$ [/mm] für [mm] $x\to0$ [/mm] gegen den uneigentlichen grenzwert [mm] $-\infty$ [/mm] divergiert, d.h. unter alle Schranken fällt. Damit ist $f$ an der Stelle $0$ stetig fortsetzbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:01 Fr 05.09.2008 | | Autor: | tedd |
Stimmt.
Mist ist ich hatte irgendwie den natürlichen Logarithmus falsch im Kopf! argh...
Also:
$ [mm] \text{linksseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\bruch{1}{ln(|x|)} [/mm] \ = \ 0 $
$ [mm] \text{rechtsseitiger Grenzwert: } [/mm] \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\uparrow}\bruch{1}{ln(|x|)} [/mm] \ = 0 $
Die fkt f ist bei x=0 nicht definiert.
Man kann diese Funktion aber stetig ergaenzen, und hat dann g(x) mit
$ [mm] g(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \ne 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases} [/mm] $
Danke und Gruß,
tedd
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