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Forum "Funktionalanalysis" - Definitorisches
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Definitorisches: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 Mi 18.04.2007
Autor: sancho1980

Hallo,
ich habe eine Definition des Begriffes Testfolge und glaube, an irgendeiner Stelle was falsch zu verstehen. Ich geb mal die Definition wider und erkläre, wo da meine Diskrepanzen liegen:

"Es sei D eine nichtleere Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] und es sei a [mm] \in \IR [/mm] (nicht notwendigerweise in D). Eine Folge [mm] (a_n) [/mm] heißt Testfolge in D für a, wenn alle Glieder [mm] a_n [/mm] in D liegen und [mm] a_n \to [/mm] a für n [mm] \to \infty [/mm] gilt.

a heißt Berührungspunkt von D, wenn es eine Testfolge in D für a gibt.

Demnach ist jedes Element von D ein Berührungspunkt von D; denn ist a [mm] \in [/mm] D, so ist die konstante Folge ^a = [mm] (a)_(n\in\IN) [/mm]  eine Testfolge in D für a."

Okay, was ich hieran nicht verstehe ist: Wieso sagt mir die Definition, dass jedes Element von D ein Berührungspunkt von D ist? Wenn ich richtig verstanden habe, müsste JEDER Wert (und zwar ganz gleich, ob er in D ist oder nicht) Berührungspunkt von D sein. Was hat denn schließlich der Definitionsbereich (D) mit dem Umfang des Wertebereichs zu tun. Ich will mal ein Beispiel geben:

Angenommen D = [0, 3]. Wie käme ich jetzt darauf, herauszustellen, dass jedes Element in D (also 0, 1, 2, 3)Berührungspunkt von D ist, wo doch jeder andere Wert auch Berührungspunkt von D ist [mm] (a_n [/mm] = 7633; [mm] a_0 [/mm] = 7633, [mm] a_1 [/mm] = 7633, [mm] a_2 [/mm] = 7633, [mm] a_3 [/mm] = 7633).

Irgendwas sagt mir aber, dass ich etwas an der Definition falsch verstehe. Könnt Ihr mich bitte aufklären?

Danke und Gruß,

Martin

        
Bezug
Definitorisches: Definition nochmal lesen.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:31 Mi 18.04.2007
Autor: AT-Colt

Hallo sancho1980!

> "Es sei D eine nichtleere Teilmenge von [mm]\IR,[/mm] und es sei a
> [mm]\in \IR[/mm] (nicht notwendigerweise in D). Eine Folge [mm](a_n)[/mm]
> heißt Testfolge in D für a, wenn alle Glieder [mm]a_n[/mm] in D
> liegen und [mm]a_n \to[/mm] a für n [mm]\to \infty[/mm] gilt.
>  
> a heißt Berührungspunkt von D, wenn es eine Testfolge in D
> für a gibt.

Du scheinst die Bedingung überlesen zu haben, dass alle [mm] $a_n$ [/mm] der Testfolge zu $D$ gehören müssen. Was nicht in der Menge sein muss ist nur der Wert, gegen den die [mm] $a_n$ [/mm] streben.

Daraus ergibt sich: Ist $x [mm] \in [/mm] D$ so ist die Folge [mm] $a_n [/mm] = x [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_0$ [/mm] eine Testfolge für den Punkt $x$ nach Definition.

Dein Beispiel mit $D = [0,3]$ und der Folge [mm] $a_n [/mm] = 7633$ hinkt aus dem Grund, dass $7633 [mm] \not\in [/mm] [0,3]$ ist und somit Deine Folge nicht die Definition der Testfolge erfüllt.

greetz

AT-Colt

Bezug
                
Bezug
Definitorisches: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:53 Mi 18.04.2007
Autor: sancho1980

Ah, ich glaube jetzt wird mir auch die daraus resultierende Definition der Stetigkeit um einiges klarer:

Es sei [mm] \emptyset \not [/mm] D [mm] \subset \IR [/mm] und a [mm] \in [/mm] D. Eine reele Funktion f: D [mm] \to \IR [/mm] heißt stetig in a, wenn

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n) [/mm] = f(a) für jede Testfolge [mm] (a_n) [/mm] in D für a

gilt.

Also, wenn ich das JETZT richtig verstehe, dann ist das EIGENTLICH WICHTIGE an dieser Definition, dass vor allem die Testfolgen, deren Wertebereich mit unendlich hohem n kurz vor a Halt machen, dass wenn man diese Werte mit f "bearbeitet", dass dieser Wert dann auch unendlich nah an f(a) liegen muss. Ist etwas unwissenschaftlich ausgedrückt, aber versteh ich das richtig?

LG,

Martin

Bezug
                        
Bezug
Definitorisches: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:38 Do 19.04.2007
Autor: AT-Colt

Zu beidem ein "ja", das ist unwissenschaftlich ausgedrückt, kommt mir aber richtig vor ^^

Stetigkeit einer Funktion $f$ an einem Punkt $a$ bedeutet, dass jede Folge [mm] $a_n$, [/mm] die gegen $a$ konvergiert, dies quasi auch unter der Funktion tut, also dass [mm] $f(a_n)$ [/mm] gegen $f(a)$ konvergiert. Mit anderen Worten: Du kansnt den Grenzprozess entweder ausserhalb der Funktion durchführen, oder ihn durch die Funktion ziehen:

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n) [/mm] = [mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty}a_n) [/mm] = f(a)$, wenn a stetig ist.

greetz

AT-Colt

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