Demonstration von Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (G, *) eine Gruppe. Man zeige (möglichst jeweils in einer bis zwei Zeilen) für $a, b, c [mm] \in [/mm] G$ (ab := a*b):
(a) i. a = b [mm] \Rightarrow [/mm] ca = cb,
ii. ca = cb [mm] \Rightarrow [/mm] a = b.
(b) i. [mm] (a^{-1})^{-1} [/mm] = a,
ii. [mm] (ab)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1}a^{-1}.
[/mm]
(c) [mm] \varphi_a [/mm] : $G [mm] \to [/mm] G$, $x [mm] \mapsto \varphi_a(x)$ [/mm] := a*x ist bijektiv.
(d) Gilt für alle $a [mm] \in [/mm] G$, dass a*a = e, so ist $G$ abelsch. |
Hallo! 
Die Gruppentheorie ist für mich absolutes Neuland, dementsprechend finde ich die obige Aufgabe schwer.
"Lineare Algebra" von Gerd Fischer hat mir (wie könnte es anders sein) nicht weitergeholfen. Andere Literatur wie "Einführung in die Gruppentheorie" von Pavel S. Alexandroff beschreibt zwar alles sehr gut, aber mir gelingt es nicht, das Wissen auf diese Aufgabe anzuwenden.
Deshab meine Bitte:
Kann mir jemand Starthilfe zumindest für die (a) i. geben, sodass ich dann (hoffentlich) selbst weiterrechnen kann?
Vielen Dank für Eure Mühe!
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Hallo
> Sei (G, *) eine Gruppe. Man zeige (möglichst jeweils in
> einer bis zwei Zeilen) für [mm]a, b, c \in G[/mm] (ab := a*b):
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> (a) i. a = b [mm]\Rightarrow[/mm] ca = cb,
> ii. ca = cb [mm]\Rightarrow[/mm] a = b.
Zur (i):
$a=b [mm] \Rightarrow a^{-1}=b^{-1} \Rightarrow [/mm] c*a = [mm] c*a*b^{-1}*b [/mm] = [mm] c*a*a^{-1}*b [/mm] = c*b $.
So geht das denke ich relativ schnell.
>
> (b) i. [mm](a^{-1})^{-1}[/mm] = a,
> ii. [mm](ab)^{-1}[/mm] = [mm]b^{-1}a^{-1}.[/mm]
Hier vllt ein Hinweis zur (i):
Betrachte [mm] $a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=e$.
[/mm]
>
> (c) [mm] \varphi_a[/mm] : [mm]G \to G[/mm], [mm]x \mapsto \varphi_a(x)[/mm] := a*x ist
> bijektiv.
>
> (d) Gilt für alle [mm]a \in G[/mm], dass a*a = e, so ist [mm]G[/mm]
> abelsch.
> Hallo!
>
> Die Gruppentheorie ist für mich absolutes Neuland,
> dementsprechend finde ich die obige Aufgabe schwer.
> "Lineare Algebra" von Gerd Fischer hat mir (wie könnte es
> anders sein) nicht weitergeholfen. Andere Literatur wie
> "Einführung in die Gruppentheorie" von Pavel S.
> Alexandroff beschreibt zwar alles sehr gut, aber mir
> gelingt es nicht, das Wissen auf diese Aufgabe anzuwenden.
>
> Deshab meine Bitte:
> Kann mir jemand Starthilfe zumindest für die (a) i.
> geben, sodass ich dann (hoffentlich) selbst weiterrechnen
> kann?
>
> Vielen Dank für Eure Mühe!
>
lg Kai
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Vielen Dank, Kai.
Es wäre echt super, wenn du vielleicht noch ein paar Stichworte dazuschreibst...
Soweit komme ich denke ich noch ganz gut mit:
- [mm] a^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1} [/mm] ist jeweils das Inverse von a und b.
Aber ab ca = komme ich leider nicht mit... Hat das etwas mit Existenz zu tun...?
Thanks.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:23 So 29.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Vielen Dank, Kai.
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> Es wäre echt super, wenn du vielleicht noch ein paar
> Stichworte dazuschreibst...
> Soweit komme ich denke ich noch ganz gut mit:
> - [mm]a^{-1}[/mm] = [mm]b^{-1}[/mm] ist jeweils das Inverse von a und b.
>
> Aber ab ca = komme ich leider nicht mit... Hat das etwas
> mit Existenz zu tun...?
Da stehen einfach Aussagen. Es ist $c a = c a * [mm] e_G [/mm] = c a * [mm] (b^{-1} [/mm] b) = c a [mm] b^{-1} [/mm] b = ...$. Wenn du ein Gleichheitszeichen nicht nachvollziehen kannst, frag genauer nach.
LG Felix
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Danke, Felix.
Ich denke, wenn mir jemand diese Zeile erklärt, dann sollte ich den Rest auch verstehen:
> [mm]c a = c a * e_G = c a * (b^{-1} b)[/mm]
1.) Warum wird ca mit [mm] $e_G$ [/mm] multipliziert?
2.) Warum ist [mm] $(b^{-1} [/mm] b)$ der Ausdruck für [mm] $e_G$?
[/mm]
Ihr müsst verstehen, dass das Thema "Gruppen" wirklich absolutes Neuland für mich ist, d.h. was für Euch selbstverständlich ist, ist für mich teilweise sehr komplex! 
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 So 29.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich denke, wenn mir jemand diese Zeile erklärt, dann
> sollte ich den Rest auch verstehen:
>
> > [mm]c a = c a * e_G = c a * (b^{-1} b)[/mm]
>
> 1.) Warum wird ca mit [mm]e_G[/mm] multipliziert?
> 2.) Warum ist [mm](b^{-1} b)[/mm] der Ausdruck für [mm]e_G[/mm]?
>
> Ihr müsst verstehen, dass das Thema "Gruppen" wirklich
> absolutes Neuland für mich ist, d.h. was für Euch
> selbstverständlich ist, ist für mich teilweise sehr
> komplex!
Lies dir mal die Definitionen von "neutrales Element" (hier: [mm] $e_G$) [/mm] und "inverses Element" durch, und schau wie sie hier angewandt wurden.
LG Felix
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Danke, Felix.
Über die Bücherfunktion von Google habe ich die beiden Definitionen nachgeschlagen.
Ich habe erkannt, dass $c a [mm] \cdot{} e_G$ [/mm] deshalb geht, denn es gilt $e*a = a$.
Aber ich verstehe leider immer noch nicht, warum für [mm] $e_G$ [/mm] im nächsten Schritt dann [mm] $(b^{-1} [/mm] b)$ verwendet wird?
Danke für die Mühe.
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Wie ist denn das inverse Element definiert?
Das [mm] $b*b^{-1}=e_G$ [/mm] ist ergibt sich einfach aus der Defnition!
lg Kai
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Danke, Kai. Ich denke ich muss das alles erst noch gedanklich verarbeiten...
Bei (a) ii.
Ich kann mir nicht vorstellen, dass die Lösung dazu, der selbe Lösungsweg wie bei i. nur rückwärts ist... Aber andererseits wüsste ich nicht, was ich anders machen soll:
$ca = [mm] ca*e_G [/mm] = [mm] ca(b^{-1}b) [/mm] = [mm] cab^{-1}b [/mm] = [mm] cba^{-1}a [/mm] = cb [mm] \Rightarrow a^{-1}b^{-1} \Rightarrow [/mm] a = b$
Bitte um kurzes Feedback.
Gruß
el_grecco
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Hmm... du setzt kommutativität voraus. Die hast du aber nicht (als du $a$ mit [mm] $b^{-1}$ [/mm] vertauschst).
Wenn $ca=cb$, dann kannst du auch beide Seiten mit dem Inversen zu $c$ verknüpfen. Was kommt dann da raus?
lg Kai
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Danke, Kai. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Sorry, aber ich kann dir nicht ganz folgen... :-(
An welcher Stelle habe ich denn a mit [mm] b^{-1} [/mm] vertauscht und wie erkenne, ich ob das erlaubt ist oder nicht?
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Ahh okay, jetz hab ich erstmal verstanden was du gemeint hast.
Wenn ich mir das, wass du geschreiben hast anschaue, dann sehe ich
$ ca = [mm] ca\cdot{}e_G [/mm] = [mm] ca(b^{-1}b) [/mm] = [mm] cab^{-1}b [/mm] = [mm] cba^{-1}a [/mm] = cb [mm] \Rightarrow a^{-1} \red{=} b^{-1} \Rightarrow [/mm] a = b $
abgesehen davon, dass ein "=" fehlt, nicht viel.
Die Art von Beweis, den du führst ist nicht sehr schön.
Du schreibst in der Art [mm] $c*a=...=c*b*a^{-1}*a [/mm] = c*b$. Das muss gelten (nach Voraussetzung), also muss auch gelten... Aber das ist nicht so schön. Das ist vom Ansatz her ein wenig indirekt, aber ohne das wirklich zu sagen, weil du ja dann so argunetierst: Wäre es nicht so, würde auch die Voraussetzung nicht erfüllt werden.
Du kannst auch einen Beweis über Kontraposition führen. Der ist meiner Meinung nach "schöner".
Zeige einfach: [mm] $a\not=b \Rightarrow [/mm] c*a [mm] \not= [/mm] c*b$
Diese Form von Beweisen kennst du, oder?
lg Kai
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Danke soweit, Kai.
Hmm... Damit:
> Zeige einfach: [mm]a\not=b \Rightarrow c*a \not= c*b[/mm]
meinst du doch aber die Aufgabe (a) i. ?
Für die (a) ii. müsste es doch heißen:
$ca [mm] \not= [/mm] cb [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \not= [/mm] b$
Wäre dann aber dein Beweis für die i. nicht auch etwas "unschön"?
Die Gruppentheorie bereitet mir von allen Themen bisher am stärksten Schwierigkeiten... Ich weiß nicht, wie ich das in den Griff bekommen kann.
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> Danke soweit, Kai.
> Hmm... Damit:
>
> > Zeige einfach: [mm]a\not=b \Rightarrow c*a \not= c*b[/mm]
>
> meinst du doch aber die Aufgabe (a) i. ?
>
> Für die (a) ii. müsste es doch heißen:
> [mm]ca \not= cb \Rightarrow a \not= b[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Wäre dann aber dein Beweis für die i. nicht auch etwas
> "unschön"?
>
>
> Die Gruppentheorie bereitet mir von allen Themen bisher am
> stärksten Schwierigkeiten... Ich weiß nicht, wie ich das
> in den Griff bekommen kann.
Kontraposition heißt doch: $A [mm] \Rightarrow [/mm] B [mm] \gdw \neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A$
lg Kai
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Ich werde aus dieser ii. einfach nicht schlau... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Bei der (b):
ii.
Kann man das als Lösung gelten lassen?
Das Element [mm] $(ab)^{-1}$ [/mm] ist das eindeutig bestimmte Element der x der Gruppe, das der Bedingung $ab*x = e$ genügt.
Es gilt [mm] $ab*(b^{-1}a^{-1}) [/mm] = [mm] a(bb^{-1})a^{-1} [/mm] = [mm] a*e*a^{-1} [/mm] = [mm] aa^{-1} [/mm] = e.
Das Element [mm] $x=b^{-1}a^{-1}$ [/mm] erfüllt hiermit die Bedingung ab*x = e, deshalb gilt [mm] $(ab)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1}a^{-1}.
[/mm]
Danke
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> Ich werde aus dieser ii. einfach nicht schlau...
>
>
> Bei der (b):
>
> ii.
> Kann man das als Lösung gelten lassen?
>
> Das Element [mm](ab)^{-1}[/mm] ist das eindeutig bestimmte Element
> der x der Gruppe, das der Bedingung [mm]ab*x = e[/mm] genügt.
> Es gilt [mm]$ab*(b^{-1}a^{-1})[/mm] = [mm]a(bb^{-1})a^{-1}[/mm] = [mm]a*e*a^{-1}[/mm]
> = [mm]aa^{-1}[/mm] = e.
> Das Element [mm]$x=b^{-1}a^{-1}$[/mm] erfüllt hiermit die
> Bedingung ab*x = e, deshalb gilt [mm]$(ab)^{-1}[/mm] =
> [mm]b^{-1}a^{-1}.[/mm]
>
An sich ist das schon so ok. Aber deine Argumentation ist ein wenig komisch.
Du hast es doch schon fast:
[mm]$ab*(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}= a*e*a^{-1}= aa^{-1} = e [/mm].
Nach Def. ist dann doch [mm] $(ab)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$.
[/mm]
> Danke
lg Kai
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