Der Satz von Lagrange < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | H und K seien Untergruppen einer Gruppe H. Es gelte
|H| = 54 und |K| = 81 und |H geschnitten K| > 1
Zeigen Sie, dass es in G ein Element der Ornung 3 gibt.
Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, welche Werte für |H geschnitten K| in Frage kommen. |
Ich hab leider irgendwie nicht so die richtige Idee zu der Aufgabe.
Werte in |H geschnitten K| müssten ja eigentlich {1,3,9,27} sein, da diese Elemente sowohl 54 als auch 81 teilen.
Hilft mir nur leider nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 Mi 09.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Nach Vorraussetzung muss der Schnitt von H und K aus mindestens 3 Elementen bestehen. D.h. die Mächtigkeit des Schnitts ist eine Potenz von 3, also eine Gruppe von der Ordnung [mm] 3^{p} [/mm] . Hilft Dir das weiter ?
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hmm.. das hilft mir jetzt leider zumindest nicht auf anhieb.
Also Du schreibst : Nach Vorraussetzung muss der Schnitt von H und K aus mindestens 3 Elementen bestehen.
Welche Vorraussetzung besagt das denn ?
Und ist mein Schnott richtig ? Er besteht ja aus 4 Elementen; erfüllt also ja die Bedingung mindestens aus 3 Elementen zu bestehen.
Mir ist aufgefallen, dass die Elemente aus dem Schnitt von H und K [mm] 3^0=1, 3^1=3, 3^2=9 [/mm] und [mm] 3^3=27 [/mm] sind. Hat das etwas mit der Lösung zu tun ?
Oh man, ich bin irgendwie total verwirrt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Fr 11.01.2008 | | Autor: | zahllos |
In der Aufgabe steht doch, dass H [mm] \cap [/mm] K aus nehr als einem Element bestehen sollen. Also muss die Anzahl der Elemente in H [mm] \cab [/mm] K entweder 3 oder 9 oder 27 betragen. Das sind alles Gruppen der Ordnung [mm] 3^p [/mm] (sog. p-Gruppen) jede dieser Gruppen enthält ein Element der Ordnung 3.
Ím Fall p = 1 ist das trivial.
Im Fall p=2 nehmen wir mal an, alle vom neutralen Element verschiedene Elemente hätten die Ordnung 9. Sei a so ein Element. Dann bilden wir [mm] a^3 [/mm] und schon hat [mm] a^3 [/mm] die Ordnung 3.
Im fall p=3 nehmen wir an alle vom neutralen Element verschiedene Elemente hätten die Ornung 9 oder 27. Sei a so ein Element, dann betrachten wir [mm] a^3 [/mm] bzw. [mm] a^9 [/mm] und schon haben wir wieder ein Element der Ordnung 3.
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