Der Wert von lim ........ ist? < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | | Der Wert von [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{4} +h - \wurzel{4}}{h} [/mm] ist _____? |
Guten Abend,
Die Ausgangs-Fkt. scheint eine konstante Fkt. zu sein [mm] f(x)=\wurzel{4}, [/mm] also lautet die Frage, wie ist die Ableitung einer konst. Fkt.? Marcel sagte mal, es ist dann immer die Null-Fkt.
Danach wäre die Antw. Null?
Wie könnte ich es noch lösen?
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{4} +h - \wurzel{4}}{h}=\bruch{h}{h}=1
[/mm]
Wo, an welcher Stelle muss ich h[mm] \ne [/mm]0 für den Nenner unterbringen; wenn überhaupt?
Die Steig. einer konst. Fkt. ist gleich null. Und ich vermisse das x. Das wäre vielleicht tatsächl. ein Hinweis auf eine konstante Fkt., somit tendiere ich mehr zu 0.
Das sind meine eigenen Überlegungen dazu; mehr habe ich nicht zu bieten.
Warum ist h/h nicht 1?
Oder müsste ich die Aufg. ganz anders angehen?
Für Hilfe vielen DANK!!
Gruß
Sabine
Gute Nacht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sabine!
Bedenke, dass gilt: [mm]f(x+h) \ = \ f(x) \ = \ \wurzel{4} \ \ (\ = \ 2)[/mm] .
Damit gilt auch: [mm]f'(x) \ := \ \lim_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} \ = \ \lim_{h\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{4}-\wurzel{4}}{h} \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 Mo 04.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Loddar,
> Bedenke, dass gilt: [mm]f(x+h) \ = \ f(x) \ = \ \wurzel{4} \ \ (\ = \ 2)[/mm]
Man hat es also doch mit einer konst. Fkt. zu tun.
Aber [mm]f(x+h) \ = \ f(x) \ [/mm] verstehe ich noch nicht.
Versuche ich es mit [mm] x^0, [/mm] dann [mm] f(x)=2x^0
[/mm]
[mm] f(x+h)=2(x+h)^0=2*1=2
[/mm]
Ahhh.
Aber du sagtest, ich soll das bedenken. Woher konnte ich das vorher wissen?
Oder muss ich nur oft genug damit zu tun haben u. es einfach wissen, um es bedenken zu können?
Lösg. ausführlich:
[mm]f'(x) \ := \ \lim_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} \ = \ \lim_{h\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{4}*1-\wurzel{4}}{h} \ = \ 0[/mm]
So, ein paar Tage später:
Habe mir überlegt, dass das f(x+h)=f(x) wohl allg. gelten soll.
u. es an verschiedenen Fkt. ausprobiert
z.B. [mm] f(x)=x^2
[/mm]
[mm] f(x+h)=(x+h)^2
[/mm]
Nun stelle ich mir vor, dass das h aus [mm] (x+h)^2 [/mm] furzklein ist,
u. komme zu dem Schluss, sagen zu dürfen
[mm] (x+h)^2 =x^2
[/mm]
Insofern würde f(x+h)=f(x) stimmen.
Gleiches geht sogar auch mit ner gebroch.-rat. Fkt. [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Doch später kamen mir Zweifel, ob ich es so machen darf.
Stattdessen habe ich es besser so probiert:
[mm] (x+h)^2=x^2
[/mm]
[mm] x^2+2xh+h^2=x^2
[/mm]
[mm] 2xh+h^2=0
[/mm]
wie ich es jetzt auch hin- u. herschiebe, ich kriege die Gleichheit so nicht raus.
Nur, wenn ich mir wieder vorstelle, dass h ganzganzganz klein ist, ja, dann ist irgendwann der GW erreicht und 0=0
Wie kann ich mir f(x+h)=f(x) erschließen?
Wie kann ich mir f(x+h)=f(x) richtig erschließen?
Gruß
Sabine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 So 10.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Loddar,
> Bedenke, dass gilt: [mm]f(x+h) \ = \ f(x) \ = \ \wurzel{4} \ \ (\ = \ 2)[/mm]
Man hat es also doch mit einer konst. Fkt. zu tun.
Aber [mm]f(x+h) \ = \ f(x) \ [/mm] verstehe ich noch nicht.
Versuche ich es mit [mm] x^0, [/mm] dann [mm] f(x)=2x^0
[/mm]
[mm] f(x+h)=2(x+h)^0=2*1=2
[/mm]
Ahhh.
Aber du sagtest, ich soll f(x+h)=f(x) bedenken. Woher konnte ich das vorher wissen?
Oder muss ich nur oft genug damit zu tun haben u. es einfach wissen, um es bedenken zu können?
Lösg. ausführlich:
[mm]f'(x) \ := \ \lim_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} \ = \ \lim_{h\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{4}*1-\wurzel{4}}{h} \ = \ 0[/mm]
So, ein paar Tage später:
Habe mir überlegt, dass das f(x+h)=f(x) wohl allg. gelten soll.
u. es an verschiedenen Fkt. ausprobiert
z.B. [mm] f(x)=x^2
[/mm]
[mm] f(x+h)=(x+h)^2
[/mm]
Nun stelle ich mir vor, dass das h furzklein ist u. komme zu dem Schluss, sagen zu dürfen
[mm] (x+h)^2 =x^2
[/mm]
Insofern würde f(x+h)=f(x) stimmen.
Gleiches geht sogar auch mit ner gebroch.-rat. Fkt. [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Doch später kamen mir Zweifel, ob ich es so machen darf u. habe es besser so probiert:
[mm] (x+h)^2=x^2
[/mm]
[mm] x^2+2xh+h^2=x^2 [/mm]
[mm] 2xh+h^2=0 [/mm]
2x +h= 0
h= - 2x
Wie soll ich darin Gleichheit erkennen?
Wenn h gegen null strebt u. x sehr gr. ist, dann ist es doch sicher nicht gleich oder doch?
Loddar hat sicher recht mit f(x+h)=f(x), das will ich nicht in Frage stellen, aber ich will es sehen/verstehen.
Wie kann ich mir f(x+h)=f(x) erschließen?
Wie kann ich mir f(x+h)=f(x) richtig erschließen?
Für gedankliche Anregungen vielen DANK im voraus!
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 So 10.06.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sabine!
> > Bedenke, dass gilt: [mm]f(x+h) \ = \ f(x) \ = \ \wurzel{4} \ \ (\ = \ 2)[/mm]
> Man hat es also doch mit einer konst. Fkt. zu tun.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber [mm]f(x+h) \ = \ f(x) \[/mm] verstehe ich noch nicht.
Bei einer konstanten Funktion [mm]f(x) \ = \ a \ = \ const.[/mm] gilt doch:
[mm]f(-4) \ = \ f(+3{,}5) \ = \ f(10458) \ = \ f(-0{,}5) \ = \ f(x) \ = \ f(x-7) \ = \ f(x+h) \ = \ ... \ = \ a[/mm]
> Versuche ich es mit [mm]x^0,[/mm] dann [mm]f(x)=2x^0[/mm]
> [mm]f(x+h)=2(x+h)^0=2*1=2[/mm]
> Ahhh.
> Aber du sagtest, ich soll f(x+h)=f(x) bedenken. Woher
> konnte ich das vorher wissen?
Siehe oben! Das ist das grundlegende Element der konstanten Funktion.
> Lösg. ausführlich:
> [mm]f'(x) \ := \ \lim_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} \ = \ \lim_{h\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{4}*1-\wurzel{4}}{h} \ = \ 0[/mm]
Die "1" im Zähler des letzten Bruches ist nicht verkehrt, deutet aber auf einen falschen Ansatz bzw. auf ein falsches Verständnis des Termes hin.
> So, ein paar Tage später:
> Habe mir überlegt, dass das f(x+h)=f(x) wohl allg. gelten soll.
Ja, und zwar ausschließlich für konstante Funktionen.
> u. es an verschiedenen Fkt. ausprobiert
> z.B. [mm]f(x)=x^2[/mm]
> [mm]f(x+h)=(x+h)^2[/mm]
> Nun stelle ich mir vor, dass das h furzklein ist u. komme
> zu dem Schluss, sagen zu dürfen
> [mm](x+h)^2 =x^2[/mm]
> Insofern würde f(x+h)=f(x) stimmen.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Blödsinn! Das ist keine konstante Funktion und damit stimmt diese Gleichheit nicht allgemein!
> Gleiches geht sogar auch mit ner gebroch.-rat. Fkt. [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
Auch das ist falsch!!
> Doch später kamen mir Zweifel, ob ich es so machen darf u.
> habe es besser so probiert:
> [mm](x+h)^2=x^2[/mm]
> [mm]x^2+2xh+h^2=x^2[/mm]
> [mm]2xh+h^2=0[/mm]
> 2x +h= 0
> h= - 2x
> Wie soll ich darin Gleichheit erkennen?
Gar nicht, weil diese Gleichheit nur für ... richtig: konstante Funktionen gilt!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 10.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Loddar,
was für eine gewaltige Korrektur!!!
Es wirkte auf mich so, dass ich mich dann wohl doch mal eingehender mit konst. Fkt. beschäftigen sollte. Also gebe ich bei google
f(x+h)=f(x) konstante Funktion
ein u. stoße auf Wiki
Und der erste Satz allein haut mich schon um
Sei f : A[mm] \left. \right\ \to [/mm]B eine Funktion zwischen zwei Mengen.
Viele Fragen nur zu diesem einen Satz.
Deshalb die Ernüchterung u. die Entmutigung - ich muss soviele andere Aufg. noch machen.
Deshalb jetzt nur eine Frage an die Pädagogen in Mathe hier: Sind konst. Fkt. Bestandteil des Schulstoffes aus 10.+11.ter Klasse? Klar, kommen die immer wieder vor, aber muss ich f(x+h)=f(x) verstehen u. bei Wiki weiterforschen? Ich möchte "nur" mit einer Note 2 (ohne Leistgs.kurs) durch die 11. kommen.
Für entlastende Hilfe vielen DANK
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 So 10.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> Hallo Loddar,
> was für eine gewaltige Korrektur!!!
>
> Es wirkte auf mich so, dass ich mich dann wohl doch mal
> eingehender mit konst. Fkt. beschäftigen sollte. Also gebe
> ich bei google
> f(x+h)=f(x) konstante Funktion
> ein u. stoße auf Wiki
> Und der erste Satz allein haut mich schon um
> Sei f : A[mm] \left. \right\ \to [/mm]B eine Funktion zwischen
> zwei Mengen.
> Viele Fragen nur zu diesem einen Satz.
> Deshalb die Ernüchterung u. die Entmutigung - ich muss
> soviele andere Aufg. noch machen.
>
> Deshalb jetzt nur eine Frage an die Pädagogen in Mathe
> hier:
ich bin leider keiner - darf ich trotzdem antworten?
> Sind konst. Fkt. Bestandteil des Schulstoffes aus
> 10.+11.ter Klasse? Klar, kommen die immer wieder vor, aber
> muss ich f(x+h)=f(x) verstehen u. bei Wiki weiterforschen?
Konstante Funktionen sind einfach: Sie nehmen nur einen Wert an. Und formal: Genau dann ist eine Abbildung $f: A [mm] \to [/mm] B$ mit nichtleeren Mengen [mm] $A,\,B$ [/mm] eine konstante Abbildung, wenn es ein [mm] $b_0 \in [/mm] B$ so gibt, dass [mm] $f(a)=b_0$ [/mm] für alle $a [mm] \in A\,.$
[/mm]
Kurzgesatz: Ich nehm' mir irgendein Zielelement aus meiner Zielmenge [mm] $B\,$ [/mm] her, und egal, welches $a [mm] \in [/mm] A$ ich habe: Ich weiß dann, dass [mm] $f(a)\,$ [/mm] genau dieses Zielelement sein wird.
> Ich möchte "nur" mit einer Note 2 (ohne Leistgs.kurs)
> durch die 11. kommen.
Das solltest Du schaffen.
> Für entlastende Hilfe vielen DANK
Ich reduziere es mal auf das, was man wenigstens in der Schule wissen sollte:
Eine Funktion $f: A [mm] \to \IR$ [/mm] (wobei $A [mm] \subseteq \IR$) [/mm] ist genau dann eine konstante Funktion, wenn es ein $c [mm] \in \IR$ [/mm] so gibt, dass schon [mm] $f(x)=c\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] A$ gilt. Wenn [mm] $A\,$ [/mm] klar ist, dann schreibt man auch meist nur kurz [mm] $f=c\,$ [/mm] oder [mm] $f=\text{konstant}=c$ [/mm] (oder ähnliches).
Und nun etwas ganz triviales:
Wenn Du den Graphen einer Funktion $f: A [mm] \to \IR$ [/mm] hast, wobei [mm] $f=c\,$ [/mm] konstant ist, dann wird dieser auf der Geraden [mm] $y=c\,,$ [/mm] welche parallel zur [mm] $x\,$-Achse [/mm] liegt, zu finden sein.
Und wenn etwa $f: I [mm] \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f(x):=2\,$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] I$) mit einem nichtleeren Intervall [mm] $I\,$ [/mm] ist:
Dann ist doch klar: Ist [mm] $x_0 \in [/mm] I$ und ist $h [mm] \not=0$ [/mm] betragsmäßig so klein, dass [mm] $x_h:=x_0+h \in [/mm] I$ gilt, dann folgt doch:
Es gilt sowohl [mm] $f(x_0)=2$ [/mm] als auch [mm] $f(x_h)=2\,.$ [/mm] Denn [mm] $f(x)=2\,$ [/mm] gilt für alle $x [mm] \in I\,,$ [/mm] insbesondere gilt dies also für [mm] $x_0 \in [/mm] I$ und auch für [mm] $x_h \in I\,.$
[/mm]
Und ja: Konstante Funktionen (zumindest welche der Form $A [mm] \to \IR$ [/mm] mit $A [mm] \subseteq \IR$) [/mm] sollte man in der Schule verstehen - denn sie sind eigentlich sehr einfach. Sogar auf abstrakterem Niveau.
(Ein anderes Beispiel: Sei [mm] $A\,$ [/mm] die Menge aller Schülerinnen und Schüler einer Schule und sei [mm] $B\,$ [/mm] die Menge aller Stühle der Schule. Wenn ich einen Stuhl aus [mm] $B\,$ [/mm] auswähle und jedem Schüler bzw. jeder Schülerin dann diesen Stuhl "zuweise", habe ich eine einfache konstante Funktion $A [mm] \to [/mm] B$ definiert. Und wenn alle Schüler nun zusammen auf diesem Platz nehmen wollen, wird er zusammenbrechen - aber das ist ein anderes Problem...)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Marcel,
Ausgangsfrage war $ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{4} +h - \wurzel{4}}{h} [/mm] $=________?
Die Fkt., auf die der limes angewendet wird, soll nun keine konstante Fkt. sein.
Wenn aber f(x+h)=f(x) nur für konst. Fkt. gilt, wo ist denn der Zus.hang?
Lieber Marcel, du gibst dir sehr viel Mühe mit mir, aber ich habe nicht durchgängig, aber immer wieder Schwierigkeiten, nachzuvollziehen, was du meinst. Was an meinem geringen Matheniveau liegt.
Du hattest vorgegeben
f(x) : = [mm] x^2 [/mm] und f(x) : = x (wobei du hier evtl. ein Tippfehler hast, aber das weiß ich nicht)
Für beide soll gelten [mm] x\in\IR [/mm]
Berechne f ´(4)
Das habe ich getan - Ergebnis
f ´ [mm] (4)=lim_{h\rightarrow 0}= \bruch{f(4+h) - f(4)}{h} [/mm]
f ´ [mm] (4)=lim_{h\rightarrow 0}= \bruch{16+8h+h^2-16}{h}
[/mm]
f ´ [mm] (4)=lim_{h\rightarrow 0}= \bruch{h(8+h)}{h}
[/mm]
f ´ [mm] (4)=lim_{h\rightarrow 0}= [/mm] 8+h=8
Was habe ich jetzt ausgerechnet? Die Steig. bei x=4 von f ist exakt 8.
Jetzt soll wohl das gleiche mit f(x) : = x geschehen:
Best. f ´(4)
Habe ich auch gemacht
f ´ [mm] (4)=lim_{h\rightarrow 0}= \bruch{(4+h) - 4}{h} [/mm]
f ´ [mm] (4)=lim_{h\rightarrow 0}= \bruch{h}{h} [/mm]
und nu?
[mm] \bruch{h}{h}=1
[/mm]
Hm, das ist auch die Steig. v. f überall.
Aber wo kann man [mm] {h\rightarrow 0} [/mm] machen lassen?
Da 1 die richtige Steig. ist muss man nicht mehr [mm] {h\rightarrow 0} [/mm] machen lassen - so?
Es wäre toll, wenn du nochmal ordnen u. strukturieren könntest hinsichtl. meines Wunsches:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{4} +h - \wurzel{4}}{h} [/mm] $ =________? verstehen u. begründen wie es zur richtigen Lösung kommt.
Dennoch werde ich gegen 22 h nochmal versuchen u. nochmal lesen, was du oben aktuell geschrieben hast.
Grüße von
Sabine
sorry, dass die Formatierg. nicht optimal ist, also wie üblich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> Hallo Marcel,
> Ausgangsfrage war [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{4} +h - \wurzel{4}}{h} [/mm]=________?
>
> Die Fkt., auf die der limes angewendet wird, soll nun
> keine konstante Fkt. sein.
> Wenn aber f(x+h)=f(x) nur für konst. Fkt. gilt, wo ist
> denn der Zus.hang?
>
> Lieber Marcel, du gibst dir sehr viel Mühe mit mir, aber
> ich habe nicht durchgängig, aber immer wieder
> Schwierigkeiten, nachzuvollziehen, was du meinst. Was an
> meinem geringen Matheniveau liegt.
>
> Du hattest vorgegeben
> f(x) : = [mm]x^2[/mm] und f(x) : = x (wobei du hier evtl. ein
> Tippfehler hast, aber das weiß ich nicht)
> Für beide soll gelten [mm]x\in\IR[/mm]
ich hatte nicht beide vorgegeben - ich meinte (das eine per PN), dass Du Dir bei der letztgenannten Funktion auch mal klarmachen sollst, dass "in der [mm] $h\,$-Notation" [/mm] bei festem [mm] $x_0$ [/mm] auch kein [mm] $x\,$ [/mm] mehr direkt im Limes steht, wenn Du [mm] $f\,'(x_0)$ [/mm] berechnest. Da hatte ich als Beispiel vorgegeben, dass Du für $x [mm] \mapsto x^2\,,$ [/mm] schreiben wir hier mal [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$), [/mm] einfach mal [mm] $g\,'(4)$ [/mm] "als Limes in der [mm] $h\,$-Notation [/mm] aufschreiben sollst".
> Berechne f ´(4)
> Das habe ich getan - Ergebnis
Also hier für [mm] $f(x):=x^2\,:$
[/mm]
>
> f ´ [mm](4)=lim_{h\rightarrow 0}= \bruch{f(4+h) - f(4)}{h}[/mm]
Das [mm] $=\,$ [/mm] nach dem Limes gehört da nicht hin.
> f ´ [mm](4)=lim_{h\rightarrow 0}= \bruch{16+8h+h^2-16}{h}[/mm]
Hier ist das [mm] $=\,$ [/mm] ebenso zuviel. Worauf ich hinaus wollte: Siehst Du hier nun noch irgendeine unabhängige Variable [mm] $x\,$?
[/mm]
> f ´ [mm](4)=lim_{h\rightarrow 0}= \bruch{h(8+h)}{h}[/mm]
>
> f ´ [mm](4)=lim_{h\rightarrow 0}=[/mm] 8+h=8
>
> Was habe ich jetzt ausgerechnet? Die Steig. bei x=4 von f
> ist exakt 8.
Ja, aber soweit hättest Du das auch gar nicht rechnen brauchen. Mit ging' es darum, dass Du siehst, dass [mm] $f\,'(4)\,$ [/mm] (hier) keine Abbildung in Abhängigkeit von [mm] $x\,$ [/mm] ist. (@ alle anderen Mathematiker: Ich weiß, eigentlich ist es eine lineare Abbildung ... etc. pp., aber Sabine sieht da erstmal einfach nur einen Wert, eine reelle Zahl - und mehr ist das für Schüler meist auch erstmal nicht!)
>
> Jetzt soll wohl das gleiche mit f(x) : = x geschehen:
> Best. f ´(4)
> Habe ich auch gemacht
Und wieder steht da immer ein [mm] $=\,$ [/mm] nach dem Limes-Symbol, wo keins hingehört. Aber eigentlich solltest Du gar nicht für [mm] $f(x):=x\,$ [/mm] nun [mm] $f\,'(4)\,,$ [/mm] sondern [mm] $f\,'(\sqrt{4})$ [/mm] mal hinschreiben!
> f ´ [mm](4)=lim_{h\rightarrow 0}= \bruch{(4+h) - 4}{h}[/mm]
>
> f ´ [mm](4)=lim_{h\rightarrow 0}= \bruch{h}{h}[/mm]
>
> und nu?
>
> [mm]\bruch{h}{h}=1[/mm]
>
> Hm, das ist auch die Steig. v. f überall.
> Aber wo kann man [mm]{h\rightarrow 0}[/mm] machen lassen?
Das hast Du:
Es gilt (beachte, dass in der Limes-Notation stets $h [mm] \not=0$ [/mm] ist)
[mm] $$\lim_{h \to 0} \frac{h}{h}=\lim_{h \to 0}1\,,$$
[/mm]
und weil [mm] $1\,$ [/mm] eine von [mm] $h\,$ [/mm] unabhängige Konstante ist, ist eben dieser Grenzwert [mm] $=1\,.$
[/mm]
(Vielleicht erinnerst Du Dich an sowas: Konstante Folgen streben gegen "die Konstante, die die konstante Folge beschreibt". Also sowas: Aus [mm] $a_n=c\,$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] folgt [mm] $a_n \to [/mm] c$ bei $n [mm] \to \infty\,.$ [/mm] Das ist vollkommen analog!)
> Da 1 die richtige Steig. ist muss man nicht mehr
> [mm]{h\rightarrow 0}[/mm] machen lassen - so?
>
> Es wäre toll, wenn du nochmal ordnen u. strukturieren
> könntest hinsichtl. meines Wunsches:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{4} +h - \wurzel{4}}{h}[/mm]
> =________? verstehen u. begründen wie es zur richtigen
> Lösung kommt.
>
> Dennoch werde ich gegen 22 h nochmal versuchen u. nochmal
> lesen, was du oben aktuell geschrieben hast.
>
> Grüße von
> Sabine
>
> sorry, dass die Formatierg. nicht optimal ist, also wie
> üblich
Ich hab' nun alles, was zwischen meinem letzten Satz und hier steht, mir nicht genauer angeguckt. Also Sabine, ich schreib' Dir mal auf, was ich meine:
1.) Wenn Du [mm] $g(x):=x^2\,$ [/mm] hast, und [mm] $g\,'(4)$ [/mm] berechnest, dann ist doch
[mm] $$g\,'(4)=\lim_{h \to 0}\frac{(4+h)^2-4^2}{h}\,.$$
[/mm]
Da steht nicht mehr, dass [mm] $g\,'(4)$ [/mm] irgendwie von [mm] $x\,$ [/mm] abhängt, oder? Deine Argumentation in der PN, warum Du glaubtest, dass da oben eine konstante Funktion stünde, war aber, weil [mm] $f\,'(\sqrt{4})$ [/mm] "keinen [mm] $x\,$-Term [/mm] mehr enthalte, deswegen muss [mm] $f\,$ [/mm] konstant sein". Ich habe Dir mit [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=4\,$ [/mm] nachgewiesen, dass [mm] $g\,$ [/mm] nicht konstant ist, aber [mm] $\lim_{h \to 0}((g(x_0+h)-g(x_0))/h)$ [/mm] enthält "auch keinen [mm] $x\,$-Term".
[/mm]
2.) Wenn ich $f(x):=x$ ($x [mm] \in \IR$) [/mm] betrachte, dann ist per Definitionem
[mm] $$f\,'(\sqrt{4})=\lim_{h \to 0}\frac{f(\sqrt{4}+h)-f(\sqrt{4})}{h}\,,$$
[/mm]
und per Definitionem von [mm] $f\,$ [/mm] also
[mm] $$f\,'(\sqrt{4})=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{4}+h-\sqrt{4}}{h}\,.$$
[/mm]
Na, wie sieht das nun aus, wenn Du in die Ausgangsfrage guckst?
P.S.
Dennoch ist es vom Aufgabensteller meiner Ansicht nach mehr als unsinnig, [mm] $\sqrt{4}$ [/mm] zu schreiben, wo man doch direkt [mm] $\sqrt{4}=2$ [/mm] benutzen kann! Ich meine, dann kann ich die Aufgabe auch umschreiben zu:
Berechne
[mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(\sin^2(4,8*\pi)+\cos^2(4,8*\pi))*\wurzel{4} +\sin(\pi/2)*h - \cos(0)*\wurzel{4}}{h} [/mm]... Echt bekloppt!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo,
ich habe den ganzen Thread jetzt nochmal u. nochmal gelesen.
Loddar sagt, ja, es ist eine konst. Fkt.
Marcel sagt, es ist keine (vorausgesetzt ich habe das richtig verstand.).
Ich habe dennoch erneut versucht die Aufg. zu lösen u. die Lösung zu begründen; hier kommts:
$ [mm] f'(x_0)=\lim_{0 \not=h \to 0} \frac [/mm] $ [mm] \bruch{\wurzel{4}+h-\wurzel{4}}{h}=
[/mm]
$ [mm] f'(x_0)=\lim_{0 \not=h \to 0}\frac [/mm] $ [mm] \bruch{h}{h}=1
[/mm]
Wie die Ausgangs-Fkt heißt ist völlig unerheblich, weil f ´ [mm] (x)=\lim_{h \to 0} [/mm] nur eine Zahl ist, die Steig., ein Wert ohne Einheit, egal, was für ein Polynom n-ten Grades die Ausgangs-Fkt. ist.
Wenn bei
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h}{h} [/mm] $ das h im Zähler als auch im
Nenner gegen Null streben (z.B. konkret [mm] \bruch{0,01}{0,01} [/mm] od. [mm] \bruch{0,0001}{0,0001}, [/mm] egal wieviele Nullen da noch dazwischen sind), dann ist der ausgerechnete Quotient doch immer 1.
Ist die Antw. denn so akzeptabel?
Gruß
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Di 12.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> Hallo,
> ich habe den ganzen Thread jetzt nochmal u. nochmal
> gelesen.
> Loddar sagt, ja, es ist eine konst. Fkt.
> Marcel sagt, es ist keine (vorausgesetzt ich habe das
> richtig verstand.).
irgendwie reden wir ein wenig aneinander vorbei. Die große Preisfrage: Was ist denn bei Dir "es"?
> Ich habe dennoch erneut versucht die Aufg. zu lösen u.
> die Lösung zu begründen; hier kommts:
>
> [mm]f'(x_0)=\lim_{0 \not=h \to 0} \frac[/mm]
> [mm]\bruch{\wurzel{4}+h-\wurzel{4}}{h}=[/mm]
>
> [mm]f'(x_0)=\lim_{0 \not=h \to 0}\frac[/mm] [mm]\bruch{h}{h}=1[/mm]
Den Grenzwert hast Du korrekt berechnet!
> Wie die Ausgangs-Fkt heißt ist völlig unerheblich,
Es gibt ja eigentlich keine. Wie gesagt: Wir reden ein wenig aneinander vorbei. Ich schreib' Dir am Ende mal alles zusammen.
> weil f
> ´ [mm](x)=\lim_{h \to 0}[/mm] nur eine Zahl ist, die Steig., ein
> Wert ohne Einheit, egal, was für ein Polynom n-ten Grades
> die Ausgangs-Fkt. ist.
>
> Wenn bei
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h}{h}[/mm] das h im Zähler als
> auch im Nenner gegen Null streben (z.B. konkret
> [mm]\bruch{0,01}{0,01}[/mm] od. [mm]\bruch{0,0001}{0,0001},[/mm] egal
> wieviele Nullen da noch dazwischen sind), dann ist der
> ausgerechnete Quotient doch immer 1.
>
> Ist die Antw. denn so akzeptabel?
Das ist okay.
Pass' auf: Deine Aufgabe war es, [mm] $\lim_{0 \not=h \to 0}\frac{\sqrt{4}+h-\sqrt{4}}{h}$ [/mm] bzw. (kürzer, und mit [mm] $2=\sqrt{4}$ [/mm] mal hingeschrieben)
[mm] $$\lim_{h \to 0}\frac{2+h-2}{h}$$
[/mm]
zu berechnen. Das kannst Du direkt, weil das, nachdem man die Trivialität [mm] $2-2=0\,$ [/mm] ausgenutzt hat, erkennt, dass da nur
[mm] $$\lim_{h \to 0}1$$
[/mm]
steht - und der letzte Grenzwert ist [mm] $1\,.$
[/mm]
Was ich Dir zeigen wollte, ist, dass Du eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] definieren kannst, wo Du siehst, dass [mm] $f\,'(2)$ [/mm] sich gerade berechnet zu
[mm] $$f\,'(2)=\lim_{h \to 0}\frac{2+h-2}{h}\,,$$
[/mm]
rechterhand steht ja gerade der gesuchte Grenzwert.
Dieses [mm] $f\,$ [/mm] ist einfach: Man setzt [mm] $f(x):=x\,$ [/mm] und schreibt sich mal hin, was DANN [mm] $f\,'(2)$ [/mm] ist:
[mm] $$f\,'(2)=\lim_{h \to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(2+h)-2}{h}\,.$$
[/mm]
Wunderbar - passt doch! (Nebenbei: Ich hätte auch [mm] $f(x):=x+7\,$ [/mm] wählen können - dann hätte ich halt irgendwo [mm] $7-7=0\,$ [/mm] noch ausgenutzt beim Aufschreiben von [mm] $f\,'(2)$ [/mm] "in der [mm] $h\,$-Notation"). [/mm]
Und man weiß, dass bei $f(x):=x$ nun [mm] $f\,'(x)=1$ [/mm] eh für alle [mm] $x\,$ [/mm] gilt, also auch für [mm] $x=2\,.$ [/mm] Und damit ist der gesuchte Grenzwert [mm] $=1\,.$
[/mm]
Warum mache ich sowas? Damit Du gegebenenfalls nicht unnötig rechnest, sondern auch mal erkennst, dass man, indem man bekanntes wiedererkennt, evtl. durch anderes Wissen sich Rechnungen ersparen kann.
Ein anderes Beispiel:
Was würdest Du machen, wenn ich Dich bitte, mir
[mm] $$G:=\lim_{h \to 0}\frac{\sin(2+h)-\sin(2)}{h}$$
[/mm]
auszurechnen? Verzweifeln?
Ich nicht. Denn das ist ganz einfach, wenn man [mm] $\sin\,'=\cos$ [/mm] weiß:
Es gilt nämlich mit [mm] $f(x):=\sin(x)$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] einfach
[mm] $$f\,'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\,.$$
[/mm]
Für speziell [mm] $x=2\,$ [/mm] also
[mm] $$\sin\,'(2)=\lim_{h \to 0}\frac{\sin(2+h)-\sin(2)}{h}\,.$$
[/mm]
Also ist der gesuchte Grenzwert wegen [mm] $\sin\,'=\cos$ [/mm] nichts anderes als [mm] $G=\cos(2)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 So 10.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> Der Wert von [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{4} +h - \wurzel{4}}{h}[/mm]
> ist _____?
> Guten Abend,
>
> Die Ausgangs-Fkt. scheint eine konstante Fkt. zu sein
nö. Warum?
> [mm]f(x)=\wurzel{4},[/mm] also lautet die Frage, wie ist die
> Ableitung einer konst. Fkt.? Marcel sagte mal, es ist dann
> immer die Null-Fkt.
Ja, die Ableitung einer konstanten Funktion ist Null.
> Danach wäre die Antw. Null?
Das obige passt doch aber nicht zu einer konstanten Funktion:
Wenn [mm] $f(x):=\sqrt{4}$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] wäre, dann wäre
[mm] $$f'(x_0)=\lim_{0 \not=h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{0 \not=h \to 0}\frac{\sqrt{4}-\sqrt{4}}{h}=\lim_{0 \not=h \to 0}\frac{0}{h}=0\,.$$
[/mm]
Obige Frage kannst Du mit Ableitungen so beantworten:
Betrachte [mm] $\red{f}(x):=x\,$ [/mm] und berechne [mm] $\red{f}\,'(\sqrt{4})\,.$ [/mm] (Schreib' Dir das mal mit [mm] $\lim_{0 \not=h \to 0} \frac{\red{f}(\sqrt{4}+h)-\red{f}(\sqrt{4})}{h}$ [/mm] auf, dann siehst Du, wieso ich [mm] $\red{f}(x)=x\,$ [/mm] vorgeschlagen habe!)
(Nebenbei: Du darfst auch [mm] $\sqrt{4}=2$ [/mm] ausnutzen!)
Gruß,
Marcel
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